河南省鄭州市金山橋?qū)W校2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

河南省鄭州市金山橋?qū)W校2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝()A．n(n＋1)

B．n(n－1)

C.

D.參考答案：A略2.﹣=（）A．B．C．D．參考答案：D略3.直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為（）A．48 B．56 C．64 D．72參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計(jì)算題．【分析】依題意聯(lián)立方程組消去y，進(jìn)而求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面積【解答】解：直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，聯(lián)立方程組得，消元得x2﹣10x+9=0，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面積為48，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與直線的關(guān)系．常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理找到解決問題的途徑．4.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知a，b為非零實(shí)數(shù)，若a＞b且ab＞0，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．＞ C．a(chǎn)b2＞a2b D．＜參考答案：D考點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：A．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；B．取a=1，b=﹣2，即可判斷出；C．取a=2，b=1，即可判斷出；D．由于a，b為非零實(shí)數(shù)，a＞b，可得，化簡(jiǎn)即可得出．解答：解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b為非零實(shí)數(shù)，a＞b，∴，化為，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6.拋物線y=2x2上兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱，且x1?x2=﹣，則m等于（）A． B．2 C． D．3參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】先利用條件得出A、B兩點(diǎn)連線的斜率k，再利用A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線y=x+m求出關(guān)于m以及x2，x1的方程，再與已知條件聯(lián)立求出實(shí)數(shù)m的值．【解答】解：由條件得A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)連線的斜率k=，而y2﹣y1=2（x22﹣x12）

①，得x2+x1=﹣

②，且（，）在直線y=x+m上，即=+m，即y2+y1=x2+x1+2m

③又因?yàn)锳（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m

④，把①②代入④整理得2m=3，解得m=故選

A．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)直線與拋物線位置關(guān)系以及點(diǎn)與直線位置的綜合考查．當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱時(shí)，有兩條結(jié)論，一是兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上；二是兩點(diǎn)的連線與已知直線垂直．7.已知和是兩個(gè)命題,若是的必要不充分條件,則是的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件參考答案：A8.甲、乙、丙三位同學(xué)用計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，甲及格率為，乙及格率為，丙及格率為，三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D9.不等式的解集為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.下列幾個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是（）①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則a＜0；②函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；③函數(shù)f（x+1）的定義域是[﹣1，3]，則f（x2）的定義域是[0，2]；④一條曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值不可能是1．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則△=（a﹣3）2﹣4a＞0，x1x2=a＜0?a＜0，；②，函數(shù)=0（x=±1）是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)；③，函數(shù)f（x+1）的定義域是[﹣1，3]，則f（x2）的定義域是[﹣2，2]；④，由圖象可知曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、2、3、4．【解答】解：對(duì)于①，若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則△=（a﹣3）2﹣4a＞0，x1x2=a＜0?a＜0，故正確；對(duì)于②，函數(shù)=0（x=±1）是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，故錯(cuò)；對(duì)于③，函數(shù)f（x+1）的定義域是[﹣1，3]，則f（x2）的定義域是[﹣2，2]，故錯(cuò)；對(duì)于④，由圖象可知曲線y=|3﹣x2|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、2、3、4，則m的值不可能是1，故正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是

.參考答案：12.直線過點(diǎn)那么該直線的傾斜角為

.參考答案：13513.已知a為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合為

▲

．參考答案：關(guān)于的方程有且只有四個(gè)不同的解，等價(jià)于直線與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，斜率為，當(dāng)直線與相切時(shí)，由，令可得斜率；當(dāng)直線相切時(shí)，，由可得斜率；同理，當(dāng)直線相切時(shí)，斜率，畫出與的圖象，如圖，由圖知，或時(shí)，與有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)關(guān)于的方程有且只有四個(gè)不同的解，故答案為.

14.一個(gè)單位共有職工400人，其中不超過45歲的有240人，超過45歲的有160人．為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為50的樣本，應(yīng)抽取超過45歲的職工__

人．參考答案：2015.設(shè)P是雙曲線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，為半焦距，的內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)M,則的值為___________。參考答案：16.由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)，組成個(gè)位數(shù)字不為2的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共有

個(gè)參考答案：1817.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則

.參考答案：－2－3i由題意得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2，-3），它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（-2,3），故，所以．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=1﹣nan（n∈N*）．（1）計(jì)算a1，a2，a3，a4，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式成立．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法；F1：歸納推理．【分析】（1）利用已知條件通過n=1，2，3，4，分別求出a1，a2，a3，a4；然后猜想an的表達(dá)式．（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，證明猜想的正確性即可．【解答】解：（1）依題設(shè)Sn=1﹣nan可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想an=．（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，猜想成立，即ak=．

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1，即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1．又Sk=1﹣kak=，所以+ak+1=1﹣（k+1）ak+1，從而ak+1==即n=k+1時(shí)，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．19.如圖（1）在Rt△ABC中，，，，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：BC⊥平面A1DC；（2）當(dāng)點(diǎn)D在何處時(shí)，三棱錐A1-BCD體積最大，并求出最大值；（3）當(dāng)三棱錐A1-BCD體積最大時(shí)，求BE與平面A1BC所成角的大小.參考答案：（1）見解析（2）點(diǎn)D位于中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為（3）【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；

(2)將三棱錐的體積表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再求其最大值；

(3)先找出線面角的平面角，再解三角形求角.【詳解】（1）證明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：設(shè)，則，由（1），又因?yàn)?，，∴平面；所以，因此?dāng)，即點(diǎn)位于中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為；（3）解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于，且，∴，即，因此即為與平面所成角，∵，∴，所以，即與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明和體積的最值以及求線面角，屬于中檔題.20.已知等差數(shù)列，公差不為零，，且成等比數(shù)列;⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式;⑵設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：解：⑴由成等比數(shù)列得，，即,解得，或（舍）,,⑵(理科)由⑴ , , 所以.

⑵(文科),故.略21.（本小題滿分14分）已知二階矩陣屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為，屬于特征值2的一個(gè)特征向量為，求矩陣M及其逆矩陣．參考答案：解：M=……………7分

=.……………7分22.（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求滿足不等式

的的最小值．參考答案：(1)因?yàn)镾n＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．兩式相減，得an＝2an－1＋1.所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以數(shù)列{an＋1}為