高中數(shù)學(xué)1部分第三章3第二課時(shí)半角公式及其應(yīng)用課件北師大版必修

第三章§3第二課時(shí)理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四α示

cosα

sin

？2，

2問題1：二倍角的余弦公式是什么？提示：cos

2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.問題2：我們知道二倍角是相對(duì)的，試想能否用cos

α

表提示：可以．移項(xiàng)后開平方可得，但其值的正負(fù)不定．半角公式α(1)sin2＝；α(2)cos2＝；α(3)tan2＝.±1－cos

α

2±1＋cos

α

2±1－cos

α

1＋cos

α sin

α

＝

1＋cos

α

＝1－cos

α

sin

α半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來表示，它們是二倍角余弦公式的推論．這里要特別注意公式中根號(hào)前的雙重符號(hào)，它取決于α

所屬的象限，如果沒有給出決定符號(hào)的條2件，則在根號(hào)前保留正負(fù)兩個(gè)符號(hào)，若給出了角α的α具體范圍，則先求2所在的范圍，選擇合適的符號(hào)．[例1]

已知sin(90°＋θ)＝－35，且180°＜θ＜θ270°，求tan2.[思路點(diǎn)撥]

可用半角公式求值或用單角的正、余弦表示半角的正切．[精解詳析]

法一：由

sin(90°＋θ)3＝－5，3得cos

θ＝－5，∵180°＜θ＜270°，2θ

θ∴90°＜

＜135°，∴tan2＜0，θ∴tan2＝－1－cos

θ1＋cos

θ＝－31－(－5)51＋(－

)3

＝－2.法二：由sin(90°＋θ)

3

cos

θ

3＝－5，得

＝－5，∵180°＜θ＜270°，∴sin

θ＜0，∴sin

θ＝－

1－cos2θ＝－

1－

9425＝－5，∴tan2＝θ

sin

θ

1＋cos

θ＝4－551＋(－

)3

＝－2.[一點(diǎn)通]

已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為：先化簡(jiǎn)已知或所求式子；觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．121．tan

π

＝

.解析：法一：∵π1

π12＝2×6，12∴tan

π

＝1－cosπ1＋cosπ66＝1－31＋322

＝2－

3.π法二：tan12＝πsin61＋cos6π＝121＋

23＝2－

3.法三：∵ππ

π12＝3－4，∴tan

π

＝tan(

－

)．π

π12

3

4＝πtanπ－tan3

4π1＋tan3tan43－1π＝1＋3×1＝2－

3.答案：2－32．設(shè)5π<θ<6π，cosθ1

θ2＝3，則sin4＝

.解析：∵5π<θ<3π，∴si

θ<0.4

4

2

n4θ∴sin4＝－θ1－cos22＝－1－1323＝－

3

.答案：－33[例2]

1＋sin

α

1＋cos

α－

1－cos

α＋1＋cos

α＋

1－cos

α3π

1－sin

α

，其中π<α<2

.用升冪公式脫去根號(hào)，根據(jù)角的[思路點(diǎn)撥]范圍化簡(jiǎn)．[精解詳析]∵π<α<

23π，π

α

3π∴2<2<4

.∴

1＋cos

α＝2|cos2|α

＝－

2cos2α，1－cos

α＝

2|sinα|＝

2sinα.2

2∴ 1＋sin

α

1－sin

α

1＋cos

α－

1－cos

α＋

1＋cos

α＋

1－cos

α＝α

1＋sin

α

—

2(cos2＋sin2)α

＋

1－sin

α

2(

α

αsin2－cos2)＝(cosα

sin

)2＋

2α

2α—

2(cos2＋sin2)α

＋α α

2(sin2－cos2)2(

α

αsin2－cos2)α＝－

2cos2.[一點(diǎn)通]利用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)正確選用升、降冪公式：當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有根式時(shí)，應(yīng)選用升冪公式去根號(hào)；當(dāng)待化簡(jiǎn)式中含有高次式時(shí)，應(yīng)選用降冪公式減少運(yùn)算量，開方運(yùn)算時(shí)要注意角的范圍．3．化簡(jiǎn)：1

1

1

12－22＋2cos

2α(α∈

3π，2π))．(

22解：∵α∈(3π

，2π)，∴cosα>0，則由半角公式得21＋12cos

2α＝cos

α，∴原式＝1

1α2－2cos

α.又2∈3π

α

1

1

α2－2cos

α＝sin

2，α(4

，π)，∴sin

2>0，從而即原式＝sin2.4．化簡(jiǎn)：·

·sin

4α

cos

2α

cos

α1＋cos

4α

1＋cos

2α

1＋cos

α.解：法一：原式＝2sin

2αcos

2α2cos22α·22cos

α·cos2α

cos

α

1＋cos

α＝sin

2α·

12cos

α

1＋cos

α2cos

α＝2sin

αcos

α

1·

＋cos

α1 sin

α

＝1＋cos

α＝α

α2sin2cos

22α2cos

2α＝tan

2.法二：原式＝tan

2α·

cos

2α·

cos

α1＋cos

2α

1＋cos

α＝ sin

2α

·

cos

α1＋cos

2α

1＋cos

α＝tan

α·

cos

α1＋cos

α1＋cos

α＝ sin

α

＝

αtan

2.[例

3]

已知函數(shù)

f(x)＝2 3sin

xcos

x＋2cos2x－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及相應(yīng)的x

值．2首先把f(x)化成Asin(ωx＋θ)的形式，[思路點(diǎn)撥]再研究其性質(zhì)．[精解詳析]

f(x)＝2

3sin

xcos

x＋2cos2x－1＝

3sin

2x＋cos

2x＝2sin(2x

π)．＋6π(1)令2kπ－π≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，π2

6

23π

π得kπ－≤x≤kπ＋6(k∈Z)，3π

π∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋6](k∈Z)．π]

π(2)由x∈[0，2

可得6≤2x＋6≤

6π

7π.6

2ππ

π所以，當(dāng)2x＋＝，即x＝6時(shí)，f(x)取最大值，最大值為2.[一點(diǎn)通]

首先利用倍角公式及兩角和的正弦公式，將f(x)轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，即利用化

歸的思想轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有關(guān)性質(zhì)，注意使用整體代換的思想將ωx＋φ看成一個(gè)整體去討論最值及單調(diào)性問題．5．(2011·湖北高考)已知函數(shù)f(x)＝

3sin

x－cos

x，x∈R，若

f(x)≥1，則

x

的取值范圍為

(

)3A．{x|kπ＋π≤x≤kπ＋π，k∈Z}3B．{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋π，k∈Z}C．{x|kπ＋π≤x≤kπ＋5π，k∈Z}6

6D．{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋5π，k∈Z}6

6解析：根據(jù)題意，變形得f(x)＝2sin(x－π

，因?yàn)閒(x)≥1，所6)1

π以2sin(x－π)≥1，即sin(x－π)≥，由圖像可知滿足＋2kπ≤x6

6

2

6－π

5π

π6≤6

＋2kπ(k∈Z)，解得3＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．答案：B6．已知函數(shù)f(x)＝2sin2(＋x)－cos

2x，x∈[，]，求f(x)的最大值和最小值．cos(23＝1＋sin

2x－

3cos

2x＝1＋2sin(2x－π)，又∵x∈π，π]，[4

2π

π

2π

1

π∴6≤2x－3≤

3

，∴2≤sin(2x－3)≤1.∴2≤1＋2sin(2x－π)≤3.3∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.[思路點(diǎn)撥]

先求矩形面積S關(guān)于α的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)知識(shí)求最大值．在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝[精解詳析]sin

α.(4分)在Rt△OAD中，OA＝AD＝BC＝sin

α.∴AB＝OB－OA＝cos

α－sin

α.設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AB·BC＝(cos

α－sin

α)sin

α＝cos

αsin

α－sin2α＝1sin

2α－1－cos

2α

(6分)2

2＝

2

2

2

1

2

π2

(

2

sin2α＋

2

cos

2α)－2＝

2

sin(2α＋4)1－2.(9分)由0<α

π

π

π

3π<4，得4<2α＋4<4

.π

π

π最大∴當(dāng)2α＋4＝2，即α＝8時(shí)，S

＝2－12.8因此，當(dāng)α＝

π

時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為

2－12.(12分)[一點(diǎn)通]

解決有關(guān)三角函數(shù)的實(shí)際問題，應(yīng)首先設(shè)定主變量角α以及相關(guān)的常量與變量，建立含有角α的三角函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)的變換、性質(zhì)等進(jìn)行求解．求三角函數(shù)最值的問題，一般需利用三角函數(shù)的有界性來解決．7.如圖，某一公司位于兩條平行的大道之間A處，且到兩大道的距離分別為h1，h2，今公司想在兩大道上分別設(shè)置一個(gè)產(chǎn)品銷售點(diǎn)B和C，使AB⊥AC，試問如何設(shè)置使△ABC的面積最?。看藭r(shí)最小值為多少？sin

α解：設(shè)∠ABD＝α，則∠CAE＝α，AB＝

h2

，AC＝h1cos

α，∴S

1

h1h2

π△ABC＝2AB·AC＝sin

2α.∵0＜α＜2，π

π∴當(dāng)2α＝