第七章相關(guān)與回歸分析

第七章相關(guān)與回歸分析本章內(nèi)容：理解相關(guān)關(guān)系概念、分類，相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別聯(lián)系；掌握單相關(guān)關(guān)系分析，學(xué)會(huì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算；掌握一元線性回歸分析，學(xué)會(huì)用最小二乘法估計(jì)回歸參數(shù)，學(xué)會(huì)計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差、可決系數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析1實(shí)例1

中國(guó)婦女生育水平的決定因素是什么?婦女生育水平除了受計(jì)劃生育政策影響以外，還可能與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化等多種因素有關(guān)。1.影響中國(guó)婦女生育率變動(dòng)的因素有哪些？2.各種因素對(duì)生育率的作用方向和作用程度如何？3.哪些因素是影響婦女生育率主要的決定性因素？4.如何評(píng)價(jià)計(jì)劃生育政策在生育水平變動(dòng)中的作用？5.計(jì)劃生育政策與經(jīng)濟(jì)因素比較,什么是影響生育率的決定因素？6.如果某些地區(qū)的計(jì)劃生育政策及社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化等因素發(fā)生重大變化，預(yù)期對(duì)這些地區(qū)的婦女生育水平會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響？7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析2

據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)，全球肥胖癥患者達(dá)3億人，其中兒童占2200萬人，11億人體重過重。肥胖癥和體重超常早已不是發(fā)達(dá)國(guó)家的“專利”，已遍及五大洲。目前，全球因”吃”致病乃至死亡的人數(shù)已高于因饑餓死亡的人數(shù)。

(引自《光明日?qǐng)?bào)》劉軍/文）問題:肥胖癥和體重超常與死亡人數(shù)真有顯著的數(shù)量關(guān)系嗎?這些類型的問題可以運(yùn)用相關(guān)分析與回歸分析的方法去解決。實(shí)例2全球吃死的人比餓死的人多?7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析3第一節(jié)相關(guān)與回歸分析

的基本概念本節(jié)需要把握四個(gè)問題：一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；二、相關(guān)關(guān)系的種類；三、相關(guān)分析與回歸分析；四、相關(guān)表和相關(guān)圖。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析4一、函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系客觀現(xiàn)象總是普遍聯(lián)系和相互依存的，客觀現(xiàn)象間的數(shù)量聯(lián)系存在兩種不同類型：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。把握三個(gè)問題：1、函數(shù)關(guān)系；2、相關(guān)關(guān)系；3、二者關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析51、函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是指變量之間存在著嚴(yán)格確定的依存關(guān)系，在這種關(guān)系中，當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)變量取一定量的值時(shí)，另一變量有確定值與之相對(duì)應(yīng)，并且這種關(guān)系可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式反映出來。如：某種產(chǎn)品的總成本S與該產(chǎn)品的產(chǎn)量Q以及該產(chǎn)品的單位成本P之間的關(guān)系可用S=PQ表達(dá)，這就是一種函數(shù)關(guān)系。通常把作為影響因素的變量稱為自變量，把發(fā)生相應(yīng)變化的變量稱為因變量。在本例中，S是因變量，P與Q則是自變量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析62、相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系是指變量之間存在一定的相依關(guān)系，但又不是確定的和嚴(yán)格依存的。這類關(guān)系中，當(dāng)一個(gè)或幾個(gè)相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的變量就會(huì)有若干個(gè)數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)，從而表現(xiàn)出一定的波動(dòng)性。例如商品流轉(zhuǎn)規(guī)模與流通費(fèi)用的關(guān)系，家庭收入與消費(fèi)支出的關(guān)系，工業(yè)勞動(dòng)生產(chǎn)率與產(chǎn)品成本的關(guān)系等都屬于相關(guān)關(guān)系。在統(tǒng)計(jì)中所研究的就是這種相關(guān)關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析7函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系之間并不存在嚴(yán)格的界限，一定條件下可以轉(zhuǎn)化。由于有測(cè)量誤差等原因，函數(shù)關(guān)系在實(shí)際中往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；反之當(dāng)對(duì)現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性了解得更清楚深刻的時(shí)候，相關(guān)關(guān)系也可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系。因此，相關(guān)關(guān)系通?？梢杂靡欢ǖ暮瘮?shù)關(guān)系表達(dá)式去近似地描述。3、二者關(guān)系7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析8二、相關(guān)關(guān)系的種類把握以下問題：1、按相關(guān)程度劃分；2、按相關(guān)方向劃分；3、按相關(guān)形式劃分；4、按變量多少劃分。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析91、按相關(guān)程度劃分可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)（1）完全相關(guān)：當(dāng)一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時(shí)，稱這兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系為完全相關(guān)，例如圓的周長(zhǎng)L決定于它的半徑R，即L=2πR；如銷售額與銷售量之間的關(guān)系（價(jià)格不變）。在這種情況下，相關(guān)關(guān)系即為函數(shù)關(guān)系，也可以說函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一種特例。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析101、按相關(guān)程度劃分（2）不相關(guān)：當(dāng)兩個(gè)現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨(dú)立時(shí)，稱這兩個(gè)現(xiàn)象之間的關(guān)系為不相關(guān)或零相關(guān)。例如：學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與其身高、天氣與股票價(jià)格的關(guān)系等一般認(rèn)為是不相關(guān)的。（3）不完全相關(guān)：若兩個(gè)現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，就稱為不完全相關(guān)，如居民的收入與支出水平。一般的相關(guān)現(xiàn)象都是指這種不完全相關(guān)，這是相關(guān)分析的研究對(duì)象。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析11可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)（1）兩個(gè)相關(guān)現(xiàn)象間，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值增加(或減少)時(shí)，另一個(gè)變量的數(shù)值也隨之增加(或減少)，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。如工人工資與勞動(dòng)生產(chǎn)率；人均消費(fèi)水平與人均收入水平等。（2）當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值增加(或減少)時(shí)，而另一個(gè)變量的數(shù)值相反地呈減少(或增加)趨勢(shì)變化，稱為負(fù)相關(guān)。例如勞動(dòng)生產(chǎn)率愈高，單位產(chǎn)品成本愈低。2、按相關(guān)方向劃分7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析123、按相關(guān)形式劃分可以分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)（1）線性相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生變動(dòng)，另一個(gè)變量隨之發(fā)生大致均等的變動(dòng)(增加或減少)，從圖形上看，其觀測(cè)點(diǎn)的分布近似地表現(xiàn)為直線形式，就是線性相關(guān)。（2）非線性相關(guān)：而當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生變動(dòng)，另一個(gè)變量也隨之發(fā)生變動(dòng)(增加或減少)，但是這種變動(dòng)不是均等的，從圖形上看，其觀察點(diǎn)的分布表現(xiàn)為各種不同的曲線形式，這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析134、按變量多少劃分可分為單相關(guān)、復(fù)相關(guān)和偏相關(guān)（1）單相關(guān)：又稱一元相關(guān)，是指兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，即僅限于一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的依存關(guān)系。如只研究農(nóng)物產(chǎn)量與施肥量間的關(guān)系。（2）復(fù)相關(guān)：又稱多元相關(guān)，是指三個(gè)或三個(gè)以上變量之間的相關(guān)關(guān)系。例如家庭的消費(fèi)支出與家庭收入水平及市場(chǎng)價(jià)格水平之間的關(guān)系便是一種復(fù)相關(guān)。如研究農(nóng)物產(chǎn)量與施肥量、降雨量間的關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析144、按變量多少劃分（3）偏相關(guān)：在某一變量與多個(gè)變量相關(guān)時(shí)，當(dāng)假定其他變量不變，其中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為偏相關(guān)。例如在假定家庭收入水平不變的條件下，市場(chǎng)價(jià)格水平與家庭的消費(fèi)支出的關(guān)系就是一種偏相關(guān)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析15三、相關(guān)分析與回歸分析把握以下問題：1、相關(guān)分析與回歸分析的概念；2、二者的聯(lián)系；3、二者的區(qū)別；4、應(yīng)用中注意局限性。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析161、相關(guān)分析與回歸分析的概念二者是研究現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系的基本方法。（1）相關(guān)分析（狹義）：指用一個(gè)指標(biāo)表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。不過相關(guān)分析并不能說明變量間相關(guān)關(guān)系的具體形式，也不能從一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的具體變化。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析17相關(guān)分析與回歸分析回歸的古典意義：

高爾頓遺傳學(xué)的回歸概念

父母身高與子女身高的關(guān)系:

無論高個(gè)子或低個(gè)子的子女都有向人的平均身高回歸的趨勢(shì)7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析18

回歸的現(xiàn)代意義一個(gè)因變量對(duì)若干解釋變量依存關(guān)系的研究回歸的目的（實(shí)質(zhì)）：由固定的自變量去估計(jì)因變量的平均值樣本總體自變量固定值估計(jì)因變量平均值7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析191、相關(guān)分析與回歸分析的概念（2）回歸分析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型來近似表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系，其目的是要根據(jù)已知的或固定的自變量的數(shù)值去估計(jì)因變量的總體平均值。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析202、二者的聯(lián)系二者有著密切的聯(lián)系，它們具有共同的研究對(duì)象，在具體運(yùn)用時(shí)需要互相補(bǔ)充。具體：（1）相關(guān)分析需要依靠回歸分析表明現(xiàn)象數(shù)量相關(guān)的具體形式；（2）回歸分析需要依靠相關(guān)分析來表明現(xiàn)象數(shù)量變化的相關(guān)程度，只有變量之間存在著高度相關(guān)時(shí)，進(jìn)行回歸分析尋求其相關(guān)的具體形式才有意義。因此，回歸分析和相關(guān)分析也合并稱為相關(guān)關(guān)系分析或廣義的相關(guān)分析。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析213、二者的區(qū)別在研究目的和具體的研究方法上是有明顯區(qū)別的，兩者的主要區(qū)別在于：（1）從研究目的上看，相關(guān)分析是用一定的數(shù)量指標(biāo)（相關(guān)系數(shù)）度量變量間相互聯(lián)系的方向和程度；回歸分析卻是要尋求變量間聯(lián)系的具體數(shù)學(xué)形式，是要根據(jù)自變量的固定值去估計(jì)和預(yù)測(cè)因變量的值。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析223、二者的區(qū)別（2）從對(duì)變量的處理上看，相關(guān)分析對(duì)稱地對(duì)待相互聯(lián)系的變量，不考慮二者的因果關(guān)系，也就是不區(qū)分自變量和因變量，相關(guān)的變量不一定具有因果關(guān)系，均視為隨機(jī)變量?；貧w分析是在變量因果關(guān)系分析的基礎(chǔ)上研究其中的自變量的變動(dòng)對(duì)因變量的具體影響，必須明確劃分自變量和因變量，回歸分析中對(duì)變量的處理是不對(duì)稱的，在回歸分析中通常假定自變量在重復(fù)抽樣中是取固定值的非隨機(jī)變量，只有因變量是具有一定概率分布的隨機(jī)變量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析234、應(yīng)用中注意局限性相關(guān)和回歸分析是對(duì)現(xiàn)象間相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析的有效的科學(xué)方法，但是它們有一定的局限性。在確定應(yīng)用相關(guān)和回歸分析之前，必須進(jìn)行定性分析，運(yùn)用足夠的理論知識(shí)、專業(yè)知識(shí)和必要的經(jīng)驗(yàn)來判斷現(xiàn)象之間是否具有真正的相關(guān)，是具有實(shí)質(zhì)性的內(nèi)在聯(lián)系還是表面上的聯(lián)系，還是一種偶然的巧合。因此在應(yīng)用相關(guān)和回歸分析對(duì)客面現(xiàn)象進(jìn)行研究時(shí)，一定要注意把定性分析和定量分析結(jié)合起來，在定性分析基礎(chǔ)上開展相關(guān)和回歸的定量分析。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析24四、相關(guān)表和相關(guān)圖相關(guān)分析中，通過繪制相關(guān)圖和相關(guān)表，可以對(duì)現(xiàn)象之間存在的相關(guān)關(guān)系的方向、形式和密切程度作直觀的、大致的判斷。把握以下問題：1、相關(guān)表；2、相關(guān)圖。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析251、相關(guān)表（1）相關(guān)表是一種反映變量間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表。研究現(xiàn)象之間的依存關(guān)系，首先要通過實(shí)際調(diào)查取得一系列成對(duì)的數(shù)據(jù)，作為相關(guān)分析的原始資料。將某一變量按其數(shù)值的大小順序排列，然后再將與其相關(guān)的另一變量的對(duì)應(yīng)值平行排列，便可得到簡(jiǎn)單的相關(guān)表。

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析261、相關(guān)表（2）例如假設(shè)對(duì)10戶居民家庭的月可支配收入和消費(fèi)指出進(jìn)行調(diào)查，得到原始資料如表

表1居民收入和消費(fèi)的原始資料單位：百元根據(jù)原始資料，將消費(fèi)支出從小到大排序，得到表2居民家庭編號(hào)12345678910

消費(fèi)支出20154030426065705378可支配收入251860456288929975987/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析271、相關(guān)表（2）表2居民消費(fèi)和收入的相關(guān)表單位：百元從表中看出，隨著可支配收入的提高，居民的消費(fèi)支出也有相應(yīng)提高的趨勢(shì)，二者存在明顯的正相關(guān)關(guān)系。消費(fèi)支出15203040425360657078可支配收入182545606275889299987/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析282、相關(guān)圖相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖或散布圖，是以直角坐標(biāo)系的橫軸代表變量X，縱軸代表變量Y，將兩變量相對(duì)應(yīng)的成對(duì)的數(shù)據(jù)用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來，用于反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的圖形。由表2的資料繪制的相關(guān)圖如圖1所示。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析29圖1從圖看出，居民的消費(fèi)支出與可支配收入之間呈現(xiàn)正線性相關(guān)關(guān)系7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析30

第二節(jié)簡(jiǎn)單線性相關(guān)分析把握以下問題:一、相關(guān)系數(shù)概念；二、相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)；三、例子。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析31一、相關(guān)系數(shù)概念把握以下問題：1、相關(guān)系數(shù)的定義；2、總體相關(guān)系數(shù)的定義式；3、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析321、相關(guān)系數(shù)的定義單相關(guān)分析是對(duì)兩個(gè)變量間的相關(guān)程度進(jìn)行分析。單相關(guān)分析所用的指標(biāo)稱為單相關(guān)系數(shù)簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)。通常用表示總體的相關(guān)系數(shù)，以r表示樣本的相關(guān)系數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析33

對(duì)于所研究的總體，表示兩個(gè)相互聯(lián)系變量相關(guān)程度的總體相關(guān)系數(shù)為：式中，Cov（X，Y）是變量X和Y的協(xié)方差；Var（X）、Var（Y）分別為變量X和Y的方差。2、總體相關(guān)系數(shù)的定義式7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析34

總體相關(guān)系數(shù)反映總體兩個(gè)變量X和Y的線性相關(guān)程度。特點(diǎn)：對(duì)于特定的總體來說，X和Y的數(shù)值是既定的，總體相關(guān)系數(shù)是客觀存在的特定數(shù)值。2、總體相關(guān)系數(shù)的定義式7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析353、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式通過X和Y的樣本觀測(cè)值去估計(jì)樣本相關(guān)系數(shù)，變量X和Y的樣本相關(guān)系數(shù)通常用表示特點(diǎn)：樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)從總體中抽取的隨機(jī)樣本的觀測(cè)值計(jì)算出來的，是對(duì)總體相關(guān)系數(shù)的估計(jì)，它是個(gè)隨機(jī)變量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析363、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式可以證明：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析373、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式證明：設(shè)：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析383、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式得到：簡(jiǎn)便公式：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析393、樣本相關(guān)系數(shù)的定義公式樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算的，抽取的樣本不同，其具體數(shù)值有差異，它是總體相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)量。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析40二、相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)(1)相關(guān)系數(shù)的取值在-1與1之間。(2)當(dāng)r=0時(shí)，表明X與Y沒有線性相關(guān)關(guān)系。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析41二、相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)判斷兩變量X與Y線性相關(guān)密切程度的具體標(biāo)準(zhǔn)為：

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析42使用相關(guān)系數(shù)的注意事項(xiàng)X和Y都是相互對(duì)稱的隨機(jī)變量，所以相關(guān)系數(shù)只反映變量間的線性相關(guān)程度，不能說明非線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)不能確定變量的因果關(guān)系，也不能說明相關(guān)關(guān)系具體接近于哪條直線。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析43例子根據(jù)15個(gè)居民家庭的人均月食品支出與人均月收入水平的數(shù)值計(jì)算二者的相關(guān)系數(shù)。先列出簡(jiǎn)單線性相關(guān)系數(shù)計(jì)算表（如下表）單位：元7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析44編號(hào)XYXYX2Y211022727541040472929626249692166763972524259409625410228285610404784591272457828172961583656882496412967541910262916361883262158688967691233138131512996110106313286112369611112934438616641115612138385244190441444138127218765617291492282576846478415642012804096400合計(jì)151642344632163654123117/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析45例子利用例8-1中給出的數(shù)據(jù)和上表計(jì)算的結(jié)果分別從兩個(gè)角度計(jì)算食品支出與收入水平的樣本相關(guān)系數(shù)。解：（1）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入定義公式得：或7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析46

第三節(jié)一元線性回歸分析把握以下問題：一、標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型；二、一元線性回歸模型的估計(jì)；7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析47一、標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型把握以下問題：1、總體回歸函數(shù)；2、樣本回歸函數(shù)；3、樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系；4、誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)假定。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析48總體回歸函數(shù)與樣本回歸函數(shù)

若干基本概念

●

Y的條件分布:Y在X取某固定值條件下的分布?！駥?duì)于X的每一個(gè)取值，都有Y的條件期望與之對(duì)應(yīng)，在坐標(biāo)圖上Y的條件期望的點(diǎn)隨X而變化的軌跡所形成的直線或曲線，稱為回歸線?！袢绻裏的條件期望表示為X的某種函數(shù)：

，這個(gè)函數(shù)稱為回歸函數(shù)?！袢绻浜瘮?shù)形式是只有一個(gè)自變量的線性函數(shù),如,稱為簡(jiǎn)單線性回歸函數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析491、總體回歸函數(shù)（PRF）

概念：將總體因變量Y的條件均值表現(xiàn)為自變量X的某種函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)（簡(jiǎn)記為PRF）。表現(xiàn)形式：（1）條件均值表現(xiàn)形式（2）個(gè)別值表現(xiàn)形式（隨機(jī)設(shè)定形式）7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析50

1、總體回歸函數(shù)（PRF）假定因變量Y主要受自變量X的影響，二者間存在近似的線性函數(shù)關(guān)系有該式被稱為總體回歸函數(shù)，式中是未知的參數(shù)，又叫回歸系數(shù)。Yi和Xi分別是Y和X的第i次觀測(cè)值。ui

是隨機(jī)誤差項(xiàng)，又叫隨機(jī)干擾項(xiàng)，它是一個(gè)特殊的隨機(jī)變量，反映未列入方程式的其他各種因素的影響。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析51

1、總體回歸函數(shù)（PRF）（2）舉例說明：消費(fèi)函數(shù)式中Yt表示消費(fèi)支出，Xt表示可支配收入。為基礎(chǔ)消費(fèi)水平的支出，不受可支配收入的影響，為邊際消費(fèi)傾向，表明可支配收入每增加一個(gè)單位，消費(fèi)支出增加的數(shù)量。此處，可支配收入是決定消費(fèi)支出的主要因素，圖中可表示為一條直線，但現(xiàn)實(shí)中確定型的消費(fèi)函數(shù)很難成立，原因是除收入外還有各種因素影響消費(fèi)支出。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析522、樣本回歸函數(shù)（SRF）概念：

●Y的樣本觀測(cè)值的條件均值隨自變量X而變動(dòng)的軌跡，稱為樣本回歸線?！袢绻岩蜃兞縔的樣本條件均值表示為自變量X的某種函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為樣本回歸函數(shù)簡(jiǎn)記為SRF）。表現(xiàn)形式：線性樣本回歸函數(shù)可表示為或者7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析53

3、樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互聯(lián)系

●樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式一致?！窈褪菍?duì)總體回歸函數(shù)參數(shù)的估計(jì)?！袷菍?duì)總體條件期望的估計(jì)●殘差e在概念上類似總體回歸函數(shù)中的隨機(jī)誤差u?；貧w分析的目的：用樣本回歸函數(shù)去估計(jì)總體回歸函數(shù)。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析543、樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系

——相互區(qū)別

●總體回歸函數(shù)雖然未知，但它是確定的；樣本回歸線隨抽樣波動(dòng)而變化，可以有許多條。●樣本回歸線還不是總體回歸線，至多只是未知總體回歸線的近似表現(xiàn)?！窨傮w回歸函數(shù)的參數(shù)雖未知，但是確定的常數(shù)；樣本回歸函數(shù)的參數(shù)可估計(jì)，但是隨抽樣而變化的隨機(jī)變量?！窨傮w回歸函數(shù)中的是不可直接觀測(cè)的；而樣本回歸函數(shù)中的是只要估計(jì)出樣本回歸的參數(shù)就可以計(jì)算的數(shù)值。

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析554、誤差項(xiàng)的基本假定隨機(jī)誤差項(xiàng)是無法直接觀測(cè)的。為了進(jìn)行回歸分析，對(duì)其概率分布提出假定：假定1：零均值假定，即誤差項(xiàng)的期望值為0。假定2：同方差假定，即誤差項(xiàng)的方差為常數(shù)。假定3：無自相關(guān)假定，即誤差項(xiàng)之間不存在序列相關(guān)關(guān)系，其協(xié)方差為0。

7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析564、誤差項(xiàng)的基本假定假定4：隨機(jī)擾動(dòng)與自變量不相關(guān)，即自變量是給定的變量，與隨機(jī)誤差項(xiàng)線性無關(guān)。假定5：正態(tài)性假定，隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布以上假定是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最早提出，又稱高斯假定。滿足以上標(biāo)準(zhǔn)假定的一元線性回歸模型，稱為標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型。7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析57二、一元線性回歸模型的估計(jì)把握以下問題：1、回歸系數(shù)的估計(jì)；2、擬合優(yōu)度的度量3、可決系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析581、回歸系數(shù)的估計(jì)（1）根據(jù)樣本資料確定樣本回歸方程時(shí)，一般希望Y的估計(jì)值盡可能接近其真實(shí)值，即ei的總量越小越好，但有正負(fù)，代數(shù)和為0（∑ei=0），通常用∑ei2作為衡量總偏差的尺度。所謂最小二乘法根據(jù)這一思路，使殘差平方和最小來估計(jì)回歸系數(shù)。（2）設(shè)為使Q最小，對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，令其為0，得：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析591、回歸系數(shù)的估計(jì)（2）整理后有：稱為標(biāo)準(zhǔn)方程組，n為樣本容量，解方程組得：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析601、回歸系數(shù)的估計(jì)（3）可以證明：證明：設(shè)得到：7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析61例子根據(jù)15個(gè)居民家庭的人均月食品支出與人均月收入水平的數(shù)據(jù)，估計(jì)食品支出的恩格爾函數(shù)。解：最簡(jiǎn)單的恩格爾函數(shù)假定在商品價(jià)格不變的條件下，實(shí)際的食品支出Y與實(shí)際的收入水平X間的關(guān)系可以用一元線性回歸模型反映。根據(jù)Y和X的數(shù)據(jù)計(jì)算有關(guān)統(tǒng)計(jì)量，列在表中，7/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析62編號(hào)XYXYX2Y211022727541040472929626249692166763972524259409625410228285610404784591272457828172961583656882496412967541910262916361883262158688967691233138131512996110106313286112369611112934438616641115612138385244190441444138127218765617291492282576846478415642012804096400合計(jì)151642344632163654123117/12/2023第七章相關(guān)與回歸分析63例8-2解：將有關(guān)合計(jì)數(shù)代入公式得：或得