數(shù)理邏輯初步

數(shù)理邏輯初步秦慶堯（臨沂沂水縣教育局教研室）一.引言：邏輯學是研究人類正確思維的規(guī)律和形式的科學.“邏輯”一詞是拉丁文logic的音譯，logic一詞導源于希臘文logos，有“思維”及“表達思考的言詞”之意.邏輯學分類：形式邏輯：形式邏輯是由古希臘大哲學家亞里士多德（Aristotle，公元前384—322年）創(chuàng)立的.主要是對思維的形式和規(guī)律進行研究的類似于語法的一門工具性學科，思維的形式包括概念，判斷和推理之間的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系，其中概念是思維的基本單位，通過概念對事物是否具有某種屬性或關(guān)系進行肯定或否定的回答，這就是判斷；由一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維形式叫做推理形式邏輯的主要內(nèi)容還包括關(guān)于正確思維的三個基本規(guī)律和演繹推理的基本形式：三段論.這三個定律是：（1） 同一律：A就是A，而不是非A.在思維和推理的過程中，一個概念必須保證它的外延的確定性和內(nèi)涵的同一性，用同一個概念去表達兩個不同的對象，或用兩個不同的概念去表達同一個對象，都是違犯同一律的，違反同一律的邏輯錯誤叫做偷換概念.古希臘詭辯學派就是通過這樣的辦法與人辯論的.（2） 矛盾律：A不能既是B，又是非B.第二個說法是：命題p不能既真又假.第三個說法是：命題p與非p不能同真（但可以同假）.這里的非p與下文的“非p”意義不同，例如，命題p：質(zhì)數(shù)是奇數(shù)；非〃：質(zhì)數(shù)是偶數(shù).這兩個命題就違反了矛盾律，他們不可能都是真命題，事實上，他們都是假命題.（3） 排中律：A或者是B，或者是非B，二者必居其一.第二個說法是：命題p非真即假.，二者必居其一.在十七世紀末，德國哲學家、數(shù)學家萊布尼茲又增入了一條：（4） 充足理由律：所以有A，是因為有B.三段論是演繹推理的形式，由大前提、小前提和結(jié)論組成.亞里士多德在形式邏輯的基礎(chǔ)上又提出了用演繹推理來建立各門學科體系的思想.歐幾里德在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了公理化方法：盡可能少的選取原始概念和一組不加證明的原始命題即公理，以此為出發(fā)點，應(yīng)用演繹推理，推出各門學科的全部內(nèi)容.他的《幾何原本》、阿波羅尼斯的《圓錐曲線》、牛頓的《自然哲學的數(shù)學原理》、拉普拉斯的《天體力學》、拉格朗日的《分析力學》、拉瓦錫的《化學綱要》等科學名著都是按照公理化方法寫成的，所以說，沒有形式邏輯，就沒有現(xiàn)代數(shù)學和現(xiàn)代自然科學.辯證邏輯：辯證邏輯是由19世紀德國哲學家黑格爾創(chuàng)立的.主要是三個定律：量變與質(zhì)變規(guī)律；對立統(tǒng)一規(guī)律；否定之否定規(guī)律.辯證邏輯也叫辯證法，馬克思與恩格斯運用黑格爾的辯證法和費爾巴哈的唯物主義創(chuàng)立了辯證唯物主義，影響是巨大的.數(shù)理邏輯：也叫符號邏輯，它既是一個數(shù)學的分支，也是一個邏輯的分支.它是用數(shù)學的方法研究形式邏輯的學科，所謂數(shù)學方法，是指使用符號、公式、公理化方法和一般的數(shù)學知識.主要內(nèi)容是命題邏輯和謂詞邏輯.現(xiàn)在，數(shù)理邏輯又有了四個主要分支：證明論，公理集合論，遞歸論和模型論中學數(shù)學中的邏輯內(nèi)容主要是命題邏輯和謂詞邏輯的一點初步知識.符號邏輯的創(chuàng)立者主要有：萊布尼茲，布爾，摩爾根，皮爾斯，弗雷格，羅素，皮亞諾，哥德爾等人，這些人主要是數(shù)學家或哲學家.學習數(shù)理邏輯的意義：它是數(shù)學的基礎(chǔ)和學習數(shù)學的工具；對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力有重要意義；數(shù)理邏輯是計算機理論的基礎(chǔ)，它是計算機專業(yè)和人工智能專業(yè)的基礎(chǔ)課.二.命題、開句與量詞：命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述語句叫命題.在形式邏輯中，我們把反映事物具有或不具有某種屬性或關(guān)系的思維形式叫判斷，表達判斷的陳述語句叫命題.判斷一個句子是否為命題，應(yīng)該分兩步：首先判定它是否為陳述語句，其次看看它能不能判定真假.下列語句不是命題：（1） 感嘆句.例如，祝你健康?。?） 疑問句.例如，難道平行四邊形的對角線不是互相平分嗎？（3） 祈使句.例如，你快離開這里！注意：下列陳述句不是命題：紐約離我們沂水很遙遠.；方程2x2+3x+1=0可能有實根.這種語句在模糊邏輯中才是命題.模糊邏輯是1965年由美國的數(shù)學家扎德（LolriZadeh1921年一）創(chuàng)立的，到現(xiàn)在還很不成熟.“教師是人類靈魂的工程師”，這個語句不是命題，這只是一個比喻，無所謂真假.“人為萬物之靈”也不是命題，這只是一個形容，也是無所謂真假的.“張三是東西”也不是命題，因為“東西”的含義不明確，無法對其做出判斷.“火星上曾經(jīng)有水”，這是一個命題，雖然現(xiàn)在還不知道它的真假，但它的真假是客觀存在的，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，總有一天會知道它的真假的.“我正在說假話”，這不是一個命題，這是一個悖論，所謂悖論，就是由真推出假，又由假推出真的陳述語句，凡是悖論都不是命題.判斷一個語句是不是陳述語句很簡單，但是判斷一個陳述句的真假有時是很困難的，它與人的思想感情，語言環(huán)境，判斷標準，認識程度等等有密切聯(lián)系.“這盤菜太咸”這是一個命題，雖然這個語句的真假似乎不能唯一判定，因為它因人而異，但是我們可以認為這個語句的真假取決于說話人的主觀判斷，即認為此語句是“我認為這盤菜太咸”的簡寫.“1+1=10”這也是一個命題，在二進制中它是一個真命題，在十進制中它是一個假命題，但并不是說它的真值不唯一，既真又假，而是說它的真假與語言環(huán)境有關(guān).“水是生命之源”，這是一個命題，判斷它的真假，需要生物學的知識.“太陽系有九大行星”，這個命題在2006年8月24日之前是真命題，在2006年8月24日之后就是一個假命題，因為在2006年8月24日晚上9點20分，國際天文學聯(lián)合會在捷克首都布拉格宣布，太陽系有八顆行星，冥王星不具有行星的資格.這個命題的真假是受人們對天文學的認識程度決定的.2.開句：含有變量的陳述語句叫做開語句，簡稱開句.例如，“尤一1=6”，“尤＞3”，“尤是無理數(shù)”，都是開句.開句也叫命題函數(shù)，在謂詞邏輯中，開句就是謂詞.開句不是命題，但卻是符號邏輯研究的主要對象，是符號邏輯的基本概念.另外，在數(shù)學的好多地方，都用開句作為基本的數(shù)學語言.例如，在集合的表示方法中，有一個描述法｛尤Ip（X）｝，其中，p（X）就是開句.開句一般用p（X），q（X），r（X），…等符號表示，給變量x賦值，就得到命題，用p（a），p（b），…等表示.這也是開句叫命題函數(shù)的原因.用開句制造命題的這種方法叫做賦值法.例1設(shè)x^N,p(x)表示：“x是奇數(shù)”.則p(2)是假命題，p(3)是真命題.例2設(shè)xeR,p(x)表示：“x>3”.則p(5)是真命題，p(2)是假命題.使開句p(x)成為命題的所有x的集合叫p(x)的定義域，p(x)的值域是一個命題集.需要注意的是，這里的定義域同函數(shù)的定義域是不同的兩個概念，這里的定義域類似于集合中的全集，隨問題情景的不同而不同.例如例1中的p(x)，它的定義域可以是整數(shù)集，也可以是有理數(shù)集，實數(shù)集，甚至是復數(shù)集.3.量詞：在命題邏輯中，命題是命題演算的基本單位，不再對簡單命題進行分解，這也是簡單命題也叫做原子命題的原因，在謂詞邏輯中，為了要研究命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，需要對簡單命題作進一步的分解，一個命題一般由個體詞(主詞)、謂詞和量詞構(gòu)成，個體詞在命題中是被判斷的對象，謂詞表示個體詞具有的性質(zhì)或關(guān)系，謂詞是表示個體詞內(nèi)涵的詞句，例如,“?克是無理數(shù)”，“巨”是個體詞，“…是無理數(shù)”是謂詞，可以表示為“x是無理數(shù)”，因而也叫一元謂詞，一般的用p(x)表示，“5>3”，5,3是個體詞，"…〉…”是謂詞，可以表示為“x>y”，因而也叫二元謂詞，一般地用p(x，y)表示，一般地，n元謂詞用p(x1，x2，?，xn)表示，一元謂詞是表示個體詞性質(zhì)的語句，二元謂詞是表示這兩個個體詞之間的關(guān)系的語句，n元謂詞是表示這n個個體詞之間的關(guān)系的語句.量詞：表示個體詞數(shù)量范圍的詞叫量詞.個體詞的數(shù)量范圍就是個體詞的外延，量詞是表示個體詞外延的詞句，量詞有兩種：全稱量詞和存在量詞.19世紀末，美國的哲學家、數(shù)學家和邏輯學家皮爾斯(Peirce，1839—1914年)和德國的數(shù)學家、邏輯學家、耶拿大學數(shù)學教授弗雷格(Frege，1848—1925年)分別獨立的在數(shù)理邏輯中引入量詞這個重要的概念.全稱量詞用“V”表示，意思是“任意”、“任意一個”、“所有的”.任意一詞的英文是Arbitrarg，將它的第一個字母A倒過來用，表示全稱量詞；存在量詞用“3”表示，意思是“存在”、“存在一個”、“某些”、“至少有一個”.存在一詞的英文是Existential，將它的第一個字母E反過來用，表示存在量詞.開句不是命題，但卻是制造命題的主要材料，用開句制造命題，有三個辦法，一個就是上述的賦值法，第二個就是量詞法，在開句的前面加上量詞就構(gòu)成命題：“Vx，p(x)”，是命題，“3x，p(x)”，也是命題.第三個辦法是用邏輯聯(lián)結(jié)詞T和I聯(lián)結(jié)兩個開句構(gòu)成命題.例3VxeR，x>3；3xeR，x>3.都是命題.用全稱量詞構(gòu)成的命題叫全稱命題，用存在量詞構(gòu)成的命題叫特稱命題.由于全稱量詞表示個體詞的全部外延，往往可以省略不寫，例如：“所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”，可以簡寫為“質(zhì)數(shù)是奇數(shù)”建VxeR，x>5nx>3”可以簡寫為“x>5nx>3”.但一般的，全稱命題“Vx，p(x)”的量詞不能省略，省略后就只剩下開句了.除全稱命題和特稱命題外，還有一種命題叫做單稱命題，它的個體詞的外延不是一類事物，而是單獨的個體.例如，“2是偶數(shù)”.這就是一個單稱命題.特別要注意的是，由于全稱命題的量詞往往可以省略不寫，從而將全稱命題誤當單稱命題.例如，“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”，它是全稱命題“所有的實數(shù)的絕對值都是正數(shù)”的簡寫，而不是一個單稱命題.“直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，也是一個全稱命題.這方面的例子實在是太多了.4.命題的分類：命題分簡單命題和復合命題兩種.簡單命題和復合命題不是絕對對立的，復合命題經(jīng)過化簡可以成為簡單命題，化簡的過程就是命題演算的過程.簡單命題又分性質(zhì)命題和關(guān)系命題.性質(zhì)命題：判斷某一對象具有或不具有某種性質(zhì)的命題.關(guān)系命題：判斷兩個對象之間具有或不具有某種關(guān)系的命題.常見的關(guān)系有：=,<,>,◎,三，老，忍，N,L,〃，^,s等.復合命題有五種：非命題，記為「〃，讀作“非p”，也叫p的否定式.聯(lián)言命題，記作pA0,讀作“p且q”，也叫p,q的合取式.選言命題，記作pvq,讀作“p或q”，也叫p,q的析取式.假言命題，記作pTq,讀作“若p,則q”，也叫p,q的蘊涵式，稱p蘊含q.等值式命題，記作pIq,讀作“p當且僅當q”.理解這五種命題，可以與集合的補集、交集、并集、集合的包含和集合的相等進行類比，他們的定義在形式上是一致的.三.邏輯聯(lián)結(jié)詞及復合命題真值表：邏輯聯(lián)結(jié)詞：一些命題或開句可用邏輯聯(lián)結(jié)詞把它們聯(lián)結(jié)起來構(gòu)成一個新的命題或開句.常用的聯(lián)結(jié)詞有五種：非(「),且(A),或(v),若…，則…(T),當且僅當(I).非、且、或這三個聯(lián)結(jié)詞是最基本的，用它們可以聯(lián)結(jié)命題，也可以聯(lián)結(jié)開句，聯(lián)結(jié)命題得到的語句是命題，連接開句得到的語句仍是開句.用“若…，則…(T)”，“當且僅當(I)”可以聯(lián)結(jié)命題，也可以聯(lián)結(jié)開句，無論聯(lián)結(jié)命題還是聯(lián)結(jié)開句，得到的語句都是命題.復合命題真值表：(1)聯(lián)言命題與選言命題真值表:pqpAqpvq1111100101010000(2)非命題真值表:注：矛盾律和排中律：p「ppA「ppv「p10010101由上表可以看到，無論p是怎樣的命題，“pA「p”總是假命題，這個規(guī)律叫矛盾律，“pv「p”總是真命題，這個規(guī)律叫排中律.這兩個規(guī)律是非命題特有的，寫一個命題的非命題時，必須注意要同時滿足矛盾律和排中律.

（3）假言命題真值表:pqpTq111100011001當pTq的真值是1時，即“若p則q”為真命題時，我們說由p可以推出q,此時，pTq用pnq表示，并且稱P是q的充分條件，q是p的必要條件.注意：（1）“n"不是邏輯聯(lián)結(jié)詞符，千萬不能將n與t混為一談.（2）在自然語言中，“若〃，則0”中的〃，q往往有某種內(nèi)在的聯(lián)系，但在數(shù)理邏輯中，p，q可以沒有任何聯(lián)系，例如，若太陽繞地球轉(zhuǎn)動，則雪是黑的（3）在一般數(shù)學命題中，pTq往往表示p，q都為真的一種推理關(guān)系，但在數(shù)理邏輯中，p，q的真值是任意的.這個真值表是弗雷格給出的，這個表的后兩行不好理解，可以通過舉例的辦法理解它.例1“若木頭是金屬，則木頭可以鍛造”.這個命題的條件和結(jié)論都是假的，但這個蘊涵卻是真的.例2我們約定“如果天氣好，就去野游”，這是一個假言命題：（天氣好）T（去野游）.如果我們約定“天氣好就去野游”時，那么若天氣不好時，去野游或不去野游都不違反這個約定，所以，（天氣不好）T（去野游）和（天氣不好）T（不去野游）都是真命題.又，如果要去野游，無論天氣好與不好，也不違反這個約定.只有當天氣好，而不去野游時，才違反了這個約定.所以，（天氣好）T（不去野游）是假命題.例3判斷下列命題的真假：（1）x>5Tx>3；（2）x>3Tx>5.解：（1）這個命題是全稱命題：vxER，x>5Tx>3.“x>5”和“x>3”都是開句，無法判斷真假，對x進行討論才能判斷真假.x>5x>3x>5Tx>3xE(—8,3]001xE(3，5]011xE(5,+8)111這個表的最后一列的真值全是1，所以，“VxER,x>5Tx>3”是真命題.（2）這個命題也是全稱命題：VxER，x>3Tx>5.x>3x>5x>3tx>5xE(—8,3]001xE(3，5]100xE(5,+8)111證明一個全稱命題是假命題時，只需舉一個反例，證明一個特稱命題是真命題時，只需舉一個正例.因為“3xE（3,5），x>3Tx>5”是假的，所以原命題是一個假命題.注意：下列兩個命題是真命題：3x^R,x>3rx>5；vx^(—^,3)(5,+8),x>3rx>5.例4證明：0匚A.其中，0是空集，A是任意集合.證：0OAo若XG0，則xeA.因為XG0是假的，所以無論xeA是真還是假，“若XG0，則XEA”都是真的.所以0OA是真命題.例5命題“若2>3，則1=1”是真命題，即2>3n1=1，所以，2>3是1=1的充分條件；命題“若2V3,則1=1”是真命題，即2V3n1=1，所以，2V3也是1=1的充分條件.注意：很多人不理解這一點.事實上，1=1的成立不需要任何條件，因此，任何條件都可以作為1=1的充分條件，只是這些條件有些對1=1來說不必要而已.5.等值式命題：pqprqqrpprq)a(qrp)11111100100110000111因為⑦rq)A(qrp)op-q，所以等值式命題的真值表為:pqP—q111100010001當P—q的真值是1時，我們說P與q等價，或者說P是q的充要條件，此時，P—q表示為Poq，由真值表看出，只有當P，q同真，或同假時，P，q才是等價的.注意：“o”不是邏輯聯(lián)結(jié)詞符，千萬不能將o與-混為一談.注：這五個復合命題的真值表除第五個外，其他四個都是公理.例6證明原命題和它的逆否命題等價.證：pqprq1q|p-1q-r―ip111001100100011011001111由上述真值表看到，prq與「qr「p的真值總是一致的，所以，p-rq^o-1q-r―Ip.注：當p，q都是真命題時，iq，ip都是假命題，而蘊涵式iqr「p卻是真命題，這從另一個方面加強了我們對假言命題的真值表的認識.例7命題“3>5—2>3”是真命題，所以有3>5o2>3，亦即3>5是2>3的充要條件.四.命題的否定：寫命題的否定時，必須注意：命題和它的否定要同時滿足矛盾律和排中律?單稱命題的否定：只要否定結(jié)論就行了?例1已知p：2是質(zhì)數(shù)，非p：2不是質(zhì)數(shù).含有一個量詞的命題的否定（德?摩爾根法則）：全稱命題“?，（X）”的否定是特稱命題“3x,「p（X）”，特稱命題“3X，p（X）”的否定是全稱命題“PX，「p（X）”.例2已知命題p：實數(shù)的絕對值是正數(shù).寫出「p.解：p是全稱命題：所有的實數(shù)的絕對值都是正數(shù).所以「p為：存在一個實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù).注：也可以將「p寫為：實數(shù)的絕對值不都是正數(shù).但不能將「p寫為：實數(shù)的絕對值不是正數(shù).后一個寫法是誤把命題p當成了單稱命題.例3已知命題p：質(zhì)數(shù)是奇數(shù).寫出「p.解：這個命題是：所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).「p：有些質(zhì)數(shù)不是奇數(shù).（即：質(zhì)數(shù)不都是奇數(shù)）.注意：有些人將命題p當成了單稱命題，而將「p寫成了：質(zhì)數(shù)不是奇數(shù).這顯然是錯誤的.聯(lián)言命題與選言命題的否定（德?摩爾根法則）：「（PAq）o「Ipv「iq；「i（pvq）o「ipa「q.證：列真值表：pqip1qpvqpaqi(pvq)i(paq)11pv11q11pa11q1100110000100110011001101001100011001111由真值表就能得到上述法則.4.假言命題的否定：（1）蘊涵等值式：pTqo「pvq.證：pqipiqipvqpTq110011100100011011001111由上述真值表可得：pTqO「pvq，于是由德?摩爾根法則得假言命題的否定為：（2）法則：―i（p—tq）opa―iq.例4已知命題p：若mW0或n^0,則m+nW0.寫出ip.解：這是一個全稱命題：Vm，n^R，若mW0或n^0，則m+nW0.ip是：3m，n^R，使得mW0或nW0,且m+n>0.例5已知命題p：若x+y<1，則x2+y2<i.寫出ip.解：先將命題寫成帶有量詞的形式：V尤，y^R,若x+y<1,則x2+y2<i.「p是：3x,yeR,使得x+yv1,且x2+y2^1.例6已知命題p：x>3—x>5.寫出「p.解：命題p是：VxeR,x>3—x>5.「p是：3xeR,使得x>3且xW5.艮即3xeR,使得3<xW5.這正好說明，在3<x%時，原命題是假的.例7已知極限的定義：lima^=aoV￡>0,3N,Vn>N,\a—a|<￡.寫出數(shù)n—s列｛an｝的極限不是a的定義.解：liman#ao3￡>0,VN,3n>N,|a-a|》￡.n—s例8已知數(shù)列的柯西收斂準則：｛an｝收斂OV￡>0,3N,Vm,n>N,a」<￡.寫出這個收斂準則的否定形式.解：｛a｝發(fā)散o3￡>0,VN,3m,n>N,a—a》￡.這兩個例子說明了學習數(shù)理邏輯對進一步學習大學數(shù)學的必要性，如果不學習它，將很難理解這兩個定義的否定形式，凡是學過數(shù)學分析的人都有這種體會.例9已知命題：，5是奇數(shù).寫出它的否定.解：設(shè)開句p（x）：x是奇數(shù)，其中xeR,實數(shù)集由三部分構(gòu)成:奇數(shù)偶數(shù)非整數(shù)克是奇數(shù)的否定是：不是奇數(shù).由于廿2不是奇數(shù)o還是偶數(shù)或、'2是非整數(shù)，而\,‘2是非整數(shù)是一個真命題，所以，、2不是奇數(shù)也是一個真命題.注意：是奇數(shù)的否定不能寫成?[.?5是偶數(shù).這兩個命題僅滿足矛盾律，而不滿足排中律.兩個命題都是假命題.例10已知[?是虛數(shù)單位，命題：i>0.寫出它的否定.解：i>0的否定是：i不大于0.注：設(shè)開句p（x）：x>0,其中xeC，復數(shù)集由四部分組成：大于零的實數(shù)等于零的實數(shù)小于零的實數(shù)虛數(shù)（不等于零）i>0的否定不能寫成：i%0.因為i>0和i%0只滿足矛盾律，而不滿足排中律，都是假命題.i不大于0oi等于零或i小于零或i#0（i是虛數(shù)），因為i#0（i是虛數(shù)）是真命題，所以i不大于0也是真命題.例11已知命題：2>0.寫出它的否定.解：2>0的否定是：2%0（也可以寫為2不大于零）.由這三個例子可以看到，寫某些命題的否定時，先搞清得出這個命題的開句的定義域，是很重要的.只有搞清了這個問題，寫出的非命題才不違反矛盾律和排中律.等值式命題的否定：將“當且僅當”改為“不等價于”就行了.注意：命題的否定也叫非命題，它與四種命題的關(guān)系中的否命題是兩個不同的概念，千萬不能將它們混為一談.任何一個命題都有非命題，但是并非所有的命題都有逆命題、否命題和逆否命題，“四種命題”是專門針對“若p則0”型命題而說的；命題“若p則0”的非命題是"且非0”，而否命題是“若非p則非0”.好多命題都可以寫成“若p則0”的形式，但并非所有的命題都能寫成“若p則0”的形式.例如命題：某些三角形沒有外接圓.這個命題就不能寫成“若p則0”的形式.不能寫成“若p則0”的形式的命題實在是太多了.五.數(shù)理邏輯(命題演算和謂詞演算)等值式：雙否律：(1)Ao―I―IA；等幕律：(2)AoAvA；(3)AoAaA；交換律：(4)AvBoBvA；(5)AaBoBaA；結(jié)合律：(6)(AvB)vCo Av(BvC)；(7)(AaB)aCo Aa(BaC)；分配律：(8)Av(BaC)o(AvB)a(AvC)；(9)Aa(BvC)o(AaB)v(AaC)；德?摩爾根律：(10)i(AvB)oiAaiB；(11)i(AaB)oiAviB；吸收律：(12)Av(AaB)oA；(13)Aa(AvB)oA；零幕：(14)Av1o1；(15)Aa0o0；同一律：(16)Av0oA；(17)Aa1oA；排中律：(18)AviAo1；矛盾律：(19)AAiAo0；蘊涵等值式：(20)ATBoiAvB；等價等值式：(21)ABo(ATB)a(BTA)；假言易位：(22)ATBoiBTiA；等價否定等值式：(23)A^BoiA^iB；歸謬論：(24)(ATB)a(ATiB)oiA；量詞否定等值式(德?摩爾根法則)：(25)i(Vxp(x))o3xip(x)；(26)i(3xp(x))oVxip(x)；量詞分配等值式：(27)Vx(A(x)aB(x))oVxA(x)aVxB(x);(28)3x(A(x)vB(x))o3xA(x)v3xB(x).注意：(27)為V對a的分配，(28)為3對v的分配，但不存在V對v、3對A的分配，這一點必須清楚.但是，在證明論上，關(guān)于量詞分配的推理定律有：VxA(x)vVxB(x)nVx(A(x)vB(x))；3x(A(x)aB(x))n3xA(x)a3xB(x).推論：(29)iVx(A(x)aB(x))o3x(iA(x)viB(x))(30)i3x(A(x)vB(x))oVx(iA(x)aiB(x))例1已知命題p：正方形的對角線相等；0：正方形的對角線互相平分.寫出pA0.解：pA0：正方形的對角線相等且正方形的對角線互相平分.由于命題p和0都是全稱命題，所以，根據(jù)等值式(27)，pA0可以簡寫為：正方形的對角線相等且互相平分.例2已知命題p：不等式(x—2)(x—3)>0的解集為x<2；0：不等式(x—2)(x—3)>0的解集為x>3.寫出pv0.解：pv0：不等式(x—2)(x—3)>0的解集為x<2或不等式(x—2)(x—3)>0的解集為x>3.注意：由于命題p,q都是單稱命題，而不是特稱命題，所以，pvq不能寫為：不等式(x-2)(x-3)>0的解集為x<2或Q3.事實上，這個命題是一個簡單命題，命題中的或聯(lián)結(jié)兩個開句x<2和x>3構(gòu)成一個新的開句x<2或x>3,這個開句作為這個命題的謂詞是一個整體，與復合命題pvq中的或意義不同.例3已知命題p：有些實數(shù)是整數(shù)；q：有些實數(shù)是分數(shù).寫出pvq.解：pvq：有些實數(shù)是整數(shù)或有些實數(shù)是分數(shù).由于這兩個命題都是特稱命題，所以可以將pvq寫為：有些實數(shù)是整數(shù)或分數(shù).例4已知命題p：正方形的對角線互相平分且垂直.寫出非p.解：利用推論(29)，非p是：有些正方形的對角線不互相平分或不垂直.六.推理理論：從邏輯學上講，數(shù)學內(nèi)容是這樣呈現(xiàn)的：概念構(gòu)成了判斷和命題，判斷和命題構(gòu)成了推理，推理構(gòu)成了證明.整個數(shù)學大廈就是這樣建立起來的.用兩個或幾個判斷(命題)獲得一個新的判斷(命題)的邏輯方法叫推理，推理有兩種：一種是合情推理，主要包括歸納和類比，一種是邏輯推理歸納推理的邏輯方法是由特殊到一般，類比推理的邏輯方法是由特殊到特殊，由合情推理得到的結(jié)論不一定正確，它是發(fā)現(xiàn)新知識的主要方法.邏輯推理也叫演繹推理，它是由一般到特殊的推理，由演繹推理得到的結(jié)論是正確的.演繹推理具有三段論法的形式(公理)：大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：S是P.下面簡單的介紹一下推理理論.由假言命題真值表我們得到：“若p則q”是真命題有下列三種情況：p和q都是真命題；(2)p是假命題，q是真命題；(3)p和q都是假命題.這三種情況下，我們都說由p可以推出q.因此，由“若p則q”為真，我們并不能得出p和q的真假來，但是，我們通過假言命題真值表可以得到：推理定律1：由條件“若p則q”為真命題，并且p為真命題，我們可以推出q為真命題的結(jié)論.即：(pTq)Apnq.這是推理的基本法則，被