教育統(tǒng)計學(xué)集中趨勢的度量

教育統(tǒng)計學(xué)課件集中趨勢的度量第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月本章要點：1.眾數(shù)；2.中數(shù)；3.算術(shù)平均數(shù)；4.其它集中量數(shù)（加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)等）第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是集中量數(shù)（MeasuresofCentralTendency）？Descriptivestatisticsthatsummarizedatabydescribingthemosttypicalorrepresentativevalueinthedataset,includingmode,medianandmean.通過描述數(shù)據(jù)集中最典型最有代表性的值的方式來總結(jié)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量數(shù)。描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量數(shù)稱為集中量數(shù)，集中量數(shù)包括眾數(shù)、中數(shù)和算術(shù)平均數(shù)等。這些量數(shù)反映數(shù)據(jù)向某個方向集中的趨勢。第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是眾數(shù)（Mode）？Ameasureofcentraltendencythatrepresentsthemostfrequentlyoccurringscoreinadataset.集中量數(shù)的一種，數(shù)據(jù)集最常出現(xiàn)的（出現(xiàn)次數(shù)最多）的分?jǐn)?shù)。眾數(shù)又稱范數(shù)，是指次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)的數(shù)值。眾數(shù)的符號：第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是眾數(shù)（Mode）？Ameasureofcentraltendencythatrepresentsthemostfrequentlyoccurringscoreinadataset.眾數(shù)有理論眾數(shù)和粗略眾數(shù)兩種定義方法。粗略眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)（或次數(shù)分布）中次數(shù)出現(xiàn)最多的那個數(shù)的數(shù)值。理論眾數(shù)是指與次數(shù)分布曲線最高點相對應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點。第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月眾數(shù)的計算方法用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)在一組原始數(shù)據(jù)中，次數(shù)出現(xiàn)最多的那個數(shù)值就是眾數(shù)；在次數(shù)分布表中，次數(shù)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月720005400026400240001920019200192001800016800168001680014400144001440014400眾數(shù)：最常出現(xiàn)的那個值。Mode=第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月眾數(shù)的計算方法用經(jīng)驗公式求理論眾數(shù)的近似值

①皮爾遜經(jīng)驗法（適合正態(tài)分布）②金氏插補(bǔ)法（適合偏態(tài)分布）

為含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限；為組距；為高于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；為低于眾數(shù)所在組一個組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月分?jǐn)?shù)段頻數(shù)52.5～62.5462.5～72.51072.5～82.51382.5～92.51192.5～102.52合計40表2-1某班一次數(shù)學(xué)測驗成績的頻數(shù)分布表注：本數(shù)據(jù)純屬虛構(gòu)，如有雷同，定是巧合53，53，61，61，63，65，67，67，69，69，69，70，70，71，74，75，75，76，77，78，79，80，81，81，81，81，82，84，85，86，87，87，87，88，89，90，91，91，94，95第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

眾數(shù)的優(yōu)缺點眾數(shù)雖然簡明易懂，較少受兩極端數(shù)值的影響，但它并不具備一個良好集中量數(shù)的基本條件。如極不準(zhǔn)確、穩(wěn)定，反應(yīng)不靈敏，不適合代數(shù)運算，受抽樣的影響較大等。在一般情況下，眾數(shù)應(yīng)用也不廣泛，但在一些特殊情況下也常有應(yīng)用。第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月眾數(shù)適用的情況當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時；當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時；當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時；當(dāng)粗略估計次數(shù)分布的形態(tài)時。第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

學(xué)校要召開運動會，決定從高一年級8個班中抽調(diào)40名男生組成一個整齊的彩旗方陣隊，如果從高一（1）班的體檢表中任意抽出10份男生表格，得到10個男同學(xué)的身高（單位：米）如下：

1.631.601.681.661.661.631.751.661.581.65請根據(jù)這10個身高值提供的信息確定參加方隊學(xué)生的最佳身高值應(yīng)取多少？并說明理由。思考題：第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

參加方隊學(xué)生的最佳身高值應(yīng)取1.66。這是因為從這10個身高值可以看出，1.66出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)的眾數(shù)，既然這10個男生中有3個身高為1.66米，而一個班遠(yuǎn)不止10個男生，那么8個班的男生中應(yīng)該能選出40名這種身高的人。答：第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是中數(shù)（Median）？Ameasureofcentraltendencythatrepresentsthemidpointofthedistributionofscores.One-halfthescoresfallaboveandone-halfbelowthispoint.也是集中量數(shù)的一種，代表數(shù)據(jù)分布的中點。這個點以下和以上均有一半的數(shù)據(jù)。中數(shù)又稱中位數(shù)，是指位于一組數(shù)據(jù)數(shù)列中間位置的那個數(shù)。它的符號記為。第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是中數(shù)（Median）？Ameasureofcentraltendencythatrepresentsthemidpointofthedistributionofscores.One-halfthescoresfallaboveandone-halfbelowthispoint.也是集中量數(shù)的一種，代表數(shù)據(jù)分布的中點。這個點以下和以上均有一半的數(shù)據(jù)。中數(shù)可以是某個原始數(shù)據(jù)，也可以是一個計算值。它應(yīng)該是將一組按大小順序排列的數(shù)據(jù)平均分為大小相等兩部分的那個數(shù)。第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月中數(shù)的計算方法數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況指一組數(shù)據(jù)中沒有相同的數(shù)，這時取處于序列中間位置的那個數(shù)為中數(shù)。如果數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)，則中數(shù)為位置的那個數(shù)；如果數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則中數(shù)為居于中間位置兩個數(shù)的平均數(shù)，即第與第位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)。第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月中數(shù)的計算方法數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況指一組數(shù)據(jù)中有相同數(shù)值的數(shù)據(jù)，這時計算中數(shù)的方法基本與無重復(fù)數(shù)值的單列數(shù)據(jù)相同。但根據(jù)重復(fù)數(shù)值數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中所處的位置又細(xì)分為以下兩種情況：①當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時，求中數(shù)的方法與無重復(fù)數(shù)據(jù)時求中數(shù)的方法相同。②當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間時，需要假設(shè)位于中間的幾個重復(fù)數(shù)目為連續(xù)數(shù)目，取序列中上下各

那一點上的數(shù)值為中數(shù)。第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月7200054000264002400019200192001920018000中數(shù)：數(shù)據(jù)分布中的中間值。16800168001680014400144001440014400Median=眾數(shù)：最常出現(xiàn)的那個值。Mode=第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月中數(shù)的計算方法分組數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，求中數(shù)的原理同重復(fù)數(shù)目求中數(shù)是一樣的，也是取序列中將N平分為兩半的那一點的值作為中數(shù)。

或式中

為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確下限，

為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確上限，

為該組以下各組的累加次數(shù)，

為該組以上各組的累加次數(shù)，

為該組的次數(shù)。第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月分?jǐn)?shù)段頻數(shù)52.5～62.5462.5～72.51072.5～82.51382.5～92.51192.5～102.52合計40表2-1某班一次數(shù)學(xué)測驗成績的頻數(shù)分布表注：本數(shù)據(jù)純屬虛構(gòu)，如有雷同，定是巧合53，53，61，61，63，65，67，67，69，69，69，70，70，71，74，75，75，76，77，78，79，80，81，81，81，81，82，84，85，86，87，87，87，88，89，90，91，91，94，95第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

中數(shù)的優(yōu)缺點中數(shù)雖然也具備一個良好集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件，如計算簡單，嚴(yán)密確定，簡明易懂；但與算術(shù)平均數(shù)相比是相形見絀的，如反應(yīng)不夠靈敏，受抽樣的影響較大，不適合代數(shù)運算等。因此，在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用，但在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

中數(shù)適用的情況當(dāng)一組觀測結(jié)果中出現(xiàn)極端數(shù)目時；當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚時；當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于這19名大學(xué)生的月消費中存在極端數(shù)據(jù)，算術(shù)平均數(shù)不能很好地反映他們的平均月消費，應(yīng)求中數(shù)：

答：這些大學(xué)生的平均月消費是239元。

一項研究調(diào)查了19名大學(xué)生，他們的月消費（單位：人民幣元）如下：

220，227，230，231，232，232，235，236，

237，239，240，245，246，249，253，258，

260，510，600現(xiàn)欲了解他們的平均月消費？思考題：解：第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是算術(shù)平均數(shù)（Mean）？AmeasureofcentraltendencythatisthesumofallthevaluesinthedatasetdividedbyN.也是集中量數(shù)的一種，用所有數(shù)據(jù)之和除以N就得到算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商。統(tǒng)計學(xué)中常常區(qū)分樣本平均數(shù)（）和總體平均數(shù)（）。第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月算術(shù)平均數(shù)的計算方法原始數(shù)據(jù)的計算方法第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月72000540002640024000算術(shù)平均數(shù)：所有觀測值的總和除以觀測數(shù)值的個數(shù)所得的商數(shù)。19200192001920018000Mean=中數(shù)：數(shù)據(jù)分布中的中間值。16800168001680014400144001440014400Median=眾數(shù)：最常出現(xiàn)的那個值。Mode=第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月算術(shù)平均數(shù)的計算方法分組數(shù)據(jù)的計算方法

表示對次數(shù)分布表計算的算術(shù)平均數(shù)；表示各組的組中值；表示各組對應(yīng)的次數(shù)；表示總次數(shù)。第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月分?jǐn)?shù)段頻數(shù)52.5～62.5462.5～72.51072.5～82.51382.5～92.51192.5～102.52合計40表2-1某班一次數(shù)學(xué)測驗成績的頻數(shù)分布表注：本數(shù)據(jù)純屬虛構(gòu)，如有雷同，定是巧合53，53，61，61，63，65，67，67，69，69，69，70，70，71，74，75，75，76，77，78，79，80，81，81，81，81，82，84，85，86，87，87，87，88，89，90，91，91，94，95第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

算數(shù)平均數(shù)的性質(zhì)①在一組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差的總和等于0，即：②在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都加上一常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C，即：③在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C，即：第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

算數(shù)平均數(shù)的性質(zhì)④一列數(shù)據(jù)中每個數(shù)乘以一個常數(shù)C，再加上一常數(shù)d，其平均數(shù)等于原平均數(shù)乘以常數(shù)C再加上常數(shù)d。⑤一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)與任意常數(shù)c的差的平方和，不小于該組數(shù)據(jù)中每個數(shù)與平均數(shù)的差的平方和。第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點①優(yōu)點：算術(shù)平均數(shù)是一個良好的集中量數(shù)，具有反應(yīng)靈敏、計算嚴(yán)密、簡明易解、計算簡單、適合進(jìn)一步演算和較小受抽樣變化的影響等。②缺點：算術(shù)平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，這是因為平均數(shù)反應(yīng)靈敏，每個數(shù)據(jù)的或大或小的變化都會影響到最終結(jié)果；出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時，無法計算平均數(shù)。注意：不同質(zhì)的數(shù)據(jù)不能計算平均數(shù)（同質(zhì)數(shù)據(jù)是指使用同一觀測手段，采用相同的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)），因為不同質(zhì)的數(shù)據(jù)觀測手段、測量標(biāo)準(zhǔn)不一致。第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中數(shù)的關(guān)系①當(dāng)次數(shù)分布呈正態(tài)時：②當(dāng)次數(shù)分布呈正偏態(tài)時：且③當(dāng)次數(shù)分布呈負(fù)偏態(tài)時：且第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月負(fù)偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)正偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月比較的項目平均數(shù)(M)中數(shù)(Md)眾數(shù)(