2023屆上海市普陀區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題【含答案】

普陀區(qū)2022學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1一6題每題4分，第7—12題

每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1,若z=r°T）（其中i表示虛數(shù)單位），則Imz=.

2.若正四棱柱的底面周長(zhǎng)為4、高為2,則該正四棱柱的體積為.

3.設(shè)歹一則滿足歹＜°的x的取值范圍為.

4,函數(shù)V=tan2x在區(qū)間I44）上的零點(diǎn)為.

5,函數(shù)―?x的最小正周期為.

6.在（x+l）+（x+l）展開式中，含有項(xiàng)的系數(shù)為.

X22,

—y=1

7.雙曲線3的兩條漸近線的夾角為.

8.“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品——“綠水”，該廠開展促銷活動(dòng)，將6罐“綠水”裝成

一箱，且每箱均有2罐可以中獎(jiǎng).若從一箱中隨機(jī)抽取2罐，則能中獎(jiǎng)的概率為.

（2、2

一機(jī)/\2[

cm-X--+（y-ni）=1

9.設(shè)加eR.若直線/：x=T與曲線I）僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則

m=.

10.某地“小康果”大豐收，現(xiàn)抽取5個(gè)樣本，其質(zhì)量分別為125、

。、121、6、127（單位：克）.若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為124,則此樣本的標(biāo)準(zhǔn)

差為（用數(shù)字作答）.

11.設(shè).、beR且。口.若函數(shù)'=/（*）的表達(dá)式為/（x）Tx—“（xeR）,且

/⑷=/（6+1）,則"（"I）的最大值為.

111k

222------1---------1------------------------------

12.設(shè)外、的、。3均為正數(shù)且4+對(duì)=%,則使得不等式qa2a3總

成立的左的取值范圍為

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13—14題每題4分，第15—16

題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代

表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知直線/、加和平面&、戶，下列命題中的真命題是（）

A.若"山,,則加B.若a,則/J-A

C,若/_La,allft,則/,力D,若/_La,,則〃/〃？

14.設(shè)xeR,則lgx>lnx的充要條件是（）

A.4>°B.》>1C.%>I。D.

0<x<l

7-同：1=1":3h-a=2（c-A^

15.設(shè)左>°,若向量。、6、。滿足門□II，且v4則滿足條

件的〃的取值可以是（)

A.1B.2C.3D.4

16.設(shè)4、4、4、…、4是均含有2個(gè)元素的集合，且4c4=0,

4c4+1=0。=1,2,3,…,6）,記5=則8中元素個(gè)數(shù)的最小

值是（）

A.5B,6C,7D,8

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的相

應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.如圖所示，8。為四邊形48。。的對(duì)角線，設(shè)/8=力。=1,△BCD為等邊三角形.記

ZBAD=0（Q<0<7V）

（1）當(dāng)30=6時(shí)，求'的值;

(2)設(shè)S為四邊形N8CZ)的面積，用含有6的關(guān)系式表示S,并求S的最大值.

18.設(shè)人人均為正整數(shù)，｛“"｝為首項(xiàng)為人公差為6的等差數(shù)列，"J為首項(xiàng)為1公比

為a的等比數(shù)列.

Z3+4)

(1)設(shè)，為正整數(shù)，當(dāng)。=3,b=l,時(shí)，求I的值；

(2)若⑷<4<。2<62<。3,且對(duì)于某項(xiàng)%,存在瓦，使得1+%=優(yōu)，試提出一個(gè)

關(guān)于，，八上的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

19.如圖,“復(fù)興”橋?yàn)槿诵刑鞓?，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長(zhǎng)的半圓型主梁和四根豎直的立柱

吊起一塊圓環(huán)狀的橋面.主梁在橋面上方相交于點(diǎn)S且它們所在的平面互相垂直，S在橋

面上的射影為橋面的中心。.主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條

可以通往橋面的上行步道.設(shè)CD為其中的一根立柱，/為主梁與橋面大圓的連接點(diǎn).

(1)求證：CD"平面S。/；

(2)設(shè)為經(jīng)過(guò)/的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30。.橋面小圓

與大圓的半徑之比為4：5,當(dāng)橋面大圓半徑為20米時(shí)，求點(diǎn)C到地面的距離.

20.在xoy坐標(biāo)平面內(nèi),已知橢圓,95的左、右焦點(diǎn)分別為耳、鳥，直線

祚編(%尸°)與「相交于42兩點(diǎn).

第（2）小題圖第（3）小題圖

（1）記”為N到直線2x+9=°的距離，當(dāng)占變化時(shí)，求證：d為定值：

⑵當(dāng)4K8=1200時(shí)，求I盟卜黑|的值；

（3）過(guò)8作軸，垂足為M,的中點(diǎn)為N,延長(zhǎng)/N交「于另一點(diǎn)P,記直線

尸8的斜率為內(nèi),當(dāng)勺取何值時(shí)，"一《I有最小值？并求出此最小值.

21.若函數(shù)'"/（"乂"*。）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱'=/（"）在。上具有性

質(zhì)吃

①V=/（x）在。上的導(dǎo)數(shù)/'（X）存在；

②V=/'（*）在。上的導(dǎo)數(shù)/,（X）存在，且/〃G）＞°（其中/"GO=[/"）]）恒成

立.

（1）判斷函數(shù)y=1x-在區(qū)間（0'+"）上是否具有性質(zhì)河？并說(shuō)明理由.

g（x）=2x3+ax2+—

（2）設(shè)〃、°均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)%在％=1處取得極值，是否存

在實(shí)數(shù)c,使得V=g（x）在區(qū)間上'+°°）上具有性質(zhì)加？若存在，求出c的取值范圍；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

l+ln（x+l）k

（3）設(shè)％cZ且后＞0,對(duì)于任意的xc（°，+°°）,不等式xx+1成立，求

%的最大值.

普陀區(qū)2022學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1一6題每題4分，第7—12題

每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1若z=-（其中i表示虛數(shù)單位），則Imz=.

【答案】1

【解析】

【分析】計(jì)算z=l+i,即可得到虛部.

【詳解】因?yàn)閦=?（l-1）=1+1根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知，虛部為1.

故答案為：1.

2.若正四棱柱的底面周長(zhǎng)為4、高為2,則該正四棱柱的體積為.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)，求出底面邊長(zhǎng)，代入體積公式即可得到.

【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為

根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)知，底面為正方形，則4a=4,所以。=1.

又高h(yuǎn)=2,所以，正四棱柱的體積為=2.

故答案為：2.

3.設(shè)）'=婷一/，則滿足y<0的x的取值范圍為.

【答案】0'口）

【解析】

【分析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算法則解不等式即可.

15

【詳解】J=*-x3<0nx2>1,解得X>1故X的取值范圍為（1Z）.

故答案為：O'+00）

函數(shù)歹=在區(qū)間

4.tan2x上的零點(diǎn)為

【答案】°

【解析】

【分析】令歹=121!2'=°在144）上求解即可

【詳解］令歹=12112%=0,

2x=0,即x=0,

在區(qū)間

二函數(shù)ytan2x上的零點(diǎn)為°.

故答案為：°.

5.函數(shù)sin?x的最小正周期為.

【答案】兀

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得原函數(shù)的最小正周期.

【詳解】因?yàn)椤?sin2Qos2x,因此，該函數(shù)的最小正周期為-2一.

故答案為：兀.

,在（x+iy+（x+iy回共一出人后/

6.在'/'）展開式中，含有1項(xiàng)的系數(shù)為______.

【答案】16

【解析】

2

【分析】利用二項(xiàng)展開式可求得展開式中含有X項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】因?yàn)?+X)的展開式通項(xiàng)為1+1=C〉”，

由題意可知，在(x+iy+G+l)5展開式中，含有犬項(xiàng)的系數(shù)為C；+C；=6+10=16.

故答案為：16.

X22_1

—y~~1

7.雙曲線3”的兩條漸近線的夾角為.

【答案】60。

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得其漸近線的方程，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，以及雙曲

線的對(duì)稱性，即可求解.

X?2_1_,V3

----y=1y=±—x

【詳解】由題意，雙曲線3,可得兩條漸近線方程為3,

y=^-xtana=—￡[0°,180°)

設(shè)直線3的傾斜角為。，則3,解得a=30',

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得兩見解析的夾角為2a=60;

故答案為60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了直線

的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.“青山”飲料廠推出一款新產(chǎn)品——“綠水”，該廠開展促銷活動(dòng)，將6罐“綠水”裝成

一箱，且每箱均有2罐可以中獎(jiǎng).若從一箱中隨機(jī)抽取2罐，則能中獎(jiǎng)的概率為.

3

【答案】5##0.6

【解析】

【分析】記一箱中能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為A、B,不能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝

飲料分別記為a、6、c、d,列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事

件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記一箱中能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝飲料分別記為A、B,不能中獎(jiǎng)的“綠水”灌裝

飲料分別記為&、b、c、d,

從一箱中隨機(jī)抽取2罐，所有基本事件有：

AB、Aa、Ah、Ac、Ad、Ba、Bb、Be、Bel、ah、ac、ad、he、hd、cd，

共15種,

其中，事件“隨機(jī)抽取的2罐能中獎(jiǎng)”所包含的基本事件有：

AB、4a、Ab、AcyAdBa、Bb、Be、Bd,共9種，

pc=_9_—_3_

故所求概率為155.

3

故答案為：5.

（2y

c?,：X-^-+0-〃z）2=1

9.設(shè)加eR.若直線/:x=-l與曲線I47僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則

m=

【答案】°

【解析】

【分析】利用圓心到直線/的距離等于圓的半徑可得出關(guān)于實(shí)數(shù)用的等式，即可解得實(shí)

數(shù)加的值.

2、2

—,m—+1=1

（4人半徑為1,由題意可得4,解得加=°.

故答案為：°，

10.某地“小康果”大豐收，現(xiàn)抽取5個(gè)樣本，其質(zhì)量分別為125、

a、121、6、127（單位：克）.若該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)均為124,則此樣本的標(biāo)準(zhǔn)

差為（用數(shù)字作答）.

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)利用中位數(shù)定義和平均數(shù)公式可求得。、b的值，再利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可

求得該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差.

【詳解】不妨設(shè)因?yàn)樵摌颖镜闹形粩?shù)為124,則6=124,

125+^+124+121+127

-----------------------二124

由平均數(shù)公式可得5,解得a=123,

所以，該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為

/(121-124)2+(123-124)2+(124-124)2+(125-124)2+(127-124)2_

\5

故答案為：2.

11.設(shè)a、beR且aWb.若函數(shù)，="工)的表達(dá)式為〃》)=卜一"。*R),且

f(a)=f(b+\)t則"G+1)的最大值為.

3

【答案】4##0.75

【解析】

【分析】由/(“)=/伍+1)結(jié)合可得出a=l-b,求出b的取值范圍，利用不等式的

基本性質(zhì)可求得e('+l)的最大值.

【詳解】因?yàn)?(")=/0+1),則卜-1=網(wǎng),所以，或。-1=也

:.a=h+\^a=l-b

b>-

因?yàn)樗?，a=\-b,且a=可得2,

31

a-(6+l)=(l-6)(1+6)=1-/"b=-

所以，4,當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)，等號(hào)成立，

3

故人0+1)的最大值為7.

3

故答案為：4.

111k

------1--------1------>---------------------

12.設(shè)％、出、生均為正數(shù)且a；+a；=怒，則使得不等式％a24%+4+4總

成立的左的取值范圍為

【答案】

【解析】

\2

%a2

+=1—=cos0—=sin

【分析】由已知可得出'，不妨設(shè)生,其中

(JI、

0G0,—

2),可得出

L"==3+sin0cos0(sin0+cos6)+(sin0+cos。)+1

(Q]+4+4)

aasin。cos。

%23)，令

fill、2

(%+4+%)—+—十—3+r+—

t=sine+cos6a’一利用導(dǎo)數(shù)

,可得出112%71,

求出函數(shù)上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)左的取值范圍.

‘％\2\2

+%=1

【詳解】因?yàn)?、%、生均為正數(shù)且a；+a；=M,則I

7

(ji、

-=cos6—=sine￡0,5

不妨設(shè)色,生，其中

(1111

+幺+幺+

(%+4+%)------1---------1-------=3￡1+”+&+2

aa%%a

所以，\\20372

_八cos。.sin11

3+COS0+-----FSineH------1------d----

sin。cos0cos0sin0

-sincos2+sin20cos+sin+cos0+1

3+------------------------------------

sin。cos。

3sin0cos0(sin0+cos。)+(sin04-cos。)+1

sinOcos。

r哈

9w0,5—<^4--<—r=sin9+cos0-V2sin

因?yàn)镮”貝i]444,令

則r=(sine+cos。)=l+2sin6cos外所以，由仰=—

6-1)

——^+/+i

2

(6+4=3+2=3+，+

z2-l

所以,2

2

令〃》4+3,其中《qJO'行』＜0

(1)2

咐在一

所以，函數(shù)一上單調(diào)遞減,所以,

火L=/(/)=0+高+3=5+3立

Jzxf1111./T-

k<(q+a2+%)—?----1=5+3A/2

所以，L16%^

故答案為：6叫5+3甸

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)

行求解：

(DVxeQ,w</(x)^zn</(x)m.n；

(2)VxeD,^>/(x)<^zW>/(x)max；

(3)3X6Z>,m4/(x)=加"(XL、；

(4)3x&D,M"(x)o〃？”(x)min

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13—14題每題4分，第15—16

題每題5分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代

表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知直線/、機(jī)和平面。、尸，下列命題中的真命題是()

A.若〃z-L/,I〃a,則加_LaB,若〃/々，,則/，力

C.若/_La,?！ㄊ?，則/J-AD.若,‘a(chǎn),m工。,則〃/加

【答案】C

【解析】

【分析】線面平行及線線垂直，線可以有無(wú)數(shù)種朝向；線面垂直，線只有一種朝向；面面

平行，面只有一種朝向，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)A,若mil,l//a,則可能有機(jī)'a，'〃〃0,加與a相交不垂直，A錯(cuò)；

對(duì)B,若〃/a,a'B,則則可能有/工月，〃/,/與用相交不垂直，

IB,B錯(cuò);

對(duì)C,若11a,a/甲，則c對(duì)；

對(duì)D,若/'a,,由于a與a關(guān)系不確定，故/與機(jī)關(guān)系也不確定，D錯(cuò).

故選：C

14.設(shè)xeR,則館》〉?”的充要條件是（）

A.x>°B.》>1C.x>l°D.

0<x<1

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可推出IgMlnURO,則lgx<°,解出即可得到答案.

Inx=lge-In10=1ge?-1

【詳解】因?yàn)镮ge,Ige,

——=lnlO

則Ige,所以lnx=lnlO」gx

則由lgx>lnx可得，lgx>lnlO-lgx,則lgx（lnlO-1）<0

因?yàn)閘nlO>Ine=1,所以lnl0-l>0,所以lgx<O=lgl,

因?yàn)椴?愴》在（°，+"）上單調(diào)遞增，解得0<x<l.

故選：D.

6設(shè)Q。，若向量入旌之滿足問(wèn)#+1上3,/一￡=203）,則滿足條

件的左的取值可以是（）

A1B.2C.3D,4

【答案】B

【解析】

（36）2=4c+4a-c+<7

【分析】根據(jù)題意可得1???,利用平面向量的數(shù)量積的定義和三角

,,2「2549]

泌2=37+12cos（a,c）e[25,49]keL—J

函數(shù)的性質(zhì)可得'/L」，進(jìn)而99,結(jié)合選項(xiàng)即可求

解.

【詳解】由書-。=2（。-力，得分=2工+￡,

所以6%）2=（2"+"）2=4|寸+47"+|看，

肺洶=1:k:3

9k2=4x32+12+4x3xlxcos/a,cA

所以\/,

即9左2=37+12cos（詞e[25,49]

,2254957

kGr[——,—J4￡[一r,一]

得99」，又左>0,所以L33」，

所以人的取值可以是2.

故選：B.

16.設(shè)4、4、4、…、4是均含有2個(gè)元素的集合，且4c4=0,

4c4+1=0（]=1,2,3,…,6）,記8=則8中元素個(gè)數(shù)的最小

值是（）

A.5B.6C,7D,8

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)毛、巧、…、Z（〃N4）是集合8互不相同的元素，分析可知"24,然后對(duì)

w的取值由小到大進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中的條件是否滿足，即可得解.

【詳解】解：設(shè)*1、*2、…、毛（〃’4）是集合6互不相同的元素，若〃=3,則

4c4H0,不合乎題意.

①假設(shè)集合B中含有4個(gè)元素，可設(shè)4=｛』，/｝,則4=4=4=包,乙｝,

4=4=4=也,々｝,這與4c4=0矛盾；

②假設(shè)集合8中含有5個(gè)元素，可設(shè)4=4={占，》2},42=4={X3，XJ,

4={z，X|}A={X,X}A={x,x}

，423，54s,滿足題意.

綜上所述，集合8中元素個(gè)數(shù)最少為5.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合元素個(gè)數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對(duì)集合元素

的個(gè)數(shù)由小到大進(jìn)行分類，對(duì)集合中的元素進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中條件是否成立即可.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的相

應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.如圖所示，8。為四邊形的對(duì)角線，設(shè)/8=力。=1,△BCD為等邊三角形.記

ZBAD=0（O<0<^

（2）設(shè)S為四邊形的面積，用含有e的關(guān)系式表示S,并求S的最大值.

2兀

【答案】⑴3；

14

（2）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理即可求；

（2）由余弦定理得BO?,S=S^D+SBCD,結(jié)合三角形面積公式即可求.

【小問(wèn)1詳解】

cAB2+AD2-BD2142兀

COS0=---------------=---/I_/n0=--

由余弦定理得，2ABAD2,，武0,兀），故3.

【小問(wèn)2詳解】

由余弦定理得，BD!=AB~+AD2-2AB-ADcos0=2-2cos0,

=—AB-ADsin0+BD'=—sincos0+=sinf9一2]+

S~S"BD+S、BCD

24222（3）2

。兀兀05兀,V3

6——=—=>（9=—1+——

則當(dāng)326時(shí)，s的最大值為2

18.設(shè)。、6均為正整數(shù)，，"｝為首項(xiàng)為人公差為b的等差數(shù)列，｛"｝為首項(xiàng)為從公比

為。的等比數(shù)列.

,X（卬+4）

（1）設(shè)，為正整數(shù)，當(dāng)。=3,h=l9時(shí)，求$的值；

（2）若且對(duì)于某項(xiàng)《"，存在瓦，使得1+《”="，試提出一個(gè)

關(guān)于m、左的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）58:

（2）m=2人，理由見解析.

【解析】

【分析】（D結(jié)合通項(xiàng)公式，由%<"<"79可解出f,進(jìn)而求值即可；

（2）由《<4<%<與<%結(jié)合數(shù)列性質(zhì)可解出a=2,6>2且beN*,由

1+%="得"（2"一"+1）=3,即可根據(jù)因式為整數(shù)解出/，及加=2"[

【小問(wèn)1詳解】

,-1

a?=3+（n-l）-l=n+2a7=9,a79=81,b,=3（由%<向<%9得32<3-1<34,

r為正整數(shù)，故.一1=3=.=4,

t4

Z（4+b,）=ZG+2+3'T）=3+4+5+6+1+3+9+27=58

Z=1/=1.

【小問(wèn)2詳解】

掰=2"",理由如下：

由/<々<。2<62<%得。<6<。+6<6。<。+26,由6<6Q=>Q>1,由

於?26c2

ba<a+2b=>a<----=2H-----**

b-Tb-l,又QWN,故”2,b>2且6wN,

由1+%=%得l+a+（mT>b=b/,即6（2"—加+1）=3,

-1k

-??2*-m+leZ，?-?b=3，m=2-'

19.如圖,“復(fù)興”橋?yàn)槿诵刑鞓?，其主體結(jié)構(gòu)是由兩根等長(zhǎng)的半圓型主梁和四根豎直的立柱

吊起一塊圓環(huán)狀的橋面.主梁在橋面上方相交于點(diǎn)S且它們所在的平面互相垂直，S在橋

面上的射影為橋面的中心。主梁連接橋面大圓，立柱連接主梁和橋面小圓，地面有4條

可以通往橋面的上行步道.設(shè)CZ）為其中的一根立柱，/為主梁與橋面大圓的連接點(diǎn).

（1）求證：CD"平面SQ4；

（2）設(shè)Z8為經(jīng)過(guò)/的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30。.橋面小圓

與大圓的半徑之比為4：5,當(dāng)橋面大圓半徑為20米時(shí)，求點(diǎn)C到地面的距離.

【答案】（1）證明過(guò)程見詳解

（2）18米

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可知：CD//SO,利用線面平行的判定即可證明；

（2）根據(jù)題意利用勾股定理先求出點(diǎn)C到橋面的距離，再求出底面到橋面的距離，最后相加

即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知：,橋面，S°，橋面，所以8〃SO,

5°<=平面5。力，CD（Z平面SON,所以CD”平面SO4

【小問(wèn)2詳解】

作出其中一個(gè)主梁的軸截面，連接

由題意可知：S°=2°,因?yàn)闃蛎嫘A與大圓的半徑之比為4:5,

也即0Z）:SO=4:5,所以=16,OC=SO=20,

在此△OCZ）中，CD=SC2-OD2=,2（）2—162=12,

所以點(diǎn)C到橋面的距離為12米，

又因?yàn)镹8為經(jīng)過(guò)/的一條步道，其長(zhǎng)度為12米且與地面所成角的大小為30。,

所以地面到橋面的距離為人=12xsin300=6,

故點(diǎn)C到地面的距離為12+6=18米.

20.在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)，已知橢圓.9'5的左、右焦點(diǎn)分別為耳、巴，直線

Q）記”為/到直線2》+9=°的距離，當(dāng)&變化時(shí)，求證：d為定值；

⑵當(dāng)4工6=120。時(shí)，求|盟|，愿|的值；

（3）過(guò)8作軸，垂足為A/,的中點(diǎn)為M延長(zhǎng)ZN交「于另一點(diǎn)P,記直線

尸8的斜率為％2,當(dāng)勺取何值時(shí)，有最小值？并求出此最小值.

【答案】(1)答案見詳解;

20

(2)3.

(3)答案見解析.

【解析】

【分析】⑴設(shè)'國(guó)必)求出""六以及的=加+2)”：,進(jìn)而可推出

產(chǎn)『=4M

r9,即可證明d為定值；

(2)由平行四邊形'百°瑪可得,根據(jù)橢圓的定義有?耳|+”用=6,根據(jù)

余弦定理即可求出結(jié)果；

⑶設(shè)，(心凹)，"(X。)。)，則令直線P/的斜率為左，則直線尸/的方

程為：I2A與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到坐標(biāo)與左的關(guān)系，進(jìn)而表示

k2=~—

出上G％2之間的關(guān)系，推出6人,然后根據(jù)基本不等式即可得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

工+里=1.2=55.

證明：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為'(須，凹)，則有95,9.

由已知可得，。=3,bM,‘2=4,c-2,](9),2(，)

則1陽(yáng)1=Ja+27+療,/&*)到直線2x+9=0的距離為“?2

C2A24(9Y

\AF\(x,+2)2+y,2=a+2)一+5-r2寸+例+9二#+[=4

d2(9丫—(9丫(9丫(9?9

則MJ3+J卜+力

|陽(yáng)=2|叫

所以，d弓是個(gè)與勺無(wú)關(guān)的定值，即當(dāng)4變化時(shí)，d為定值.

【小問(wèn)2詳解】

如圖，連結(jié)"4*6,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得四邊形6為平行四邊形.

由橢圓的定義可得，的+M周=6,

所以有3用+?用）2=1陽(yáng)『+M曰+2|，娟能用=36

因?yàn)?盟8=120°,所以“傷=60。

在中，由余弦定理可得，1—+I典『―2|掰H盟|.8S6O"=寓閭2=16,

即|四『+|盟」一|四H盟1=16,又|四M盟『+2|/H盟1=36,

兩式作差可得3M"閭=20,則1陽(yáng)1'國(guó)—3

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)/（X],必），則5（-芯,-弘），尸&,%）

故”再,0）,"一列

y=Zrfx+—

令直線&的斜率為左，則直線PZ的方程為：V2）,

22C

---F——=1（9人一+5）r+9左~X|X4—kx,~-45=0

代入橢圓方程95可得，v4,

9k2x.

x0+x,=---丁」一

根據(jù)韋達(dá)定理可得，9k+5,于是

5kxi

%+弘="xo+.+kXj+

7）泌2+5

5k-^=生=耳

42優(yōu)3X13

故Xo+X]9及，又因?yàn)?/p>

,_5_5

故3^

又因?yàn)椤笆?所以間圈,

k]一左,|=k.+-^-=1^.1+N2/同?-y-=

于是根據(jù)基本不等式，可得6人6416左3,

同=目刈=土叵

當(dāng)且僅當(dāng)卜/1,即6時(shí)，等號(hào)成立.

k=+V30A/30

所以，當(dāng)'-6,因一周有最小值3.

【點(diǎn)睛】"設(shè)而不求''是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法.本題中，設(shè)

出點(diǎn)的坐標(biāo)較多，直線數(shù)量較多，需要轉(zhuǎn)化的量也較多.引入直線P/的斜率左，通過(guò)左表

k2=~—

示出幾個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，以上作為紐帶，將勺與&聯(lián)系起來(lái)，最終求得6勺，然后

借助基本不等式求出結(jié)果.

21.若函數(shù)＞=/3猴°）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱7=/㈤在。上具有性

質(zhì)".

①V=/（X）在。上的導(dǎo)數(shù)/'（X）存在；

②'=/'G）在。上的導(dǎo)數(shù)/"G）存在，且/"（x）＞°（其中/"（x）=[/'（x）]）恒成

立.

尸1g—（Q\

（1）判斷函數(shù)X在區(qū)間,'+001上是否具有性質(zhì)M?并說(shuō)明理由.

,g（x）=2x3+ax2+-

（2）設(shè)。、臺(tái)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)x在》=1處取得極值，是否存

在實(shí)數(shù)c,使得V=g（x）在區(qū)間卜'+8）上具有性質(zhì)M?若存在，求出,的取值范圍；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1+In（x+1）k

⑶設(shè)0Z且左>0,對(duì)于任意的xe（°，+8）,不等式XX+1成立，求

%的最大值.

y=]gj_

【答案】（1）函數(shù)，-在區(qū)間（°,+"）上具有性質(zhì)”；

（2）存在實(shí)數(shù)。，使得，=g（"）在區(qū)間卜什8）上具有性質(zhì)/，。的取值范圍是（