圖像處理課件頻域變換

圖像處理課件頻域變換第1頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月

本章主要內(nèi)容1.頻域與頻域變換2.連續(xù)傅里葉變換3.離散傅里葉變換4.快速傅里葉變換5.傅里葉變換的性質(zhì)6.用傅里葉變換進行圖像處理7.其他離散變換第2頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月1.頻域與頻域變換時域與頻域時域時域又稱為時間域，是描述信號在不同時刻取值的函數(shù)。自變量是時間,即橫軸是時間,縱軸是信號的變化。函數(shù)的時域表示正弦波的時域疊加示意圖第3頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月1.頻域與頻域變換（CONT）頻域： 頻域也稱為頻率域，是描述信號的頻率結(jié)構(gòu)及頻率與該頻率信號幅度的關(guān)系。自變量是頻率,即橫軸是頻率,縱軸是該頻率信號的幅度。波形的時域表示波形的幅頻表示第4頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月例如：正弦信號疊加正弦波的時域疊加示意圖

(a)幅頻特性（b）相頻特性波形的頻域表示第5頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月2.連續(xù)傅里葉變換1807年，傅里葉提出了傅里葉級數(shù)的概念，即任一周期信號可分解為復(fù)正弦信號的疊加。1822年，傅里葉又提出了傅里葉變換。傅里葉變換是一種常用的正交變換，它的理論完善，應(yīng)用程序多。在數(shù)字圖像應(yīng)用領(lǐng)域，傅里葉變換起著非常重要的作用，用它可完成圖像分析、圖像增強及圖像壓縮等工作。第6頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)傅里葉變換是把一組函數(shù)映射為另一組函數(shù)的線性算子，即傅里葉變換把一個函數(shù)分解為組成該函數(shù)的連續(xù)頻率譜。

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦或余弦）和的形式或者它們的積分的線性組合。

第7頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)傅里葉變換定義傅里葉變換在數(shù)學(xué)中的定義是：

如果函數(shù)滿足下面的狄里赫萊條件：(1)具有有限個間斷點；(2)具有有限個極值點；(3)絕對可積，則定義的傅里葉變換公式為其中，是表示頻率的變量。

第8頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月由于歐拉公式將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來：傅里葉變換定義可以寫成：

第9頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月將用復(fù)數(shù)形式表示為其中：第10頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月=任何函數(shù)周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦及余弦函數(shù)的線性表達–Fourier基數(shù)第11頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月特征幅值、相位和能量分別為：幅值：

相位：能量：第12頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維的傅里葉反變換定義為：第13頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月二維傅里葉變換傅里葉變換可以很容易推廣到二維的情形。設(shè)函數(shù)是連續(xù)可積的，且則存在如下的二維傅里葉變換及反變換：式中、是表示頻率的變量，與一維的意義類似。

第14頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月3.離散的傅里葉變換

函數(shù)的一維離散傅里葉變換定義如下：

第15頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月

一維的離散傅里葉反變換為：傅里葉變換復(fù)數(shù)形式：的實部為，虛部為第16頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月特征幅值、相位和能量分別為：幅值：

相位：能量：第17頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月離散函數(shù)的傅里葉變換也可推廣到二維的情形，其二維離散傅里葉變換定義為:第18頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月二維離散傅里葉的反變換定義為：

u、v是頻率變量

第19頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月二維函數(shù)離散傅里葉的譜、能量和相位譜為:傅里葉頻譜：能量：相位:

第20頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月圖像與傅里葉變換傅里葉用于圖像處理：任何信號（如圖像信號）都可以表示成一系列正弦信號的疊加；在圖像領(lǐng)域就是將圖像亮度（灰度值）作為正弦變量。如下圖的正弦模式可在單傅里葉中由三個分量編碼：頻率f、幅值A(chǔ)、相位γ這三個value可以描述正弦圖像中的所有信息。第21頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）頻率（frequency）頻率在空間域上表現(xiàn)為亮度的變化快慢例如：左圖的頻率比右圖的frequency低第22頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）幅值（magnitude）sin函數(shù)的幅值用于描述對比度，或者說是圖像中最明和最暗的峰值之間的差（3）相位表示相對于原始波形，這個波形偏移量第23頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月由二維離散傅里葉變換得到圖像傅里葉中心譜第24頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月例一個簡單二維函數(shù)的中心譜

在大小為512×512黑色背景上疊加一個尺寸為20×40的白色矩形的圖像；（b）應(yīng)用了頻率譜，用對數(shù)變換后顯示的中心傅里葉譜。第25頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（a）（b）圖（a）在大小為512×512黑色背景上疊加一個尺寸為20×40的白色矩形的圖像， （b）應(yīng)用了頻率譜，變換后顯示的中心傅里葉譜第26頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（a）原始圖像（b）離散傅里葉頻譜二維圖像及其離散傅里葉頻譜的顯示第27頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月4.快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT)并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換(DFT)的一種算法。這種方法消除(DFT)中重復(fù)工作，所以在運算中大大節(jié)省了工作量，達到了快速的目的。第28頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月對于一個有限長序列{f(x)}(0≤x≤N?1)，它的傅里葉變換由下式表示:令因此，傅里葉變換對可寫成下式第29頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月從上面的運算顯然可以看出要得到每一個頻率分量，需進行N次乘法和N?1次加法運算。要完成整個變換需要N2次乘法和N(N?1)次加法運算。當(dāng)序列較長時，必然要花費大量的時間。觀察上述系數(shù)矩陣，發(fā)現(xiàn)是以N為周期的即第30頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月基2FFT基4FFT劈分基FFT第31頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月5.傅里葉變換的性質(zhì)(1)分離性質(zhì)從離散的二維傅里葉變換中可得如下分離形式：第32頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月從上述這些分離形式可知一個2-D傅里葉變換可由連續(xù)2次運用1-D傅里葉變換來實現(xiàn)，這樣可將的運算量減為O(n2)的運算量。第33頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)平移性質(zhì)如果F(u)的頻率變量u,v分別移動了u0,v0距離,則傅里葉變換對有下面的形式：因此，傅里葉變換的平移性質(zhì)表明了函數(shù)與一個指數(shù)相乘等于將變換后的頻域中心或者空域中心移到新的位置對f(x,y)的平移將不改變頻譜的幅值。對于這一性質(zhì)的應(yīng)用是，如果一副圖像，原點顯示在屏幕的左上角，我們就可以通過平移性質(zhì)，將原點移到屏幕中央。第34頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)周期性和共軛對稱性傅里葉變換對和反變換均以N為周期，即這表明盡管F(u,v)有無窮多個u和v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個周期里的N個值就可以從F(u,v）得到F(x,y)第35頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月如果F(x,y)是實函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對成性第36頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）旋轉(zhuǎn)性質(zhì)首先借助極坐標變換x=rcosθ,y=rsinθ,u=wcosφ,v=wsinφ，將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為f(r,θ)和F(w,φ)。例二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性（a）原始圖像（b）原圖像的傅里葉頻譜（c）旋轉(zhuǎn)后的圖像（d）旋轉(zhuǎn)后圖像的傅里葉頻譜第37頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月該實例表明表明，對f(x,y)旋轉(zhuǎn)一個角度θ0對應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)相同的角度θ0第38頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(5）分配律根據(jù)傅里葉變換對的定義可得到上式表明傅里葉變換和反變換對加法滿足分配律，但需注意對乘法則不滿足，一般有第39頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（6）尺度變換尺度變換描述了函數(shù)自變量的尺度變化對其傅里葉變換的作用。下面考察f(at)的傅里葉變換如果系數(shù)a大于1，函數(shù)f(t)在水平方向收縮，由上式可知傅里葉變換的幅值將縮小a倍，同時在水平方向擴展a倍；a小于1時作用相反。第40頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月實例：比例尺度性質(zhì)驗證

可見當(dāng)在其前面乘以比例尺度小于1時，頻域中圖像變換頻譜幅值將減?。╝）原始圖像（b）比例尺度展（c）比例尺度a=0.1寬前的頻譜展寬后的頻譜傅里葉變換的相似性第41頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（7）平均值對一個2-D離散函數(shù)，其平均值可用下式表示當(dāng)正反變換采用相同的標度數(shù)1/N時，傅里葉變換域原點頻譜量為第42頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月兩式比較可得：頻譜的直流成分N倍于圖像平面的亮度平均值。在使用諸如高通濾波器的場合，其F(0,0)值會衰減，因為圖像的亮度在很大程度上受到影響，采用對比度拉伸的方法可以緩和這種衰減。第43頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(8)卷積定理卷積定理是線性系統(tǒng)分析中最重要的一條定理。先考慮一維傅里葉變換：同樣二維情況也是如此這表明，在時域中的卷積相當(dāng)于在頻域中的乘積。卷積定理指出，在一個域中作卷積，可以在另一個域中作乘法，可以達到相同的效果。第44頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月6.用傅里葉變換進行圖像處理計算圖像傅立葉變換的過程：首先對每一行做一維FFT，然后對每一列做一維FFT。具體來說，先對第0行的N個點做FFT（實部有值，虛部為0）；將FFT輸出的實部放回原來第0行的實部，F(xiàn)FT輸出的虛部放回第0行的虛部，這樣計算完全部行之后，圖像的實部和虛部包含的是中間數(shù)據(jù)；然后用相同的辦法進行列方向上的FFT變換，這樣N*N的圖像經(jīng)過FFT得到一個N*N的頻譜第45頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月頻域中可以包含負值，圖像中灰色表示0，黑色表示負值，白色表示正值4個角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其實4個角上的系數(shù)表示的是圖像的低頻組成部分，而中心則是圖像的高頻組成部分第46頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月6.用傅里葉變換進行圖像處理（CONT）對圖像在頻域內(nèi)進行濾波:計算圖像的傅里葉變換F(u,v)F(u,v)乘以濾波器函數(shù)H(u,v)對結(jié)果計算DFT反變換第47頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉變換及圖像處理（CONT）第48頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月圖像傅里葉變換處理圖像——實例1例：對一副圖進行傅里葉變換，求出其頻譜圖，然后利用平移性質(zhì)，在原圖的基礎(chǔ)上乘以求傅里葉變換的頻譜圖（a）原圖（b）頻譜圖（c）中心移到零點的頻譜圖二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖(?1)x+y第49頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)果分析（b）為傅里葉變換的頻譜圖，觀察頻譜圖可知，在未平移前，圖（b）坐標原點在窗口的左上角，即變換后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低頻成分。對原圖乘以(?1)x+y后進行傅里葉變換，觀察頻譜圖（c）可知，變換后的坐標原點移至頻譜圖窗口中央，因而圍繞坐標原點是低頻，向外是高頻?？梢?，圖像的能量主要集中在低頻區(qū)，即圖像的中央位置，而相對的高頻區(qū)（左上、右上、左下、右下四個角）的幅值很小或接近于0。第50頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月實例2圖（a）乘以一指數(shù)，將圖像亮度整體變暗，并求其中心移到零點的頻譜圖。（a）變暗后的圖（b）變暗后中心移到二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖第51頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月將原圖（a）函數(shù)乘以e-1，結(jié)果如圖4.9(a)對其亮度平均變暗后的圖像進行傅里葉變換，并將坐標原點移到頻譜圖中央位置，結(jié)果如圖（b）所示。對比后，可以看出當(dāng)圖片亮度變暗后，中央低頻成分變小。故從中可知，中央低頻成分代表了圖片的平均亮度，當(dāng)圖片亮度平均值發(fā)生變化時，對應(yīng)的頻譜圖中央的低頻成分也發(fā)生改變。第52頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月實例3加入噪聲后，得到有顆粒噪音的圖，并求其中心移到零點的頻譜圖。（a）有顆粒噪音（b）有顆粒噪音中心移到零點的頻譜圖二維離散傅里葉變換結(jié)果中頻率成分分布示意圖第53頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月實例4對中心為一小正方形和斜長方形求其傅里葉變換的譜分布

傅里葉變換譜分布實例（a）正方形原圖（b）正方形的譜分布（c）長方形的原始圖像（d）長方形的譜分布第54頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月左邊均為原始圖像，右邊分別是他們變換后的譜分布。圖（a）是中心為一小正方形，周邊為空；圖(c)是中心為斜置的小矩形。譜分布中，最亮區(qū)域表示其變換后的幅值最大。對（c）傅里葉變換后中心移到零點后的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)長方形旋轉(zhuǎn)了45o

時，頻譜也跟著旋轉(zhuǎn)45o，此實例驗證了傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)性。第55頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月實例5對一副圖片如圖4.12（a）求其幅值譜和相位譜，并對幅值譜和相位譜分別進行圖像重構(gòu)，對比其所求結(jié)果（a）源圖像第56頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（b）幅值譜（c）相位譜（d）幅值譜重構(gòu)圖像（e）相位譜重構(gòu)圖像

傅里葉變換結(jié)果第57頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月從實驗結(jié)果可以看出，從幅值譜圖像中得到的信息比在相位譜圖像中得到的信息多；但對幅值譜圖像重構(gòu)后，即忽略相位信息，將其設(shè)為0，所得到的圖像與原始圖像相比，結(jié)果差別很大；而對相位譜圖像重構(gòu)后，及忽略幅值信息，將其設(shè)為常數(shù)，可以從中看出圖像的基本輪廓來。第58頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月傅立葉變換實例（結(jié)果）第59頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月采樣數(shù)減少一半第60頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉變換的實現(xiàn)（1）Matlab方法圖象的二維離散傅立葉頻譜。％讀入原始圖象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求離散傅立葉頻譜J=fftshift(fft2(I));%對原始圖象進行二維傅立葉變換，并將其坐標原點移到頻譜圖中央位置figure（2）;imshow(log(abs(J)),[8,10])第63頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）OpenCV方法

Fourier=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2); dst=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2); ImageRe=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1); ImageIm=cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1); Image=cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels); ImageDst=cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels); fft2(src,Fourier);//傅里葉變換

fft2shift(Fourier,Image);//中心化

cvDFT(Fourier,dst,CV_DXT_INV_SCALE);//實現(xiàn)傅里葉逆變換 cvSplit(dst,ImageRe,ImageIm,0,0);第64頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）CDib方法

for(i=0;i<h;i++)//對y方向進行快速付立葉變換

FFT(&TD[w*i],&FD[w*i],wp);

//保存變換結(jié)果

for(i=0;i<h;i++) for(j=0;j<w;j++) TD[i+h*j]=FD[j+w*i];

for(i=0;i<w;i++)//對x方向進行快速付立葉變換

FFT(&TD[i*h],&FD[i*h],hp);

第65頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月for(i=0;i<h;i++) { for(j=0;j<w;j++) {

//計算頻譜dTemp=sqrt(FD[j*h+i].real()*FD[j*h+i].real()+FD[j*h+i].imag()*FD[j*h+i].imag())/100; if(dTemp>255) dTemp=255; RGBQUADcolor; color.rgbBlue=dTemp; color.rgbGreen=dTemp; color.rgbRed=dTemp; newbmp.WritePixel(j<w/2?j+w/2:j-w/2,i<h/2?i+h/2:i-h/2,color); } }第66頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月6.其他離散變換離散余弦變換離散沃爾什變換離散哈達嗎變換霍特林變換離散雷登變換離散小波變換第67頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）離散余弦變換定義形式：離散余弦變換（DiscreteCosineTransform，簡稱DCT變換）是一種與傅里葉變換緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)運算。在傅立葉級數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項，再將其離散化可導(dǎo)出余弦變換，因此稱之為離散余弦變換。

第68頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月近年來數(shù)字信號處理芯片（DSP）的發(fā)展，專用集成電路設(shè)計上的優(yōu)勢，使得離散余弦變換（DCT）在目前圖像編碼中的重要地位，成為H.261、JPEG、MPEG編碼標準的重要環(huán)節(jié)。在視頻壓縮中，最常用的變換方法是DCT,DCT被認為是性能接近K-L變換的準最佳變換，第69頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維DCT70第70頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維FDCT利用FFT的快速算法基于代數(shù)分解的快速算法71第71頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維FDCT利用FFT的快速算法余弦變換核實際上就是傅里葉變換核的實部。而變換計算中的乘法運算就是f(x)與變換核的乘法運算。一種自然的想法就是先對f(x)執(zhí)行FFT，然后對其取實部就可以了72第72頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法與FFT類似，利用代數(shù)分解的FDCT就是利用余弦函數(shù)的周期性以及正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的關(guān)系，同時合理安排計算次序來實現(xiàn)的。73第73頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法74第74頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月一維FDCT基于代數(shù)分解的快速算法75第75頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月二維DCT由于二維離散余弦變換的可分離性，二維DCT可以用一維DCT來實現(xiàn)

76第76頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月離散余弦變換（a）原始圖像

（b）余弦變換系數(shù)（c）余弦反變換恢復(fù)圖像二維離散余弦變換第77頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實現(xiàn)RGB=imread('image2.jpg');%裝入真彩圖像figure(1);imshow(RGB);%顯示彩色圖像GRAY=rgb2gray(RGB);%將真彩圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像figure(2);imshow(GRAY);%顯示灰度圖像DCT=dct2(GRAY);%進行余弦變換figure(3);imshow(log(abs(DCT)),[]);%顯示余弦變換例78第78頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實現(xiàn)

原圖像余弦變換例79第79頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中具有廣泛的應(yīng)用例如，在JPEG圖像壓縮算法中，首先將輸入圖像劃分為88的方塊，然后對每一個方塊執(zhí)行二維離散余弦變換，最后將變換得到的量化的DCT系數(shù)進行編碼和傳送，形成壓縮后的圖像格式。在接受端，將量化的DCT系數(shù)進行解碼，并對每個88方塊進行二維IDCT，最后將操作完成后的塊組合成一幅完整的圖像。

80第80頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月沃爾什變換和哈達碼變換第81頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月沃爾什變換(WalshTransform）設(shè)f(x)為一維離散序列，一維離散沃爾什變換表示為：式中u=0,1,2,...,N?1；N=2n沃爾什變換核為：第82頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月式中bk(z)是z的二進制第k位值，如n=3,N=23=8時，若z=3(二進制表示011），則b0(z)=1,b1(z)=1,b2(z)=0。沃爾什反變換公式為：第83頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月沃爾什變換主要用于圖像變換，屬于正交變換，它的特點是快速，因為計算只需加減和偶爾的右移操作。第84頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月離散哈達瑪變換一維離散哈達瑪變換

一維離散哈達瑪反變換

85第85頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月離散哈達瑪變換86第86頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月離散哈達瑪變換二維離散哈達瑪變換

二維離散哈達瑪反變換

87第87頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月霍特林變換88第88頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月霍特林變換霍特林（Hotelling）變換是一種基于圖像統(tǒng)計特性的變換霍特林變換可直接用于對數(shù)字圖像的變換它在連續(xù)域?qū)?yīng)的變換是KL（Karhunen-Loeve）變換霍特林變換：特征值變換、主分量變換、離散KL變換89第89頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月霍特林變換N維隨機向量數(shù)學(xué)期望協(xié)方差矩陣均值向量cii是隨機變量xi的方差，cij是x的第i分量與第j分量的協(xié)方差如果隨機向量x的第i分量與第j分量不相關(guān)，則cij=cji=090第90頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月霍特林變換特征值特征向量正交歸一向量91第91頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月霍特林變換取92第92頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月霍特林變換y的數(shù)學(xué)期望

y的協(xié)方差矩陣

y的協(xié)方差矩陣除對角線以外的元素均為零，即y的各分量是彼此不相關(guān)的。因此，霍特林變換消除了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，從而在信息壓縮方面起著重要的作用93第93頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Radon變換94第94頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Radon變換Radon變換是計算圖像在某一指定角度射線方向上投影的變換方法二維函數(shù)的投影就是其在指定方向上的線積分在垂直方向上的二維線積分就是在x軸上的投影在水平方向上的二維線積分就是在y軸上的投影95第95頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Radon變換96第96頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Radon變換的Radon變換式97第97頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Radon變換98第98頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實現(xiàn)[R,xp]=radon(I,theta)計算圖像在指定角度上的radon變換I表示需要變換的圖像Theta表示變換的角度R的各行返回theta中各方向上的radon變換值xp表示向量沿軸相應(yīng)的坐標軸IR=iradon(R,theta)radon逆變換函數(shù)radon逆變換可以根據(jù)投影數(shù)據(jù)重建圖像,在X射線斷層攝影分析中常常使用99第99頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實現(xiàn)0°方向上的Radon變換原圖像45°方向上的Radon變換100第100頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Matlab實現(xiàn)

原圖像連續(xù)角度的Radon變換101第101頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波變換第102頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月1.小波介紹小波在有限時間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)具有有限的持續(xù)時間和突變的頻率和振幅在有限的時間范圍內(nèi)，它的平均值等于零第103頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波介紹(續(xù))部分小波許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開發(fā)者的名字命名，例如，Morlet小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開發(fā)的

正弦波與小波——部分小波第104頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展1807:JosephFourier傅立葉理論指出，一個信號可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式小波簡史小波變換(wavelettransform)是什么老課題：函數(shù)的表示方法新方法：Fourier－Haar－wavelettransform第105頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展——傅里葉變換存在的問題只有頻率分辨率而沒有時間分辨率可確定信號中包含哪些頻率的信號，但不能確定具有這些頻率的信號出現(xiàn)在什么時候第106頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展(續(xù))1909:AlfredHaarAlfredHaar對在函數(shù)空間中尋找一個與傅立葉類似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來被命名為哈爾小波(Haarwavelets)第107頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展(續(xù))1945:Gabor開發(fā)了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的時間-頻率關(guān)系圖

第108頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展(續(xù))1980：Morlet20世紀70年代，在法國石油公司工作的年輕地球物理學(xué)家JeanMorlet提出小波變換(wavelettransform，WT)的概念。

20世紀80年代,開發(fā)了連續(xù)小波變換(continuouswavelettransform，CWT)1986：Y.Meyer法國科學(xué)家Y.Meyer與其同事創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)用縮放(dilations)與平移(translations)均為2j(j≥0的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到發(fā)展第109頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展(續(xù))1988：Mallat算法法國科學(xué)家StephaneMallat提出多分辨率概念，從空間上形象說明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法[1]該算法統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交小波基的所有方法，其地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位第110頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波的發(fā)展與應(yīng)用小波理論與工程應(yīng)用InridDaubechies于1988年最先揭示了小波變換和濾波器組(filterbanks)之間的內(nèi)在關(guān)系[2]，使離散小波分析變成為現(xiàn)實RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻在信號處理中，自從StephaneMallat和InridDaubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系之后，小波分析在信號(如聲音和圖像)處理中得到極其廣泛的應(yīng)用第111頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析小波分析/小波變換變換目的是獲得時間和頻率域之間的相互關(guān)系小波變換對一個函數(shù)在空間和時間上進行局部化的一種數(shù)學(xué)變換通過平移母小波(motherwavelet)獲得信號的時間信息

通過縮放母小波的寬度(或稱尺度)獲得信號的頻率特性對母小波的平移和縮放操作是為計算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表局部信號和小波之間的相互關(guān)系對比傅立葉變換提供了頻率域的信息，但丟失了時間域的局部化信息小波分析中常用的三個基本概念連續(xù)小波變換離散小波變換小波重構(gòu)第112頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析連續(xù)小波變換(continuouswavelettransform，CWT)傅立葉分析用一系列不同頻率的正弦波表示一個信號一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個信號一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析小波變換可理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號比用平滑的正弦波更有效，或者說對信號的基本特性描述得更好第113頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月CWT的變換過程CWT變換過程示例，可分如下5步：小波ψ(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較計算系數(shù)C——該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復(fù)步驟1和2，……直到信號結(jié)束擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復(fù)步驟1~4

連續(xù)小波變換的過程第114頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析連續(xù)小波變換用下式表示該式含義：小波變換是信號f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)Ψ之積在信號存在的整個期間里求和CWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C

，這些系數(shù)是縮放因子(scale)和位置(position)的函數(shù)第115頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析離散小波變換(discretewavelettransform，DWT)用小波的基函數(shù)(basisfunctions)表示一個函數(shù)的方法小波的基函數(shù)序列或稱子小波(babywavelets)函數(shù)是由單個小波或稱為母小波函數(shù)通過縮放和平移得到的縮放因子和平移參數(shù)都選擇2j(j>0的整數(shù))的倍數(shù)，這種變換稱為雙尺度小波變換(dyadicwavelettransform)第116頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數(shù)、縮放因子和時間關(guān)系，見圖圖(a)是20世紀40年代使用Gabor開發(fā)的短時傅立葉變換(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的圖(b)是20世紀80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的第117頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析小波分解樹與小波包分解樹由低通濾波器和高通濾波器組成的樹原始信號通過一對濾波器進行的分解叫做一級分解。信號的分解過程可以迭代，即可進行多級分解。小波分解樹(waveletdecompositiontree)用下述方法分解形成的樹：對信號的高頻分量不再繼續(xù)分解，而對低頻分量連續(xù)進行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量，見圖7-7小波包分解樹(waveletpacketdecompositiontree)用下述方法分解形成的樹：不僅對信號的低頻分量連續(xù)進行分解，而且對高頻分量也進行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量，見圖7-8第118頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析

小波分解樹第119頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析小波重構(gòu)重構(gòu)概念把分解的系數(shù)還原成原始信號的過程叫做小波重構(gòu)(waveletreconstruction)或合成(synthesis)，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換(inversediscretewavelettransform，IDWT)兩個過程在使用濾波器做小波變換時包含濾波和降采樣(downsampling)兩個過程，在小波重構(gòu)時也包含升采樣(upsampling)和濾波兩個過程，見圖7-10升采樣是在兩個樣本數(shù)據(jù)之間插入“0”，目的是把信號的分量加長，其過程見圖第120頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析(續(xù))小波重構(gòu)方法圖升采樣的方法第121頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月小波分析(續(xù))重構(gòu)濾波器濾波器關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。在信號的分解期間，降采樣會引進畸變，這種畸變叫做混疊(aliasing)。這就需要在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊低通分解濾波器(L)和高通分解濾波器(H)以及重構(gòu)濾波器(L'和H')構(gòu)成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)叫做正交鏡像濾波器(quadraturemirrorfilters，QMF)系統(tǒng)，如圖所示正交鏡像濾波器系統(tǒng)第122頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2（平移性）

性質(zhì)3（尺度法則）

性質(zhì)4（乘法定理）

性質(zhì)5（反演公式）

2.小波變換的性質(zhì)性質(zhì)1（疊加性）

第123頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）Haar小波第124頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

第125頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）雙正交小波雙正交B樣條小波濾波器bior2.2,bior4.4常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個三次B樣條。第126頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波第127頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月

（5)高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級衰減；具有非常好的時間頻率局部化；關(guān)于0軸對稱。第128頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(6)Marr小波這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

（也叫墨西哥草帽小波）特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關(guān)于0軸對稱。第129頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(7)Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進行定義的。具體定義如下：第130頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(8)Shannon小波在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。第131頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月(9)Battle-Lemarie樣條小波Battle-Lemarie線性樣條小第132頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月基小波舉例第133頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月基小波舉例第134頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月基小波舉例第135頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月基小波舉例第136頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月基小波舉例第137頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月4.Haar小波Haar小波在時域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）Haar小波屬正交小波。若取，那么Haar波是對稱的。系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一個既具有對稱性又是有限支撐的正交小波；Haar小波僅?。?和－1，計算簡單。第138頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Haar函數(shù)Haar基函數(shù)基函數(shù)是一組線性無關(guān)的函數(shù)，可以用來構(gòu)造任意給定的信號，如用基函數(shù)的加權(quán)和表示哈爾基函數(shù)(Haarbasisfunction)定義在半開區(qū)間[0，1)上的一組分段常值函數(shù)(piecewise-constantfunction)集生成矢量空間V0的常值函數(shù)第139頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月生成矢量空間V1的常值函數(shù)

Haar函數(shù)(續(xù))第140頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Haar函數(shù)(續(xù))生成矢量空間V2的常值函數(shù)可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數(shù)和由它生成的矢量空間Vj，……第141頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Haar函數(shù)(續(xù))為了表示矢量空間中的矢量，每一個矢量空間都需要定義一個基(basis)，哈爾基定義為為生成矢量空間而定義的基函數(shù)也叫做尺度函數(shù)(scalingfunction)。哈爾基尺度函數(shù)定義為其中，j為尺度因子，使函數(shù)圖形縮小或放大

i為平移參數(shù)，使函數(shù)沿x軸方向平移第142頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Haar函數(shù)(續(xù))Haar小波(函數(shù))最古老和最簡單的小波，定義為生成矢量空間W0的Haar小波第143頁，課件共154頁，創(chuàng)作于2023年2月Haar函數(shù)(續(xù))生成矢量空間W1的Haar小波

第144頁，課件