數學的一般認識及現代數學觀

數學的一般認識及現代數學觀第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月教學目標：1.了解數學的一般意義；2.了解數學的三個特點；3.了解數學的主要的三次危機..第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章數學的一般認識及現代數學觀一、數學的一般認識1.數學的概念：研究客觀世界空間形式和數量關系的科學是數學。

2、數學的歸類數學與其他許多學科不一樣，它不是以某一類實物或某一種物質運動形態(tài)作為研究對象，而是從各種事物中抽取出量的方面來加以研究。

M．凱德洛夫曾作《論科學分類》的報告，他把數學列在哲學與自然科學之間的位置上。這樣的分類，曾使我國的數學家和哲學家受到啟發(fā)。但是在我國的科學部門、教育部門，至今還是按照傳統(tǒng)的看法，把數學算作自然科學的一個門類，與自然科學的其他學科如物理學、化學、生物學等并列在一起。第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

歸于自然科學的數學從歷史發(fā)展看，數學首先是和天文學、力學，以后又和物理學等一起成長起來的，所以人們習以為常地把數學歸在自然科學一類。隨著科學的發(fā)展和數學自身的發(fā)展，人們愈來愈清楚地看到數學不能夠只被看作一門自然科學了，它對各門科學(包括自然科學和社會科學)都能起到方法論的作用。。第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數學的特征

作為一種科學理論的數學理論，當然也具有科學理論的各種特點，但由于數學理論的特殊性，與其他科學理論相比較而言，它又具有以下三個主要的特征：

1.抽象性（兩個方面）數學理論作為一種認識形式，與其他學科相比，其最基本的特點就是高度的抽象性。

當然，許多其他科學也具有抽象性。

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數學的抽象性更多地表現在以下兩方面：（1）舍棄事物的具體內容而抽取出量的關系。正如恩格斯所形容：“為了能夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式和關系，必須使它們完全脫離自己的內容，把內容作為無關重要的東西放在一邊，這樣，我們就得到沒有長寬高的點、沒有厚度和寬度的線、a和b與x和y，即常數數；……”

數學的這種點、線以及其他形式和關系，不同于客觀實在的點、線或現實的形式和關系，已是一種“思想事物”了，或者就象現代數學家所說的是一種抽象結構。第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數學運用特制的抽象符號語言。在數學定理中，從前提到結論，每一推理步驟都是用符號進行的，所得到的結論也是用數學公式來表達的。數學的抽象程度確實是高于其他自然科學，有人說數學具有高度抽象性或極端抽象性是不過分的。第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.精確性（兩個方面）

精確性指的是數學具有邏輯的嚴密性和結論的確定性數學的精確性主要表現在兩個方面：（1）邏輯上的可靠性

在數學中，每一個公式、定理都要嚴格地從邏輯上加以證明以后才能夠確立，獲得承認。數學的推理步驟嚴格地遵守形式邏輯諸法則，以保證從前提到結論的推導過程中，每一個步驟都是在邏輯上準確無誤的。所以，運用數學方法從已知的關系推求未知關系時，所得到的結論就具有邏輯上的可靠性。

第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月數學的這一特征自古就有。

正如愛因斯坦所說：“為什么數學比其他一切科學受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經常處于會被新發(fā)現的事實推翻的危險之中；……數學之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數學給予精密自然科學以某種程度的可靠性，沒有數學，這些科學是達不到這種可靠性的。”第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數學運用公理化方法

數學的邏輯嚴密性還表現在它的公理方法。每一個認識領域，當經驗知識積累到相當數量的時候，需要進行綜合、整理，使之條理化，形成概念和論理的系統(tǒng)。以實現認識從感性階段到理性認識的階段，從理性認識的初級水平發(fā)展到更高級的水平，表現在一個理論系統(tǒng)發(fā)展到邏輯嚴密程度更高的公理化體系。第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月辯證地理解數學的精確性在數學中不能處處都要求邏輯的嚴密性微積分剛建立時，邏輯上是很不嚴密的，有明顯的漏洞，然而其結論是正確的，并獲得了驚人的有效應用。當然，在數學中，邏輯上的漏洞、矛盾是不允許的，因此數學家總要千方百計地解決或消除這些矛盾，經過很長時間和許多數學家的努力，終于給微積分建立了比較嚴密的理論基礎。像微積分這樣的事例在數學中還有很多，不過，邏輯上的不嚴密只能是暫時的(雖然可能上百年、上千年)，所以數學和其他的學科相比較，它還是以邏輯上的嚴格性而著稱。小學數學中，對某些數學概念并不給出非常嚴格的定義，只是結合實例給出解釋。第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.應用的廣泛性（兩個方面）數學應用的廣泛性，體現在數學不但能應用于各門自然科學，而且可以應用于社會科學；不但應用于工程技術，農業(yè)生產，而且可以應用于國民經濟和社會管理的各個領域。（1）在數學中，各種的關系、變化以及量之間，這種(些)變化與那種(些)量的變化之間的關系，都是用數學所特有的符號語言(包括圖形、數字和各種符號)來表示的。

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在科學研究中，需要對這—類巨大的或微小的數字進行計算，如果只靠日常用語是難以進行和表達的；

★自然界的或社會生活中的許多發(fā)展規(guī)律卻可用微分方程來描述。在工程技術中、經濟工作中，有些問題需要用若干個數量從整體上反映其數量關系，像電子網絡系統(tǒng)，經濟規(guī)劃，商品產銷關系等等都可用代數學中的矩陣來表示。

★隨著數學語言愈來愈多地運用，許多科學家干脆就把數學稱為“科學的語言”。而用數學語言描述出所要研究的問題，就構成一個數學問題，稱為研究對象的數學模型。第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數學提供有效的計算方法。一門科學從定性的描述進入到定量的分析和計算，是這門科學達到比較成熟階段的重要標志。

在科學史上，力學，天文學、物理學都是由于將觀測、實驗與數學方法相結合以后才迅速成長為“精密科學”的。近代、現代的許多學科都是通過大量運用數學方法而走向定量化、精確科學理論的一個重要特征就是具有預見性，而這種預見性一般是通過數學方法來表現的一些準確的科學預言，就是依據科學理論進行數學的推導和計算而獲得的理論結果。因此，當科學理論通過自己的預見性指導實踐，同時又通過預言之能否實現和是否準確地實現來接受實踐檢驗的時候，都是離不開數學計算的。第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）數學提供有效的計算方法。一門科學從定性的描述進入到定量的分析和計算，是這門科學達到比較成熟階段的重要標志。

在科學史上，力學，天文學、物理學都是由于將觀測、實驗與數學方法相結合以后才迅速成長為“精密科學”的。近代、現代的許多學科都是通過大量運用數學方法而走向定量化、精確科學理論的一個重要特征就是具有預見性，而這種預見性一般是通過數學方法來表現的一些準確的科學預言，就是依據科學理論進行數學的推導和計算而獲得的理論結果。因此，當科學理論通過自己的預見性指導實踐，同時又通過預言之能否實現和是否準確地實現來接受實踐檢驗的時候，都是離不開數學計算的。第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月三、數學的三次危機

什么是數學危機？

數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發(fā)展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。

矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發(fā)展。

第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月數學的這一特征自古就有。

正如愛因斯坦所說：“為什么數學比其他一切科學受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經常處于會被新發(fā)現的事實推翻的危險之中；……數學之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數學給予精密自然科學以某種程度的可靠性，沒有數學，這些科學是達不到這種可靠性的。”第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月1.第一次數學危機

無理數的發(fā)現導致了第一次數學危機，而危機的解決也就促使邏輯的發(fā)展和幾何學的體系化?；蛘哒f數的不可通約性的發(fā)現引起第一次數學危機。

第一次數學危機發(fā)生在公元前5百年左右的古希臘。畢達哥拉斯學派的信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。畢達哥拉斯學派的數都是整數。他們在數學上的一項重大發(fā)現是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發(fā)現了一些直角三角形的三邊比不能用整數來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。

第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

有人說，這種性質是希帕索斯（Hipparchus，公元前180－125）約在公元前400年發(fā)現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發(fā)現對古希臘的數學觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之數卻可以由幾何量表示出來。數的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月畢達哥拉斯悖論

大約公元前５世紀，不可通約量的發(fā)現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發(fā)現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為１的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的“危機”，從而產生了第一次數學危機。第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月第一次數學危機的產物—歐氏幾何學。歐幾里得的《原本》對數學發(fā)展的作用是毋容置疑的歐幾里得的貢獻在于他有史以來第一次總結了以往希臘人的數學知識，構成一個標準化的演繹體系。這對數學乃至哲學、自然科學的影響一直延續(xù)到十九世紀。牛頓的《自然哲學的數學原理》和斯賓諾莎的《倫理學》等都采用了歐幾里得《幾何原本》的體例。

※到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第５卷中。歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，并由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2.第二次數學危機無窮小量究竟是不是零的討論引發(fā)了第二次數學危機。以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當Δt趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西，這個無窮小量究竟是不是零第二次數學危機發(fā)生在公元前十七世紀至十九世紀的歐洲。第二次數學危機的產物——微積分學和集合論的產生第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

在十七世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科，這也就是數學分析的開端。

▼牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在于：1.把各種問題的解法統(tǒng)一成一種方法，微分法和積分法；2.有明確的計算微分法的步驟；3．微分法和積分法互為逆運算。

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柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量開始，認識到函數不一定要有解析表達式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導數和積分；

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阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；

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狄里克雷給出了函數的現代定義。▼維爾斯特拉斯給出現在通用的ε-δ的極限、連續(xù)定義，并把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上，從而克服了危機和矛盾。第23頁，