圓錐曲線(xiàn)試題

專(zhuān)題10圓錐曲線(xiàn)

【2012高考真題精選】

22

1.（2012.江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，若雙曲線(xiàn)方一消q=l的離心率為S，則m的值為

【答案】2【解析】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解.解題突破口是明確焦點(diǎn)所在軸.根據(jù)雙曲線(xiàn)方程

可得：,">0,所以0=[加、^+4=小,解之得m=2.

7nl

22

2.（2012.湖南卷）已知雙曲線(xiàn)C：三一1=1的焦距為10，點(diǎn)P（2，D在C的漸近線(xiàn)上，則C的方程為

)

2

A-----—1B

兒20f-20

222

C-80-'喘合1

【答案】A【解析】本題考查雙曲線(xiàn)方程和漸近線(xiàn)方程，意在考查考生對(duì)雙曲線(xiàn)方程和其性質(zhì)的掌握;

解題思路：首先由7b,c的關(guān)系，排除C,D,再由漸近線(xiàn)方程得答案A.

由已知可得雙曲線(xiàn)的焦距2c=10,樂(lè)+乒=5：=25,排除C,D,又由漸近線(xiàn)方程為尸士=4，得

解得工=20,b~5,所以選A.

2

3.（2012?全國(guó)卷）已知尸|、巳為雙曲線(xiàn)C：X-/=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，伊尸|1=2伊巳1，則cosZF]PF2

A-4B5

4

娼D5

【答案】C【解析】本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義及余弦定理的應(yīng)用，解題的突破口為運(yùn)用震曲線(xiàn)的

定義求出PFI和P無(wú)的長(zhǎng)，再用余弦定理即可求.由雙曲線(xiàn)的定義有PF：—陀=9E=2a=Wi

=2PF：=4S，cosNBPF尸"尸廠二3故選C.

2x-h/2x2V24

4.（2012?課標(biāo)全國(guó)卷）等軸雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線(xiàn)）?=16x的準(zhǔn)線(xiàn)交于A,

8兩點(diǎn)，於朋=4S，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）

A，V2B.2y[2C.4D.8

【答案】C【解析】由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為14=1（30）.易知拋物線(xiàn)，=1&的準(zhǔn)線(xiàn)方程為；

O*Or

儼2仗_

=-4>聯(lián)SZ'二~得16—v-=o*（*）>因?yàn)?二=4S，所以j=±2S.代入（*）式，得16-

lx=-4.

=/,解得a=2（a>0）.所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,故選C.

5.（2012?上海卷）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知雙曲線(xiàn)Ci：2?-丁=1.

（1）過(guò)Ci的左頂點(diǎn)引G的一條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，求該直線(xiàn)與另一條漸近線(xiàn)及x軸圍成的三角形的面積;

（2）設(shè)斜率為1的直線(xiàn)/交G于P、。兩點(diǎn).若/與圓f+y2=i相切，求證：。尸，。°；

（3）設(shè)橢圓C2：4x2+y2=l,若"、N分別是G、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且。M_LOM求證：。到直線(xiàn)"N的距

固是定值.

^

-1，左頂點(diǎn)/一半，0，漸近線(xiàn)方程：/==也.

1

【答案】解：（1：雙曲線(xiàn)G，-

2

過(guò)點(diǎn)A與新近線(xiàn)產(chǎn)心平行的直線(xiàn)方程為產(chǎn)+半，即.尸心+1.

解方程組產(chǎn)二二、'''得「'I，

1=也+1,.=1

、JL丁

所以所求三角形的面積為S=1c?JJ=《.

（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程是r=x+b,因直線(xiàn)P0與已知［g］相切，

故；=1,即6==2.

ji=X+瓦g

由「_、得x：-2bx—6-1=0.

［2x-y=l,

、c/a+x：=2瓦

設(shè)P（X】，1）、九），則，

I為x：=-1-5-.

又）8=（用+6）8+切，所以

OP,+yjz=2xjX：+J（x：+位）+b-

=2（-1—斤）+26：+b：=K-2=0.

故OP±OQ.

⑶當(dāng)直線(xiàn)力.垂直于工軸時(shí)，

av=i,。k=羋，則。到直線(xiàn)一壯的距離為當(dāng)

當(dāng)直線(xiàn).不垂直于x軸時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)QY的方程為丁=K顯然,

則直線(xiàn)的方程為尸一看.

由二得1+F

所以o.v;

同理。?/：=不一7，

2六一1

設(shè)。到直線(xiàn)m.的距離為4

因?yàn)?OXS-+OX-)(f=OM-0X-.

所以*=石1+短=1去=3'即”=坐.

綜上，。到直線(xiàn)-MC的距離是定值.

22

6.(2012?湖北卷)如圖1—5所示，雙曲線(xiàn),一3=l(a,6>0)的兩頂點(diǎn)為4，A2.虛軸兩端點(diǎn)為BI，B2,

兩焦點(diǎn)為F”F2.若以A16為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2&,切點(diǎn)分別為A,B,C,。.則

(1)雙曲線(xiàn)的離心率e=；

q

(2)菱形尸13尸毋2的面積S1與矩形ABCD的面積5的比值肅=_______.

232

【答案】(1:母(2)嚀二【解析】(1)由圖可知，點(diǎn)。到直線(xiàn)F,3-的距離d與圓。的半徑0』

相等，

又直線(xiàn)F-B：的方程為上+?=1,即bx-cv+bc=Q.

一C0

hre一

所以d=/=4整理得，二(c二一。二)=4二。;，即it：-。：)：=樂(lè)，:，得。二一

正+d

所以區(qū)一e—1=0,解得e=L負(fù)值舍去).

⑵連結(jié)05,設(shè)5c與、軸的交點(diǎn)為E,由勾股定理可求得5尸：=也;一批.

由等面積法可求得BE=

逞JT]粵吟v

所以O(shè)E=y]OB--BE-=^.

4東力

所以

-1，S|c31-1y/3+2

而Si=^F\F^B|B2I—2/>c,所以斜=萬(wàn)=，/=七一.

7.（2012?四川卷）已知拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)”（2,比），若點(diǎn)M

到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為3,則1。加1=（）

A.2aB.26

C.4D.275

【答案】B【解析】由于拋物線(xiàn)關(guān)于1軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)的點(diǎn)?,/的橫坐標(biāo)2>0,可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向右,

設(shè)方程為產(chǎn)=2px,準(zhǔn)線(xiàn)為x=一專(zhuān)而“點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離為3,可知與=1,即片:

故拋物線(xiàn)方程為產(chǎn)=4工

當(dāng)x=2時(shí)，可得yQ=±2"41t

：.0乂=也+?=［也

8.（2012?陜西卷）圖1—4是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1

米后，水面寬米.

圖1一4

【答案］加【解析】本小題主要考查了拋物線(xiàn)的知識(shí),解題的關(guān)腱是建立坐標(biāo)系求出拋物線(xiàn)的方程.以

拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為：1：=一切*>0），由題意知拋物/過(guò)點(diǎn)n-2）,

代入方程得尸=1，則拋物線(xiàn)的方程為：三=一為，當(dāng)水面下降1米時(shí)，為丁=一3,代入拋物線(xiàn)方程得x=J4

所以此時(shí)水面寬為2比米.

9.（2012.安徽卷）過(guò)拋物線(xiàn)丫2=公的焦點(diǎn)廠的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若L4FI=3,

則△AOB的面積為（）

A.乎B.A/2D.2^2

【答案】C【解析】本題考查拋物線(xiàn)的定義，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系.如圖，設(shè),4（.v,；100<0）.

易知拋物線(xiàn)F=4x的焦點(diǎn)為R1，0），拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為工=一1，故由拋物線(xiàn)的定義得-一■=4一（一1）=

3,解得<0=2,所以%=一引5,故點(diǎn)A（2,TS）.則直線(xiàn)-45的斜率為Q二^三=一>￡直線(xiàn)A3

的方程為丫=-2亞x+2S，聯(lián)立；>=-2/-2任'消去1?得2x：—5x+2=0,由工用=1,得出5兩

U°=4x,

點(diǎn)橫坐標(biāo)之積為1.所以點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為友.再由拋物線(xiàn)的定義得出內(nèi)=?(—1)=/IA?=L4FI+IBFI=3+,

=々又因?yàn)辄c(diǎn)0到直線(xiàn)AB的距離為d=￥，所以旌4。8=$$半=平.

10.(2012?浙江卷)定義：曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)/的距離的最小值稱(chēng)為曲線(xiàn)C到直線(xiàn)/的距離.已知

曲線(xiàn)G：y=f+。到直線(xiàn)/：y=x的距離等于曲線(xiàn)C2：/+。+4)2=2到直線(xiàn)/：y=x的距離，則實(shí)數(shù)。=

【答案】苧【解析】本題在新定義背景下考查直線(xiàn)、圓和拋物線(xiàn)的方程，一、二次曲線(xiàn)之間的位置關(guān)

系與導(dǎo)致的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力以及函數(shù)與方程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.求出

曲線(xiàn)C：到直線(xiàn)；的距離和曲線(xiàn)G到直線(xiàn)I的距離，建立等式，求出參數(shù)a的值.轆J：x：+n+4>=2

-4

到直線(xiàn)I,y=x的距離為圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑之差,s=s，由j=x：+a可得

=2x,令j=2x=1,則x=《,在曲線(xiàn)C：上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)口』，:+。，所以曲線(xiàn)C；到直線(xiàn)，?的距離即為點(diǎn)31，'

《一卜a|_W、r/B|1|__7_9__7

直線(xiàn)：的距離，故=_7==—『一，所以—7=-=g,可得以一M=2,a=一1或a=i，當(dāng)。=一涓寸,

%/2V2V2141444

曲線(xiàn)G：尸(一：與直線(xiàn)/：產(chǎn)x相交，兩者距離為0,不合題意，故

11.(2012?山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，尸是拋物線(xiàn)C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，”是拋物線(xiàn)C卜.位于

3

第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M,F,。三點(diǎn)的圓的圓心為。，點(diǎn)。到拋物C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)M。與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明

理由；

⑶若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為也，直線(xiàn)8y=H+:與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,/與圓。有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)O,E,求當(dāng)仁2時(shí)，L48|2+IDE|2的最小值.

【答案】解：(1)依題意知尸(0,圓心。在線(xiàn)段。F的垂直平分線(xiàn)y=￡上,

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=—&

所以乎=、，即p=l.

因此拋物線(xiàn)C的方程為f=2y.

⑵假設(shè)存在點(diǎn)M（xo,5（XO>O）滿(mǎn)足條件，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)斜率為

所以直線(xiàn)LQ的方程為j-0=xo（x—悶），

令產(chǎn)法片尹卜

所以*+

又?！啊?，

故—0白

因此卜漿占卷又而>0,

所以向=S，此時(shí)煩S，D.

故存在點(diǎn)3/（^2,1）,使得直線(xiàn)LQ與拋物線(xiàn)。相切于點(diǎn).V.

（3）當(dāng)&=S時(shí)，由亡，得0羋，），

\84/

。。的半徑為唳+李=鳴

所以?2的方程為X—羋葉廠

「金，

由,-整理得2%：—4云-1=。.

卜=6+工

設(shè)X,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為閉，J1），（x>J：）,

由于」］=16￡-+8>0,X］+x：=2匕x】x：=—!

所以J5-=（l+2［（xi+x?—北陽(yáng)］=（1+汨）（4%：+2）.

［y=cv+^

整理得r+域一聿一表=0.

設(shè)D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為⑶力），（Xt,H）,

上丁,足?27八,5V21

由于在一工+丁>0,友+x,一萬(wàn)荏'x加一一項(xiàng)在‘

所以DE?=(1+谷)[8+K)，—4X1X4)=

2：j)

81+^4-

7S1

因此X3二+￡J￡:=(l+*rW+2)+-^+7.

b1十佇』

令1+產(chǎn)=r,由于&M，則爭(zhēng)理5,

~一251751

所以:+DE：=叫1-2)+市+工=49-21+市+工，

、「-

設(shè)gO)=4?-2t+支75+甲1痣F]5.5j"?

因?yàn)镕(0=8L2-薪

所以當(dāng)眸0，5,，g'(r)>g^=6,即函數(shù)g⑵在[1$]±是噌函數(shù)，

所以當(dāng)tg取到最小值”.因此，當(dāng)胃也，.好+DE二取到最小值三

12.(2012.課標(biāo)全國(guó)卷)等軸雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線(xiàn)丁=16乂的準(zhǔn)線(xiàn)交于

A,B兩點(diǎn)，14BI=4，3,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()

A.A/2B.2亞C.4D.8

【答案】C【解析】由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為1一1=1(心。).易知拋物線(xiàn)f=l&的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x

/*，，

X：1；=],

——4,聯(lián)立，片G得16—v-=<2-(*)>因?yàn)?二=4\瓦所以代入(*)式，得16—(±2\/3)-

.x=一$

=￡,解得，=2(a>0).所以。的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，故選C.

13.(2012?全國(guó)卷)已知拋物線(xiàn)C：y=(x+l)2與圓M：(》一1尸+。一g2=r2(r>0)有一個(gè)公共點(diǎn)A,且在A

處兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)為同一直線(xiàn)/.

⑴求r；

(2)設(shè)m、”是異于/且與C及M都相切的兩條直線(xiàn)，m、〃的交點(diǎn)為。，求。到/的距離.

【答案】解：⑴設(shè)/(刖，(Xo+D)對(duì)]=(x+l>求導(dǎo)得J=2(x+D.

故,：的斜率=2(x：+l).

當(dāng)天=1時(shí)，不合題意，所以國(guó)=1.

-rx0+l；—:

圓心為.M1,3，的斜率丫=-----L.

2/XL1

由7_LM!知^=-1.

,,,1

.xo+1--

即2(x+1)------廣=-1，

0X(j-1

解得刖=0,故.4(?！?,

㈡設(shè)⑦a+iy)為c上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為

j—(r+1^=204-l)(x-r).

即i,=2(r+l)x—r:+1.

p11—r：4-i

若該直線(xiàn)與圓M相切，則扇心U到該切線(xiàn)的距離為半，gP

2^[2r+lp+-p

化簡(jiǎn)得r:(r;—4r—6)=0?

解得:3=0.r=2+V10?r：=2—Vlo.

拋物線(xiàn)C在點(diǎn)億，(r：+D；)(t=CU3處的切線(xiàn)分別為/,，”，“，其萬(wàn)程分別為

丁=2x+l,①

<y=2t}+\x-t：+l,②

j=2t:+lx-t：+l,③

②一③得工=注=2.

將x=2代入②得)=-1,故52,-1)，

所以Q到；的距離尋'華.

14.

(2012.湖南卷)在直角坐標(biāo)系X。,中，曲線(xiàn)Ci上的點(diǎn)均在圓C2：(x-5)2+y2=9外，且對(duì)C|上任意一點(diǎn)

M,M到直線(xiàn)尤=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.

(1)求曲線(xiàn)G的方程；

(2)設(shè)尸(xo,知)仇#3)為圓?點(diǎn)，過(guò)戶(hù)作圓。2的兩條切線(xiàn)，分別與曲線(xiàn)G相交于點(diǎn)A，B和C,

D證明：當(dāng)P在直線(xiàn)x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)4,B,C,。的縱坐標(biāo)之積為定值.

【答案】解：(1)解法1：設(shè)例的坐標(biāo)為(x,y),由已知得k+2l="\/x—f+y2—3.

易知圓C2上的點(diǎn)位于直線(xiàn)x=-2的右側(cè)，于是x+2>0,所以正于亍=x+5.

化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)G的方程為y2=20x.

解法2：由題設(shè)知，曲線(xiàn)G上任意一點(diǎn)M到圓心CK5,0)的距離等于它到直線(xiàn)x=-5的距離.因此,

曲線(xiàn)Ci是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)犬=-5為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).故其方程為尸=20乂

(2)證明：當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸的坐標(biāo)為(一』，心)，又I產(chǎn)=3,則過(guò)尸且與扇。：相切的直

線(xiàn)的斜率X存在且不為Q,每條切線(xiàn)都與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，切線(xiàn)方程為1一心=&x+4),即近一j+g+公

=。.于是5H掂=3.

整理得72F+13j”?!—9=0.①

設(shè)過(guò)尸所作的兩條切線(xiàn)23PC的斜率分別為於，咫，則小足是方程①的兩個(gè)實(shí)根.故

年十是=一喏=一?.②

,tx—v+jo+4^1=0,

得

lj-=20x

^-20;+200'o+4^)=0.③

設(shè)四點(diǎn)H,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為J：,力，門(mén),”,貝Uji，J：是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以

同理可得

2g+伐有

⑤

于是由②，④，⑤三式得

_40Cij-：+4^j-.j+4^

)nn'3"kih

-00—+?。?的-：+16也和］

_40(h-o~^+16^^_

----------------04UU.

為檢

所以，當(dāng)P在直線(xiàn)X=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)/B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值64。0.

15.(2012.北京卷)在直角坐標(biāo)系X。)，中，直線(xiàn)/過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)凡且與該拋物線(xiàn)相交于A,B兩

點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線(xiàn)/的傾斜角為60。，則AOA尸的面積為.

【答案】幣【解析】本題考查拋物線(xiàn)方程、拋物線(xiàn)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系以及

三角形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸思想.

拋物線(xiàn)產(chǎn)=公的焦點(diǎn)尸(LQ)，直線(xiàn)，.的斜率為tan60：=餡，所以直線(xiàn)：的方程為尸SlS，將直線(xiàn)：

的方程和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立“=正'一術(shù),可得3x-10x+3=。.設(shè)NgJ】)，B(xz,3，由點(diǎn)，在x軸上方，

5“=4x,

所以X點(diǎn)在第一冢限，則馬=3,3：="自

法一：/尸=4+1=4,。點(diǎn)到直線(xiàn)N3的距離為方=哮，所以S"0=；x4xg=#.

法二：/(3,2\歷，所以$"a=乜卜2#=3.

16.（2012?課標(biāo)全國(guó)卷）設(shè)拋物線(xiàn)C：x2=2p），0?0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為/,A為C上一點(diǎn)，已知以尸為圓心，

用為半徑的圓F交/于B,。兩點(diǎn).

（1）若N8/*=90。，ZVlBn的面積為4啦，求p的值及圓尸的方程：

（2）若A、8、尸三點(diǎn)在同一直線(xiàn)m上，直線(xiàn)〃與HI平行，且〃與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，力

“距離的比值.

【答案】解：（1）由已知可得△瓦叨為等腰直角三角形，BD=2p,圓尸的半徑用=抵.

由拋物線(xiàn)定義可知A到，的距離d=FA=Sp

因?yàn)榈拿娣e為RS所以《比?不=4S，即卜pWp=4低

解得p=-2（舍去%P=--

所以F（Q」），圓F的方程為

x:+（i-1）-=S.

（2）因?yàn)?3,F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)加上，所以.結(jié)為圓F的直徑，NXD5=90。.

由拋物線(xiàn)定義知

AD=FA=!=3,

所以//3￡）=30‘，哂的斜率為坐或一半.

當(dāng)加的斜率為由時(shí)，由已知可設(shè)%y=^,v+5,代入式=2初得必一部x-2pb=0

由于〃與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故/=5+3「5=。.解得b=—5

因?yàn)殛幍慕鼐嗟?，?3，

4o

所以坐標(biāo)原點(diǎn)到常，”距離的比值為3.

當(dāng)〃[的斜率為一*時(shí)，由圖形對(duì)稱(chēng)性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到明距離的比值為3,

-1

7.（2012?重慶卷）過(guò)拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于4、8兩點(diǎn)，若148=和，\AF\<\BF],則L4FI

【答案】G【解析】由拋物線(xiàn)方程可知P=l，焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為士。，設(shè)―g），5（X2,.V.則-43

'r

=x：+x：+p=X',+x：+1—yt，所以工：+定=卡.設(shè)直線(xiàn)AB的方程為1=不工一:3代人拋物線(xiàn)y-=2x,得

產(chǎn)必一x+工=2x,即尸必一（區(qū)+2）x+j=0,XI+x：=-~=所以5=24,將F=24代入kzx--（k-+2）x

+T=0,因?yàn)椋現(xiàn)VBF,所以解方程得4=；,所以.F=X：+。/.

4JZ0

18.（2012?重慶卷）如圖1—3,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為4,左、右焦點(diǎn)分別為

F|,尸2，線(xiàn)段OF1，。尸2的中點(diǎn)分別為Bl，比，且△A8182是面積為4的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)與作直線(xiàn)/交橢圓于P,。兩點(diǎn)，使求直線(xiàn)/的方程.

【答案】解：⑴設(shè)所求桶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為宏莊=1（4〉0）,右焦點(diǎn)為無(wú)（C0）.

drB一

因△叁昆民是直角三角形，又上5：=.43二，故N%L3二為直角，因此?！?。二，得戶(hù)三結(jié)合c：=出一

&二得45—-典故樂(lè)=5,項(xiàng)c：=4輸所以離心率?=,=K^.

a）

在Rt^WS；炎中，OdJL5；B＞故

1c

S△/5：3：=亍513：,OA=OB：,OA=：?=泣

由題設(shè)條件59.=5；生=4,得F=4,從而東=5崔=20.

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）由（1：知附一2：0）,5:（2;0）.由題意知直線(xiàn)；的愉斜角不為0,故可設(shè)直線(xiàn)；的方程為，工=四一2.代

入橢圓方程得“+5）小—力町-16=0.

設(shè)尸8,＞）、O（x:,”）,則＞，上是上面方程的兩根，因此

__4m____16

T］+Y、——■-7,丁門(mén)、-----r":~7,

,“萬(wàn)+）〃“m-+5

又審=8-2,J，1），3zQ=（xz-2,無(wú)），所以

B^PBzQ=（Xi—2）（4-2）+九）々

=（陽(yáng)］一4）（叩L4）+w

=（虛+1加力-4鞏｝\+力）+16

Ifiwf+l16#?

=---------r~—---------二丁二十］0

什十）什十）

_16次二一64

對(duì)+5'

由9殳1_。殳，得審房0=。，即167戶(hù)一64=0,解得加=±2.

所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條，其方程分別為x+2y+2=0和工一方+2=0.

22

19.（2012?天津卷）設(shè)橢圓也+營(yíng)=1（。＞6＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)尸在橢圓上且異于A,8兩點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線(xiàn)AP與BP的斜率之積為一；，求橢圓的離心率;

（2）若3Pl=1041,證明直線(xiàn)0P的斜率k滿(mǎn)足陽(yáng)＞蟲(chóng).

【答案】解：（1）設(shè)點(diǎn)1的坐標(biāo)為（X。，地）.

由題意，有鄉(xiāng)+興=1.①

a*加

由/（一a。），3（a0＞得心產(chǎn)二號(hào)j

1___FJ2

由f可得芯=。二一代入①并整理得（4二-2棧加=0.由于i）=0,故d=2K.于是"

=|,所以橢圓的離心率e=W.

（2）證明：（方法一）

依題意，直線(xiàn)OP的方程為〉=云，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為［的，To）.

由條件得1,=消去并整理得

la-加

一――A

1：.--1,r.口（J

十&

由AP~OA，上（—a：0）及VQ=沃：，得?工:+G--F2飛=￡.整理得:1+2初+二欠：=:.而悶=0,于是x；=~.TT,

1十心

小L

代入②，整理得（1+桿=4坦；二+4.由心A0,胡1+杵＞4區(qū)+4,即F+1＞?L因此出＞3,所以匕S.

［方法二:，依題意，直線(xiàn)。P的方程為j=H,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xo,fcto）.由點(diǎn).二在桶扇上，有之容=

w***

1.因?yàn)閍＞3＞0,AX,=0,所以氾+洋VI,

3Ct^Ctr

即（1+5）城V樂(lè).③

由XP=。4，X（一a0），得1沏+若+工￡=。：，整理得11+F）石+2加=。，于是祀=11."代入③，得

1十年一

（1+斤萬(wàn)注〈樂(lè)，解得？＞3,所以匯＞/.

20.（2012?山東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C：，=20）。＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線(xiàn)C上

位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M,F,。三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)。到拋物C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為*

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）是否存在點(diǎn)〃，使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明

理由;

(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為&,直線(xiàn)氏y=H+：與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,8,/與圓。有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)會(huì)代2H寸，LABF+I而的最小值.

【答案】解：(1〕依題意知月0,勺，圓心。在線(xiàn)段。F的垂直平分線(xiàn)丁=與上，

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為產(chǎn)Y

所以￥=；，即p=l，

因此拋物線(xiàn)。的方程為X==2F

(2)假設(shè)存在點(diǎn)U出,"，(而＞0)滿(mǎn)足條件，拋物線(xiàn)C在點(diǎn)心處的切線(xiàn)斜率為

一一「吟，—一

JX-XQ-v'V-Xo-XQ.

所以直線(xiàn)MQ的方程為j-？=xo(x-.vo),

令產(chǎn)搞「尹士，

所以吟+專(zhuān)，

又?！?。2，

故金一好+；卜野=；拚呼+張

因此，二=卷又工戶(hù)支

0U10

所以悶=s，此時(shí)1).

故存在點(diǎn)H(S，D，使得直線(xiàn)M2與拋物線(xiàn)。相切于點(diǎn)M

(3)當(dāng)悶=亞時(shí)，由(2)得。羋，￡,

③。的半徑為「=寸哈;+(；[=￥,

所以02的方程為X一羋：=[.

X.o\-VJZ

[y=1r-?

由:'整理得2x：—4fcv—1=0.

廠叫

設(shè)』3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為S，31?(X＞

由于」]=16"+8＞。，為+上=22,x]x：=—

所以AB-=（1+?）[（xi+x：F—枇兇]=（1+產(chǎn)）（較：+2）.

[5\/2\-II、1_27

L青:氣'一/卞，

[y=fa+1,

整理得n+酒爐一手、?喋=0.

設(shè)D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為g9），（X*K）,

足275s1

由于4=/百>0‘阜+.口=汨親，x汨=-.[+，

所以DE二=（1+》）[（串+工）二一4QXJ=

—---pi

81+種：

251

因此N3=+DE：=（1+?）（4F+2）+^7Z+；.

o1IR：?

1s

令1+足=1,由于在2,則4出5,

所以W5:+。6=?41—2）+言+：=4廣-2什戈+占

設(shè)、cg（D=4￡—2]+益75+11]E「j5'5-」，

因?yàn)?U）=8L2一/

所以當(dāng)瘧唇,小,f⑺力爭(zhēng)=6,即函數(shù)g⑺在住恥是增函數(shù)，

所以當(dāng)f=1wg⑺取到最小值?因此，當(dāng)胃如，.E+DE：取到最小值共

21.（2012.湖南卷）在直角坐標(biāo)系xO），中，曲線(xiàn)G上的點(diǎn)均在圓。2：（x—5尸+丁=9夕卜，且對(duì)G上任意一

點(diǎn)M,M到直線(xiàn)x=—2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.

⑴求曲線(xiàn)C（的方程；

⑵設(shè)P（W光）優(yōu)玨3）為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)尸作圓C2的兩條切線(xiàn),分別與曲線(xiàn)Ci相交于點(diǎn)A,B和C,

D證明：當(dāng)P在直線(xiàn)尤=一4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)4,B,C,。的縱坐標(biāo)之積為定值.

【答案】解：（1）解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為（x,y）,由已知得lx+2l=「x—f+y2-3

易知圓C2上的點(diǎn)位于直線(xiàn)了=-2的右側(cè)，于是x+2>0,所以山-52+）,2=X+5.

化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)G的方程為丁=20乂

解法2：由題設(shè)知，曲線(xiàn)Ci上任意一點(diǎn)M到圓心C2（5,O）的距離等于它到直線(xiàn)x=—5的距離.因此，

曲線(xiàn)G是以（5,0）為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x=-5為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).故其方程為丁=20工

（2）證明：當(dāng)點(diǎn)尸在直線(xiàn)x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸的坐標(biāo)為（一4,加），又加#3,則過(guò)P且與圓C?相切的直

線(xiàn)的斜率”存在且不為0,每條切線(xiàn)都與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，切線(xiàn)方程為y—yo=Mx+4）,即履一y+y0+4%

二°,于是‘拼41?

整理得72M-+-9=0.①

設(shè)過(guò)尸所作的兩條切線(xiàn)24，PC的斜率分別為4,k：,則心是是方程①的兩個(gè)實(shí)根.故

比+和=一喏=一?②

由y得

^>-20i+200'o+4iti)=0.③

設(shè)四點(diǎn)/3,C,。的縱坐標(biāo)分別為J：，”,二,「，則>，J：是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以

_2班+曲

JUL-r—④

同理可得

2OT0+4^

172=-『------⑤

??r尻

于是由②，④，⑤三式得

』OQyo+45：i+4t：

k也

=M0[)5+蛇+/：)+16*悶

Ah

_4OOy3-JiJ+16比f(wàn)r：_

--------------------------6400.

kykz

所以，當(dāng)P在直線(xiàn)x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)4B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.

22.（2012.湖北卷）設(shè)A是單位圓x2+y2=］上的任意一點(diǎn)，/是過(guò)點(diǎn)4與x軸垂直的直線(xiàn)，D是直線(xiàn)/與x

軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)/上，且滿(mǎn)足IDMI=mlD4l（〃?>0,且〃洋1）.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為

曲線(xiàn)C

（1）求曲線(xiàn)C的方程，判斷曲線(xiàn)C為何種圓錐曲線(xiàn)，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為"的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于尸，。兩點(diǎn)，其中尸在第一象限，它在），軸上的射影為點(diǎn)N,

直線(xiàn)QN交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)H.是否存在加，使得對(duì)任意的k>0,都有PQLP”？若存在，求皿的值：若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解：（1）如圖⑴，設(shè)仞（x,y）,A（x0,g）,則由IDWI=〃?ID4Km>0，且"Hl），

可得x=x（），l.yl=〃?ly（）l，所以1o=x,b'（）l=/b"?①

因?yàn)辄c(diǎn)4在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以/+羌=1.②

2

將①式代入②式即得所求曲線(xiàn)c的方程為x2+^=l（/n>0,且加百）.

因?yàn)?nW(O,l)U(l,+oo),所以

當(dāng)ov，”v1時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在X軸上的桶圓,

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為L(zhǎng)一?戶(hù),0）>（y/1一帕,0）j

當(dāng)，”>1時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在J軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（。，一.加—1）,（o>1）.

（2）方法1：如圖⑵、（3）,對(duì)任意的2>0,設(shè)取,柏），和2,則2（—xi，—cvi）>A（0?fcti）?直

線(xiàn)QX的方程為j=2H+H，將其代入施圓C的方程并整理可得口”;+掂：然+4產(chǎn)x：x+》xL加=0.

依題意可知此方程的兩根為一4,X：,于是由韋達(dá)定理可得

.4^X1口加X(jué)】

一"十0一—滸+4/即nX2—叱+4.

因?yàn)辄c(diǎn)H在直線(xiàn)av±,

所以先一6=2比=篙蚩

于是PQ=(—2xi，—2H。,

2筋Rv：）

西=（X、-X1，Lfcv尸一加二+4爐

而P°L咕等價(jià)于邁西=

加-+4小

即2—w:=0>又?n>0,得，"=S，

故存在，”=S，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓必+1=1上，對(duì)任意的2>0,都有.D?_LPH.

方法2：如圖(2)、(3),對(duì)任意:qG(CU),設(shè)P(r*/),H(x:,竺)，則Q-x.,-y}),.\70,,

745+r=7戶(hù),

因?yàn)镽H兩點(diǎn)在橢圓C上，所以

7/正+工=加,

兩式相減可得

蘇（6―*3+0弓—）+=0.③

依題意，由點(diǎn)P在第一象限可知，點(diǎn)E也在第一象限，且P，A不重合,

故（X1—X2）（X[+》2）/0.于是由③式可得

.?-3+力

m2.?

.X\—X2X\+X2

又Q,N,點(diǎn)共線(xiàn)，所以即,?二

X\X\iX2

于是由④式可得叱3也9=驢小學(xué)=-f.

LXiX[-X22%|-X2X1+X22

2

而PQA-PH等價(jià)于kpQ，kpH=-1，即一,=-1,又加>0,得m=y[i,

故存在機(jī)=啦，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓￥+[=1上，對(duì)任意的我>0,都有PQL