復(fù)變函數(shù)積分基本定理

復(fù)變函數(shù)積分基本定理第1頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理12-2(柯西-古莎定理)

如果f(z)是單連說(shuō)明:該定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ).通區(qū)域D上的解析函數(shù)，則對(duì)D內(nèi)的任何一條閉曲線C,都有12.2.1Cauchy積分定理第2頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解因?yàn)楹瘮?shù)例1計(jì)算積分在上解析,所以根據(jù)Cauchy積分定理,有第3頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解根據(jù)Cauchy積分定理得例2計(jì)算積分因?yàn)楹投荚谏辖馕?所以第4頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第5頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12.2.2解析函數(shù)的原函數(shù)1原函數(shù)的概念2Newton-Leibniz公式第6頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一.原函數(shù)的概念原函數(shù)之間的關(guān)系:定義1設(shè)f(z)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù),若存在D上的解析函數(shù)F(z)使得在D

內(nèi)成立，則稱(chēng)F(z)是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù).如果f(z)在區(qū)域D上存在原函數(shù)F(z),則f(z)是解析函數(shù)，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是解析函數(shù).定理1設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的原函數(shù),則(常數(shù)).第7頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月那么它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),一般表達(dá)式為根據(jù)以上討論可知:證明設(shè)F(z)和G(z)都是f(z)在區(qū)域D上的所以,為常數(shù).原函數(shù),于是如果F(z)是f(z)在區(qū)域D上的一個(gè)原函數(shù)，(其中C是任意復(fù)常數(shù)).第8頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明可利用定理2設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0是D內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),C是D內(nèi)以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的分段光滑(或可Cauchy積分定理證明求長(zhǎng))曲線,則積分只依賴(lài)于z0與z,而與路徑C無(wú)關(guān).Cauchy積分定理來(lái)證明.第9頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)C1與C2都是以D內(nèi)以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的分段光滑曲線,又不妨設(shè)C1與C2都是簡(jiǎn)單曲線.如果C1與C2除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,再?zèng)]有其他重點(diǎn),則是簡(jiǎn)單閉曲線,根據(jù)Cauchy定理有第10頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果C1與C2除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,還有其他重點(diǎn),在D內(nèi)再做一條以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn),除起點(diǎn)和終點(diǎn)之外,與C1與C2沒(méi)有其他重點(diǎn)的分段光滑曲線則由已證明的情形,第11頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則f(z)在以z0為起點(diǎn),z為終點(diǎn)的D內(nèi)的分段光滑曲線C上積分,積分值與積分路徑無(wú)關(guān)，即可記為于是確定了D內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)第12頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),z0和z是D內(nèi)的點(diǎn),則是f(z)在D上的一個(gè)原函數(shù).與微積分學(xué)中對(duì)變上限積分求導(dǎo)定理相同.第13頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.

Newton-Leibniz公式定理4設(shè)f(z)是單連通區(qū)域D上的解析函數(shù),F(z)是f(z)在D上的原函數(shù),z0和z1是D內(nèi)的兩點(diǎn),則證明因?yàn)橐彩莊(z)在D上的原函數(shù),根據(jù)其中C為常數(shù),易見(jiàn)第14頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明:

有了上述定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算.第15頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自學(xué)而成的英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家.出色地將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到電磁理論和其他數(shù)學(xué)物理問(wèn)題.1928年出版了出版了小冊(cè)子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》,其中有著名的Green公式.40歲進(jìn)入劍橋大學(xué)學(xué)習(xí),1839年聘為劍橋大學(xué)教授.他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)者的劍橋?qū)W派,其中包括G.Stokes和C.Maxwell.第16頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月IsaacNewton

(1642.12.25-1727.3.20)偉大的英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家.1661年,進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí).大學(xué)畢業(yè)后,在1665和1666年期間,Newton做了具有劃時(shí)代意義的三項(xiàng)工作:微積分、萬(wàn)有引力和光的分析.1687年發(fā)表《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》.1669年任劍橋大學(xué)教授,1703年當(dāng)選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng),1705年被英國(guó)女王授予爵士稱(chēng)號(hào).他還擔(dān)任過(guò)造幣廠廠長(zhǎng).第17頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Natureand

Nature’slawslayhidinnight,Godsaid,“LetNewtonbe!”andallwaslight.Newton說(shuō):“我不知道世人怎樣看我,我只覺(jué)得自己好象是在海濱游戲的孩子,有時(shí)為找到一個(gè)光滑的石子或比較美麗的貝殼而高興,而真理的海洋仍然在我的前面未被發(fā)現(xiàn).”我是站在巨人的肩上.——I.Newton英國(guó)詩(shī)人A.Pope贊美Newton的:第18頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月GottfriedWilhelmLeibniz(1646.6.21-1716.11.14)德國(guó)數(shù)學(xué)家.他還是外交家、哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家,他在邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要的工作.1666年他撰寫(xiě)了一般推理方法的論文《論組合的藝術(shù)》,獲得哲學(xué)博士學(xué)位,并被任命為教授.在第19頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1672年因外交事務(wù)出使法國(guó),接觸到一些數(shù)學(xué)家,開(kāi)始深入地研究數(shù)學(xué),特別是1673年開(kāi)始研究微積分,從1684年起發(fā)表微積分論文.他是歷史上最大的符號(hào)學(xué)者之一,所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)優(yōu)于Newton的符號(hào),很多一直沿用至今.Leibniz多才多藝,他在1671年左右制造出一種手搖計(jì)算機(jī),甚至研究過(guò)中國(guó)古代哲學(xué).Newton和Leibniz是微積分的奠基者,從那時(shí)起,數(shù)學(xué)乃至幾乎所有科學(xué)領(lǐng)域開(kāi)始了新紀(jì)元.第20頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12.2.2復(fù)合閉路定理定理1設(shè)是多連通區(qū)域D內(nèi)函數(shù),那么其中C和Ck(1kn)取正向.如果f(z)是D上的解析的簡(jiǎn)單閉曲線,都在C的內(nèi)部,它們邊界的閉區(qū)域含于D內(nèi).互不包含也互不相交,并且以為第21頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月A1A2A3A4C1C2EFGIH證明不妨設(shè)n=2.作兩條輔助線(如圖).這樣由作為邊界G,圍成單連通區(qū)域.第22頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月f(z)在G

所圍的區(qū)域內(nèi)解析,由第23頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n為其它值時(shí)，可同樣證明.在公共邊界(輔助線)上,積分兩次,方向相反,積分值之和等于0.所以第24頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月典型例題解顯然函數(shù)

例1計(jì)算積分其中G為包含圓周在內(nèi)的任意分段光滑正向簡(jiǎn)單閉曲線.在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和1,并且G包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).第25頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在G內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2,使得C1只包含奇點(diǎn)0,C2

只包含奇點(diǎn)1.根據(jù),第26頁(yè)，課件共29頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解顯然C1和C2圍成一例2計(jì)算積分其中G由正向圓周和負(fù)向圓周組成.個(gè)圓環(huán)域.函數(shù)在此圓環(huán)域及其邊界上解析,并且圓環(huán)域的邊界構(gòu)成復(fù)合閉路,所以根據(jù)