秘籍04圓的綜合

秘籍04圓的綜合概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)①有關(guān)圓的證明題②有關(guān)圓的計(jì)算圓的綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容！圓作為一個(gè)載體，常與三角形、四邊形結(jié)合，難度系數(shù)中等。1．從考點(diǎn)頻率看，圓是高頻考點(diǎn)，中考對(duì)圓的知識(shí)點(diǎn)考查，綜合能力要求極高！2．從題型角度看，以解答題為主，分值14分左右！圓常見輔助線的作法1：連接半徑，構(gòu)造等腰三角形在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件，我們通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，從而利用等腰三角形的性質(zhì)及圓中的相關(guān)定理。2：遇弦添加弦心距或半徑根據(jù)垂徑定理，連半徑，可以構(gòu)造直角三角形。設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程，求線段的長(zhǎng)度。3：構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓心角或圓周角解題在同一圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半。在同一圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。4：構(gòu)造直角或直徑直徑所對(duì)的圓周角是90°。5：切線的性質(zhì)有關(guān)的輔助線——添加過切點(diǎn)的半徑利用切線性質(zhì)，可得半徑與切線垂直6：切線的判定有關(guān)的輔助線有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直。（2）無(wú)公共點(diǎn)，作垂直，證明與半徑相等。7：與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的輔助線遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)，連接內(nèi)心與三角形各頂點(diǎn)，利用內(nèi)心的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明。典例1．如圖，如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，，直線，，點(diǎn)O在BD上．(1)判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線AD與圓O相切，理由見解析(2)【分析】（1）連接OA，根據(jù)和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，從而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，從而得到∠OAD=90°，即可求解；（2）連接OC，作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】（1）解：直線AD與圓O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與園O相切，（2）解：如圖，連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面積為，∵，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，求扇形面積，垂徑定理，熟練掌握切線的判定定理，并根據(jù)題意得到陰影部分的面積為是解題的關(guān)鍵．典例2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接OA，過點(diǎn)A作AD⊥AO即可；（2）連接OB，OC．過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，先證明∠ACB＝75°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，切線AD即為所求；（2）如圖：連接OB，OC．過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，∵AD是切線，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∴∠BCA＝∠AOB＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC?cos30°＝，∴BC＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圓的、三角形的外接圓、切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．典例3．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，＝．求證：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）兩個(gè)等弧同時(shí)加上一段弧后兩弧仍然相等；再通過同弧所對(duì)的弦相等證明即可；（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，對(duì)頂角相等即可證明相似．【詳解】（1）∵＝∴＝∴∴BD=AC（2）∵∠B=∠C∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)弦相等、所對(duì)圓周角相等，掌握這些是本題關(guān)鍵．典例4．如圖，在中，，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作，交⊙O于點(diǎn)F，求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形（2）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明，利用平行線證明，利用圓的性質(zhì)證明，再證明即可得到結(jié)論；（2）如圖，連接，利用平行線的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：（1），，，，又,四邊形是平行四邊形．（2）如圖，連接，四邊形是的內(nèi)接四邊形【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．典例5．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAF＝∠B．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由圓周角定理得∠ADC=90°，則∠ACD+∠DAC=90°，從而說明，即可證明結(jié)論；（2）作于點(diǎn)H，利用△ADH～△ACD，，求出AH的長(zhǎng)，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出AD=DE，利用等腰三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，∴∠DAF=∠ACD，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴，∵AC是直徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：作于點(diǎn)H，∵⊙O的半徑為5，∴AC=10，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH～△ACD，∴，∴，∵AD＝6，∴，∵AD是△AEF的中線，∠EAF=90°，∴AD=ED，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出AH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．典例6．如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)；【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對(duì)等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【詳解】（1）證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，∴CD=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握等弧對(duì)等角是解題關(guān)鍵．典例7．如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點(diǎn)M，N；③連接．(1)求的度數(shù)．(2)是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．(3)從點(diǎn)A開始，以長(zhǎng)為半徑，在⊙上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．【答案】(1)(2)是正三角形，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)可得，則(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，然后根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)所作圖形以及圓周角定理即可得出結(jié)論；（3）運(yùn)用圓周角定理并結(jié)合（1）（2）中結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵正五邊形．∴，∴，∵，∴(優(yōu)弧所對(duì)圓心角)，∴；（2）解：是正三角形，理由如下：連接，由作圖知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，正多邊形的性質(zhì)，讀懂題意，明確題目中的作圖方式，熟練運(yùn)用圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．典例8．如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長(zhǎng)公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．中考圓的綜合題常見的隱含條件：①同圓所有的半徑都相等；②直徑所對(duì)的圓周角相等；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。有關(guān)圓的解答題綜合性特別強(qiáng)，會(huì)用到初中階段所學(xué)所有幾何知識(shí)點(diǎn)，如果所有方法都嘗試不行，記得用相似，對(duì)應(yīng)邊成比例。典例9．如圖所示，正方形中，為對(duì)角線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過作，交于，求證：.【答案】見解析.【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CDA=90°，再根據(jù)得到∠AEF=90°，從而得證，，，共圓，，繼而得出AE=FE.【詳解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°∵∴∴∠ADC+∠AEF=180°∴，，，共圓，∴，∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，以及等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵典例10．如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.(1)求證：AHAB=AC2；(2)若過A的直線與弦CD(不含端點(diǎn))相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，求證：AEAF=AC2；(3)若過A的直線與直線CD相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于點(diǎn)Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）成立.【分析】（1）連接CB，證明△CAH∽△BAC即可；（2）連接CF，證△AEC∽△ACF，根據(jù)射影定理即可證得；（3）由（1）（2）的結(jié)論可知，AP?AQ=AC2成立．【詳解】(1)連結(jié)CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC.∴，即AHAB=AC2.(2)連結(jié)FB，易證△AHE∽△AFB，∴AEAF=AHAB，∴AEAF=AC2.(也可連結(jié)CF，證△AEC∽△ACF)(3)結(jié)論APAQ=AC2成立.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．1．（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）如圖，是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)在⊙上，．(1)求證：；(2)若，，求⊙的直徑．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)，則，根據(jù)同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等，即可；（2）根據(jù)，垂徑定理，得，連接，根據(jù)同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等，則，根據(jù)，則，即可．【詳解】（1）∵，∴，∴．（2）連接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理，同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等．2．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為上方上的點(diǎn)，已知．(1)求證：直線為的切線．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)切線的證明方法即可求解；（2）根據(jù)題意，證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵，∴，∵AB為的直徑，∴，∴．∴，∴，∴．又∵OD是的半徑，∴直線CD為的切線．（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定定理及其推論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北荊門·統(tǒng)考一模）如圖，分別與相切于點(diǎn)是的直徑，連接．(1)求證：；(2)連接，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接、，由切線的性質(zhì)可得，由切線長(zhǎng)定理可得及，再利用互余關(guān)系及三角形內(nèi)角和，可得結(jié)論；（2）作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，得出，根據(jù)得出，，設(shè)，則，則得出，在中得出，在中，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）證明：連接、，與、相切，，由切線長(zhǎng)定理得：，（），．，（2）作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由（）得，，，∴，∵，∴，，設(shè)，則，∴，又∵，∴，在中，，

∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，是的切線，點(diǎn)C在的直徑上方的圓弧上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A，B重合)，射線交于點(diǎn)E，，交于點(diǎn)P．(1)求證：平分；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先連接交于，由切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)推出，即可證明平分；（2）平行線等分線段定理得到，推出是的中位線，求出，得到的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：連接交于，∵切于，∴，∵，∵，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∴的值是．【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形中位線定理，關(guān)鍵是連接求出的長(zhǎng)．5．（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的外接圓，是的直徑，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，且．(1)求證：是切線；(2)若直徑，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可知，再根據(jù)余弦的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線段的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵在中，∴∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，又∵，即，解得（取正值），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，余弦的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切的定義與相似三角形的相似比是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，在中，C，D分別為半徑，弦的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交過點(diǎn)B的切線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的中位線求出，即可求出答案；（2）解直角三角形求出，連接，根據(jù)平行線得出，解直角三角形求出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接，∵是的切線，∴，∴，∵C，D分別為半徑，弦的中點(diǎn)，∴為的中位線．∴，∴，∴；（2）如圖．連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，解得：∴即⊙O半徑的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，C，D是上異于A，B的兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)是的切線；(2)若，求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）通過圓心角和圓周角的二倍關(guān)系推出等角，而后證明平行線，最后推出直角來證明切線；（2）根據(jù)平行相似得到邊的關(guān)系，列方程直接求解即可．【詳解】（1）證明：連接CO

∵，，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴為的切線．（2）∵，∴，∵，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查圓的綜合題型，解題關(guān)鍵是通過證明直角說明是切線，以及通過相似找到邊之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2023·江蘇南通·?？家荒＃┤鐖D，A，B，C三點(diǎn)在上，直徑平分，過點(diǎn)D作交弦于點(diǎn)E，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得．(1)求證：是的切線；(2)連接交于點(diǎn)M，若，，求的值．【答案】(1)見解析；(2)2【分析】（1）先得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，利用全等三角形的判定得出，進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）證明：平分，．，．．，．，．．是半徑，是的切線．（2）連接，是的直徑，．，，．，．，，．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．9．（2023·江西萍鄉(xiāng)·萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖（1）是的直徑，且，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖（2），求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)圓周角定理可知，，可得，繼而得到，即；（2）證明是等邊三角形，可知所對(duì)圓心角為，利用弧長(zhǎng)公式可求的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，又∵，，∴，∴，∴．（2）解：由（1）知，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴所對(duì)圓心角為，∴的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓周角定理和弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題意及軸對(duì)稱的性質(zhì)作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線．(2)若．①求的值．②當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①；②【詳解】（1）解：（1）如圖，連結(jié)．．．．為的半徑，是的切線．（2）解：①連結(jié)．由（1）得，．是的直徑，．．，．．．．．．．②由①得，．，．．即．．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明，相似三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角比等知識(shí)點(diǎn)，正確輔助線的添加是解題關(guān)鍵．11．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形中，，，把AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過B點(diǎn)作于E點(diǎn)，交矩形邊于F點(diǎn)．(1)求的最小值：(2)若A點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為2π，求點(diǎn)到直線的距離；(3)如圖2，若，求的值．【答案】(1)最小值為4；(2)點(diǎn)到直線的距離為3；(3)．【分析】（1）連接，先由勾股定理求得，由旋轉(zhuǎn)可得，，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，最小，據(jù)此求解即可；（2）先由弧長(zhǎng)公式求得，得是等邊三角形，從而求得，過點(diǎn)作于M點(diǎn)，可由直角三角形性質(zhì)得求解；（3）先證，得，即可求出，過E作于H點(diǎn)，則，證明，則，即可求出，，，即可由求解．【詳解】（1）解：連接，如圖，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)可得，，∵，∴當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，最小，最小值為，∴最小值為4；（2）解：由題意得，，解得：，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，過點(diǎn)作于M點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)到直線的距離為3；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，過E作于H點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，弧形長(zhǎng)公式，垂徑定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇無(wú)錫·校考一模）如圖，在中，為直徑，為弦，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，線段交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作分別交、于點(diǎn)F、G，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）先證明，接著證明，即可得出結(jié)論．（2）連接和，求出、、、，接著根據(jù)，，即可求出．【詳解】（1），，．（2）如圖，連接，為直徑，，由（1）知，，，解得：．即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，熟練利用圓的性質(zhì)判定三角形相似是解題的關(guān)鍵．13．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）已知，為的直徑，弦與交于點(diǎn)E，點(diǎn)A為弧的中點(diǎn)．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)F為弧上一點(diǎn)，連接，，，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點(diǎn)L，連接，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，，利用等弧所對(duì)的圓心角相等得到，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證的結(jié)論；（2）先根據(jù)（1）和圓周角定理證得，進(jìn)而證得，證明四邊形是平行四邊形即可證得結(jié)論；（3）連接，，，，過G作于M，過O作于K，則，設(shè)，，，證明平行四邊形是菱形和四邊形為矩形，得到，再證明，得到，，進(jìn)而證得四邊形是平行四邊形，，，，，設(shè)，則，利用勾股定理可求得，，，再利用，求得即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，，∵點(diǎn)A為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，連接，，，則，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，又，∴；（3）解：如圖3，連接，，，，過G作于M，過O作于K，則，設(shè)，則，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴平行四邊形是菱形，∴,∴，則；∵，∴∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，即，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，即，∴，則，∴，則，∴，，則，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理、圓周角定理，解直角三角形，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合程度較高，難度較大，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，第（3）作出合適的輔助線是解答的關(guān)鍵．14．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校校考二模）圓內(nèi)接，是圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，，(1)如圖1，連接，求證：；(2)如圖2，當(dāng)為直徑，點(diǎn)在弧上，連接、、時(shí)；求證：(3)如圖3，在（2）的條件下，連接與交于點(diǎn)，連延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，由是圓的切線，得到，，因?yàn)椋?，所以由，可得到最后結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，所以，設(shè)，由和直徑是直徑得到，從而證明，得到為等腰直角三角形，進(jìn)而證明，所以，，得到為等腰直角三角形，進(jìn)而求出最后結(jié)果；（