北師大版初三(下)數(shù)學第88講：圓(教師版)

圓____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.掌握與圓有關的概念、圓周角定理；2.掌握圓的有關概念、定理的應用.1．圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉________，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．記作⊙O，讀作圓O.點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。確定一個圓需要兩個條件：第一是圓心，第二是半徑。(2)圓是到_______的距離等于_________的點的集合．2.弦和直徑：(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.(2)直徑：經過圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。3.?。?1)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號⌒表示，以A,B為端點的的弧記作,讀作弧AB.(2)半圓、優(yōu)弧、劣?。簣A的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧大于180o用三個字母表示，如.小于半圓的弧叫做劣弧，如。（3）等弧：在同圓或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數(shù)或者長度相等的弧不一定是等弧。（圖一）（圖二）4.同心圓與等圓（1）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。如圖一，半徑為r1與半徑為r2的⊙O叫做同心圓。（2）等圓：圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓。如圖二中的⊙O1與⊙O2的半徑都是r,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。（3）同圓是指同一個圓；等圓、同心圓是指兩個及兩個以上的圓。5．與圓有關的角(1)圓心角：頂點在__________的角叫圓心角．圓心角的性質：圓心角的度數(shù)等于它所對的_____________．(2)圓周角：頂點在__________，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角的性質：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．②同弧或等弧所對的圓周角相等；_________________，相等的圓周角所對的弧相等．③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為_______．④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是____________．⑤圓內接四邊形的對角_______；外角等于它的內對角．(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．弦切角的性質：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．參考答案：1.（1）一周(2)定點,定長5.(1)圓心,弧的度數(shù)(2)圓上,②在同圓或等圓中③直角④直角三角形⑤互補1.圓的基本概念下列說法中，不正確的是（）A.過圓心的弦是圓的直徑 B.等弧的長度一定相等C.周長相等的兩個圓是等圓 D.同一條弦所對的兩條弧一定是等弧【解析】A.過圓心的弦是圓的直徑，說法正確；B.等弧的長度一定相等，說法正確；C.周長相等的兩個圓是等圓，說法正確；D.同一條弦所對的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，應是在同圓或等圓中，同一條弦所對的兩條弧一定是等??；【答案】D練習1.車輪要做成圓形，實際上就是根據(jù)圓的特征（）A．同弧所對的圓周角相等B．直徑是圓中最大的弦C．圓上各點到圓心的距離相等D．圓是中心對稱圖形【答案】C練習2.下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③過圓內一點有無數(shù)多條弦，這些弦都相等；④直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B2.圓周角定理【例2】（2014泉州中考）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠O=40°，則∠C=（）A.20° B.40° C.50° D.80°【解析】根據(jù)圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得∠C=∠O=20°。解：∵圓心角∠O和圓周角∠C所對的是同一段弧；∴∠C=∠O=20°．【答案】A練習3.如圖，AB是⊙O直徑，∠AOC=130°，則∠D=（）A.65° B.25° C.15° D.35°【答案】B練習4.（2014杭州金華中考）如圖，點A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，則∠AOB的度數(shù)為（）A.34° B.56° C.60° D.68°【答案】D3.直徑所對的圓周角【例3】（2014廣東肇慶一模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABC=30°，則∠BAC=（）A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，再利用直角三角形兩銳角互余求解即可，解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°．【答案】故選B．練習5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，則∠ACB的度數(shù)為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D練習6.如圖，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點，若∠ABD=20°，則∠ADC的度數(shù)為（）A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】D4.圓周角定理的簡單應用【例4】（2014山東聊城一模）如圖，△ABC內接于⊙O，∠C=30°，AB=2，則⊙O的半徑為（）A. B.2 C. D.4【解析】先利用圓周角定理求出∠AOB，再根據(jù)等邊三角形的判定得到△AOB是等邊三角形，從而得解?！敬鸢浮拷猓哼B接OA，OB，則∠AOB=2∠C=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，有OA=AB=2．故選B．練習7．如圖，正三角形ABC內接于圓O，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A，B重合，則∠BPC等于（）A.30° B.60° C.90° D.45°【答案】B練習8．（2014湖北湛江一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點，則∠1+∠2=度．【答案】905.圓周角定理綜合運用【例5】（2014鼎湖區(qū)一模）如圖所示，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC，AD，BD的長．【解析】根據(jù)直徑所對的角是90°，判斷出△ABC和△ABD是直角三角形，根據(jù)圓周角∠ACB的平分線交⊙O于D，判斷出△ADB為等腰直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出具體值．【答案】解：∵AB是直徑∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64∴BC==8（cm）又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∴AD=BD又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2∴AD2+BD2=102∴AD=BD==5（cm）．練習9.如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．

（1）求證：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的長【答案】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

又∵DC=CB，

∴AD=AB，

∴∠B=∠D；（2）解：設BC=x，則AC=x-2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（x-2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1-（舍去）∵∠B=∠E，∠B=∠D，

∴∠D=∠E，

∴CD=CE，

∵CD=CB，

∴CE=CB=1+練習10.如圖所示，OA、OB、OC都是圓O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC．【答案】證明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；又∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC．【例6】（2014廣東珠海一模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB邊上一點，P是優(yōu)弧BAC的中點，連結PA、PB、PC、PD.(1)當BD的長度為多少時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并證明；（2）若cos∠PCB=，求PA的長.【解析】(1)要求△PAD是以AD為底邊的等腰三角形，所以PA=PD，再利用P是中點這個條件，進而可以找到全等三角形，此問利用倒推即可得出結論；（2）給了余弦值，可以倒角把角度放到直角三角形中，所以過點P作PE⊥AD于E即可?！敬鸢浮拷猓海?）當BD＝AC＝4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形∵P是優(yōu)弧BAC的中點∴弧PB＝弧PC∴PB＝PC∵BD＝AC＝4∠PBD=∠PCA∴△PBD≌△PCA∴PA=PD即△PAD是以AD為底邊的等腰三角形（2）由（1）可知，當BD＝4時，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2過點P作PE⊥AD于E，則AE＝AD=1∵∠PCB=∠PAD∴cos∠PAD=cos∠PCB=∴PA=練習11.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°．

（1）求∠EBC的度數(shù)；

（2）求證：BD=CD．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°．

又∵∠BAC=45°，

∴∠ABE=45°．

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=67.5°．

∴∠EBC=22.5°．（2）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

又∵AB=AC，

∴BD=CD．練習12.如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是上任一點（點P不與點A、B重合），連AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．（1）填空：∠APC=_________度，∠BPC=_________度；（2）求證：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積．【答案】（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）證明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°﹣∠BPM=180°﹣（∠APC+∠BPC）=180°﹣120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四點共圓，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP；（3）解：作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CPAM=BP，又∠M=60°，∴△PCM為等邊三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=，∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH==．1.如圖，△ABC內接于⊙O，∠A=400，則∠BOC的度數(shù)為()【答案】CA.200 B.400 C.800 D.7002．以下命題中，正確的命題的個數(shù)是()【答案】A(1）同圓中等弧對等弦．(2）圓心角相等，它們所對的弧長也相等．(3）三點確定一個圓．(4）平分弦的直徑必垂直于這條弦．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3．若⊙O所在平面內一點P到⊙O上的點的最大距離為a,最小距離為b(a>b)，則此圓的半徑為()【答案】CA. B. C.或 D.a+b或a-b4．如圖，AB是半圓的直徑，點D是的中點，∠ABC=50°，則∠DAB等于（）【答案】CA.55° B.60° C.65° D.70°5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB=40°，則∠A的度數(shù)是（）【答案】BA.40° B.50° C.60° D.100°6．如圖，⊙C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A、點B，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內上一點，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長為（）【答案】CA.6 B.5 C.3 D.7．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，E是BC延長線上的一點，已知∠BOD=100°，則∠DCE的度數(shù)為（）【答案】CA.40° B.60° C.50° D.80°8．在半徑為1的圓中，弦AB、AC的長是存和，則∠BAC的度數(shù)為________.【答案】15°或75°9．如圖，扇形OAB中，∠AOB=900，半徑OA=1,C是線段AB的中點，CD//OA，交弧AB于點D，則CD=.【答案】10.已知：如圖，在⊙O中，C.D是弦AB上的兩個三等分點，求證：△OCD是等腰三角形?！敬鸢浮孔C明：連結OA,OB,∵OA=OB,∴∠A=∠B,又AC=BD，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD，即△OCD是等腰三角形。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.下面三個命題：①圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③相等的圓心角所對的弧相等。其中是真命題的是（）【答案】AA.①②；B.①③；C.②③；D.①②③。2.已知⊙O的半徑為5cm，P為該圓內一點，且OP=1cm，則過點P的弦中