高一下學(xué)期期末檢測模擬試卷01（平面向量+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何+統(tǒng)計(jì)概率）2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

高一下學(xué)期期末模擬試卷(時間：120分鐘，分值：150分，范圍：必修二)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的對稱關(guān)系得，應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡目標(biāo)式即得結(jié)果.【詳解】由對應(yīng)點(diǎn)為，則對應(yīng)點(diǎn)為，故，所以.故選：D2．已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)模長的坐標(biāo)運(yùn)算可得，分析可得同向，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，則同向，所以.故選：D.3．已知口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、白球和黃球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.4，摸出的球是紅球或黃球的概率為0.9，則摸出的球是黃球或白球的概率為（

）A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6【答案】A【分析】設(shè)摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率是，摸出白球的概率為，求出、的值，相加即可求解．【詳解】設(shè)摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率是，摸出白球的概率為，所以，且，所以，，所以故選:A.4．某校高一年級個班參加合唱比賽的得分如下：則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的求法直接求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：，，，，，，，，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為.故選：A.5．有一個沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對稱，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的圓柱部分，已知沙漏總高度為，圓柱部分高度為，則初始狀態(tài)的沙子高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意求得圓錐高度，再利用體積相等求得初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度，由此得解.【詳解】如圖，設(shè)初始狀態(tài)圓柱部分沙子的高度為，沙漏下半部分的圓柱高度為，圓錐高度為，上、下底面半徑為，則，又沙漏總高度為，則，所以，即，解得，所以初始狀態(tài)的沙子高度為.故選：C.6．在中，角所對的邊分別為，，且的面積為，若，則（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積可推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由于,，故有，解得，又，則,故選：A．7．平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，//平面CB1D1，平面，平面，則m、n所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正方體的性質(zhì)，找到一個符合題設(shè)的平面α即可知m，n所成角的大小，進(jìn)而求其正弦值.【詳解】由題意，若平面為平面，滿足//平面CB1D1，如下圖示，因?yàn)椋?，所以為平行四邊形，所以，平面CB1D1，平面CB1D1，所以平面CB1D1，同理可證平面CB1D1，又，又平面，所以平面//平面CB1D1，即//平面CB1D1.因?yàn)槠矫?，平面，則，分別為，又三角形為等邊三角形，所以m，n所成角為，故其正弦值為.故選：A.8．如圖1，直角梯形中，，取中點(diǎn)，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球?yàn)榍颍榍蛐模?是球上一動點(diǎn)，當(dāng)直線與直線所成角最大時，四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到球心在的中點(diǎn)，然后當(dāng)與球相切時直線與直線所成角的最大，過作垂足為，當(dāng)平面時四面體體積取得最大值，即可求出答案.【詳解】由題意可知，均為等腰直角三角形，所以四面體的外接球的球心在的中點(diǎn)，因?yàn)槭乔蛏系膭狱c(diǎn)，若直線與直線所成角的最大，則與球相切，，此時，最大，因?yàn)?，，所以，過作垂足為，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動.所以當(dāng)平面時四面體的體積取得最大值.因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．甲?乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8.9，10.則（

）A．甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是7B．甲的平均環(huán)數(shù)比乙的平均環(huán)數(shù)小C．這20個數(shù)據(jù)的平均值為6.6D．若甲的方差為2.25，乙的方差為4.41，則這20個數(shù)據(jù)的方差為4.34【答案】BC【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可求解A選項(xiàng)；根據(jù)平均數(shù)的公式可求解B、C選項(xiàng)；根據(jù)方差的公式可求解D選項(xiàng).【詳解】對于A，因?yàn)椋约椎沫h(huán)數(shù)的分位數(shù)是，故A錯誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，這20個數(shù)據(jù)的平均值，故C正確；對于D，這20個數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.故選：BC.10．已知，，是平面上三個非零向量，下列說法正確的是（

）A．一定存在實(shí)數(shù)，使得成立B．若，那么一定有C．若，那么D．若，那么，，一定相互平行【答案】BC【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】只有當(dāng)，不是共線向量時，一定存在實(shí)數(shù)，使得成立，因此選項(xiàng)A不正確；由，因此選項(xiàng)B正確；由，，所以選項(xiàng)C正確；當(dāng)時，顯然成立，但是，，不一定互相平行，故選：BC11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E?F?G?M?N均為所在棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時，平面PEF⊥平面GMNB．異面直線EF?GN所成角的余弦值為C．點(diǎn)E?F?G?M?N在同一個球面上D．若，則P點(diǎn)軌跡長度為【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體圖形特征證明面面垂直判斷A選項(xiàng)，根據(jù)異面直線所成角判斷B選項(xiàng)，根據(jù)五點(diǎn)共圓判斷C選項(xiàng)，根據(jù)軌跡求出長度判斷D選項(xiàng).【詳解】取中點(diǎn)，連接，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E?F?G?M?N均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，GM在面ABCD內(nèi)，，平面，平面，，平面面，

連接，是正方形,，平面，平面，，平面，平面，，平面平面，綜上，平面，平面，又所以平面，平面故平面平面，故A正確；取中點(diǎn)，連接，是異面直線所成的角，又則，故B錯誤；記正方體的中心為點(diǎn)，則，故點(diǎn)在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；是的中點(diǎn)，，故點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，，故D正確.故選：ACD.12．4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（任兩支球隊(duì)恰進(jìn)行一場比賽），任兩支球隊(duì)之間勝率都是．單循環(huán)比賽結(jié)束，以獲勝的場次數(shù)作為該隊(duì)的成績，成績按從大到小排名次順序，成績相同則名次相同．下列結(jié)論中正確的是（

）A．恰有四支球隊(duì)并列第一名為不可能事件 B．有可能出現(xiàn)恰有三支球隊(duì)并列第一名C．恰有兩支球隊(duì)并列第一名的概率為 D．只有一支球隊(duì)名列第一名的概率為【答案】ABD【分析】4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽總的比賽共有場比賽，比賽的所有結(jié)果共有種；選項(xiàng)A，這6場比賽中不滿足4支球隊(duì)得分相同的的情況；選項(xiàng)B，舉特例說明即可；選項(xiàng)C，在6場比賽中，從中選2支球隊(duì)并列第一名有種可能，再分類計(jì)數(shù)相互獲勝的可能數(shù)，最后由古典概型計(jì)算概率；選項(xiàng)D，只有一支球隊(duì)名列第一名，則該球隊(duì)?wèi)?yīng)贏了其他三支球隊(duì)，由古典概型問題計(jì)算即可.【詳解】4支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽總的比賽共有場比賽，比賽的所有結(jié)果共有種；選項(xiàng)A，這6場比賽中若4支球隊(duì)優(yōu)先各贏一場，則還有2場必然有2支或1支隊(duì)伍獲勝，那么所得分值不可能都一樣，故是不可能事件，正確；選項(xiàng)B，其中6場比賽中，依次獲勝的可以是，此時3隊(duì)都獲得2分，并列第一名，正確；選項(xiàng)C，在6場比賽中，從中選2支球隊(duì)并列第一名有種可能，若選中a，b，其中第一類a贏b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b兩種情況，同理第二類b贏a，也有兩種，故恰有兩支球隊(duì)并列第一名的概率為，錯誤；選項(xiàng)D，從4支球隊(duì)中選一支為第一名有4種可能；這一支球隊(duì)比賽的3場應(yīng)都贏，則另外3場的可能有種，故只有一支球隊(duì)名列第一名的概率為，正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查利用計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題的概率問題，還考查了事件成立與否的判定，屬于較難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．已知，，.則__________.【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積公式結(jié)合二倍角的正弦、余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗运?故答案為：.14．已知，從這四個數(shù)中任取一個數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為__________.【答案】/【分析】由對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合概率公式求解即可.【詳解】函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得或.，，.因?yàn)?，所?即從這四個數(shù)中任取一個數(shù)，使函數(shù)有兩不相等的實(shí)數(shù)根的概率為.故答案為：15．中，的角平分線交AC于D點(diǎn)，若且，則面積的最小值為________.【答案】【分析】由，結(jié)合三角形面積公式證明，根據(jù)基本不等式證明，由此求出面積的最小值.【詳解】因?yàn)?，為的角平分線，所以，又，故由三角形面積公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】知識點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式，具有一定的綜合性，問題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形建立等量關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式確定邊的關(guān)系，屬于較難題.16．如圖，直三棱柱中，，棱柱的側(cè)棱足夠長，點(diǎn)P在棱上，點(diǎn)在上，且，則當(dāng)△的面積取最小值時，三棱錐的外接球的體積為___________.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證得平面，得到，再證得平面，得到，設(shè)，求得，，得到，得到，結(jié)合基本不等式，求得時，的面積取最小值，進(jìn)而得到O為三棱錐的外接球的球心，求得球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槿庵鶠橹崩庵云矫鍭BC，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)榍遥矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榍?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時，的面積取最小值，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，又因?yàn)闉橹苯侨切?，故，所以為三棱錐的外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，可得外接球的直徑為，所以外接球的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某線上零售產(chǎn)品公司為了解產(chǎn)品銷售情況，隨機(jī)抽取50名線上銷售員，分別統(tǒng)計(jì)了他們2022年12月的銷售額（單位：萬元），并將數(shù)據(jù)按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該公司銷售員月銷售額的平均數(shù)是多少（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）？(2)該公司為了挖掘銷售員的工作潛力，擬對銷售員實(shí)行沖刺目標(biāo)管理，即根據(jù)已有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，于月初確定一個具體的銷售額沖刺目標(biāo)，月底給予完成這個沖刺目標(biāo)的銷售員額外的獎勵.若該公司希望恰有20%的銷售人員能夠獲得額外獎勵，你為該公司制定的月銷售額沖刺目標(biāo)值應(yīng)該是多少？并說明理由.【答案】(1)18.32（萬元）(2)20.8萬元，理由見解析【分析】（1）根據(jù)概率和為1算出a的值，再根據(jù)頻率分布直方圖即可計(jì)算結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖即可求解.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得：（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a＝0.07，∴該公司銷售員月銷售額的平均數(shù)為：＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（萬元）；（2）設(shè)該公司制定的月銷售額沖刺目標(biāo)值應(yīng)該是x，則根據(jù)頻率分布直方圖可得：（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，解得x＝20.8，∴該公司制定的月銷售額沖刺目標(biāo)值應(yīng)該是20.8萬元.18．（12分）近年來，我國科技成果斐然，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已開通多年，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于，實(shí)測的導(dǎo)航定位精度都是2~3m，全球服務(wù)可用性，亞太地區(qū)性能更優(yōu)．現(xiàn)從地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星中任選兩顆進(jìn)行信號分析．(1)求恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆的概率；(2)求至少選擇了一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先分別給地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星編號，列舉所有可能的情況，以及滿足條件的方法種數(shù)，利用古典概型，即可求解；（2）根據(jù)（1）列舉的結(jié)果，利用古典概型，即可求解.【詳解】（1）記地球靜止軌道衛(wèi)星為：，記傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為，則所有的選擇為：記恰好選擇了地球靜止軌道衛(wèi)星和傾斜地球同步軌道衛(wèi)星各一顆為事件，則包含，所以；（2）記至少選擇一顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星為事件，則包含．所以．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)當(dāng)=時，求證：平面⊥平面，并求點(diǎn)與到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析，距離為【分析】（1）利用線面平行判定定理即可證得平面；（2）利用面面垂直判定定理即可證得平面⊥平面；利用三棱錐等體積法即可求得點(diǎn)與到平面的距離.【詳解】（1）取線段的中點(diǎn),連接,則為的中位線,∴由題知,∴,∴四邊形為平行四邊形.∴又∵平面,平面,∴平面（2）在中，∵,∴.又∵,平面∴平面，平面，∴平面平面，∵為的中點(diǎn)，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半.∵平面，∴平面∴.∴取中點(diǎn)，連接，又為等邊三角形，則.∵平面平面，∴平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由，得，解得.∴點(diǎn)到平面的距離為

20．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意和余弦定理可得，結(jié)合計(jì)算即可求解；（2）由（1）可得，則，代入，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由余弦定理知，所以，由,得，即,又因?yàn)?，所以，即，在中，，所以．?）由（1）知，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為．21．（12分）在銳角△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．(1)若，求△ABC的面積；(2)求的值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理和面積公式進(jìn)行求解；（2）由正弦定理和三角恒等變換求解；（3）解法一：設(shè)BC中點(diǎn)為D，推導(dǎo)出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函數(shù)單調(diào)性求出AD的取值范圍，從而求出的取值范圍；解法二：由余弦定理和數(shù)量積運(yùn)算法則求出，換元后利用三角恒等變換得到，求出答案.【詳解】（1）由余弦定理結(jié)合可知，△ABC的面積（2）因?yàn)?，，所以，由正弦定理，所以，①由于，帶入①式可知：?）解法1：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則所以如下圖所示，設(shè)△ABC的外接圓為圓O，由于△ABC為銳角三角形，故點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為劣?。ú缓它c(diǎn)），由正弦定理知圓O的半徑，故設(shè)，則，由余弦定理：由于函數(shù)在時單調(diào)遞減，，所以解法2：由余弦定理②由定義所以設(shè)，則由正弦定理：其中銳角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，由銳角三角形可知注意到，所以所以，②式變形為，故從而，此時函數(shù)單調(diào)遞減，而，所以【點(diǎn)睛】向量相關(guān)的取值范圍問題，考查面較廣，可以和很多知識相結(jié)合，基本不等式，函數(shù)值域，解三角形，三角函數(shù)等，需要對知識熟練掌握且靈活運(yùn)用，本題的第三問難度較大，需要用到極化恒等式，三