2014年重慶文科高考數(shù)學(xué)試題詳解

2014年重慶高考數(shù)學(xué)試題詳解（文）一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、實(shí)部為，虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）第一象限第二象限第三象限第四象限解：由已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，位于第二象限，選擇2、在等差數(shù)列中,，則（）解：由已知，選擇3、某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，學(xué)科網(wǎng)用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從高中生中抽取70人，則為（）解：分層抽樣保持比例不變，故，選擇4、下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）解：逐一驗(yàn)證知：為非奇非偶函數(shù)；為奇函數(shù)；為偶函數(shù)，選擇5、執(zhí)行右圖所示的程序框圖，則輸出的為（）解：由已知：，選擇6、已知命題對(duì)任意，總有；命題是方程的根則下列命題為真命題的是（）解：因?yàn)檎?，假，為真，故為真，選擇某幾何體的三視圖如下圖，則幾何體的體積為（）A.12B.18C.24D.30解：在長方體中構(gòu)造幾何體,如右圖所示，，經(jīng)檢驗(yàn)該幾何體的三視圖滿足題設(shè)條件。其體積，選擇8、設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為（）B.C.4D.解：由于，故，即，分解因式得：，故，從而，故，選擇9、若的最小值為（） B.C.D.解：由于，故由可知，設(shè)，則：，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選擇10、已知函數(shù)內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）B.C.D.解：等價(jià)于方程有兩個(gè)根，即和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，分別畫出函數(shù)和的圖像分析可知選擇畫圖時(shí)必須注意到：的圖像由左移一個(gè)單位，再下移三個(gè)單位得到。而過定點(diǎn)。交點(diǎn)有兩種情況：的每個(gè)分段上各有一個(gè)交點(diǎn)；兩個(gè)交點(diǎn)都在的圖像上，后者以直線和相切為臨界狀況。二、填空題11、已知集合______.解：易知12、已知向量_________.解：13、將函數(shù)圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移的個(gè)單位得到的圖像，則______.解：作逆變換：將左移，再將橫坐標(biāo)伸長兩倍可得的圖像，故：，從而14、已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_________.解：將圓配方得，故圓心，半徑，由已知為等腰直角三角形，故,圓心到直線的距離，所以：或15、某校早上8：00上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30—7:50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為___（用數(shù)字作答）解：記為時(shí)刻，小張，小王到校的時(shí)刻分別為，則這樣的二維變量可與點(diǎn)建立對(duì)應(yīng)，滿足條件的形成一個(gè)邊長為的正方形區(qū)域。由已知小張比小王至少早5分鐘滿足關(guān)系：，由線性規(guī)劃知此時(shí)形成一個(gè)三角形區(qū)域，其面積為，故所求概率為：三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，學(xué)科網(wǎng)證明過程或演算步驟.16、已知是首相為1，公差為2的等差數(shù)列，表示的前項(xiàng)和.（1）求及；（2）設(shè)是首相為2的等比數(shù)列，公比滿足，求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.解：（1）由已知（2）由于，故公比滿足故，17、20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻數(shù)分布直方圖如下：（1）求頻數(shù)直方圖中的值；（2）分別球出成績落在與中的學(xué)生人數(shù)；（3）從成績?cè)诘膶W(xué)生中人選2人，求這2人的成績都在中的概率.解：（1）因?yàn)樗蓄l率之和等于1，故，解出（2）的學(xué)生人數(shù)為人；的學(xué)生人數(shù)為人；（3）記的學(xué)生為，的學(xué)生為，則從成績?cè)诘膶W(xué)生中人選2人的選法共有10中，列舉如下：其中2人的成績都在中有三種：故所求概率為18、在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）若，求的值;（2）若，且面積，求和的值.解：（1）由已知，由余弦定理：

（2）由已知整理得：即：面積由已知聯(lián)立上面的三個(gè)式子解出19、已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。解：（1）由已知切線斜率，故，而故（2）此時(shí)，其中令得增區(qū)間；令得減區(qū)間；故當(dāng)時(shí)具有極小值，沒有極大值。20、如下圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且.證明：平面；若，求四棱錐的體積.（1）證明：由知為等邊三角形，故,在中，,由余弦定理可求出，因?yàn)?因?yàn)榈酌嬉驗(yàn)?所以平面（2）設(shè)，則，在中由余弦定理因?yàn)椋詾橹苯侨切?，由勾股定理：，解出四棱錐的體積21、如下圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)？若存在，求圓的方程，若不存在，說明理由.解：（1）設(shè)，代入橢圓方程中求出，故，而由已知：，聯(lián)立解出即，聯(lián)立解出所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由于所求圓的圓心在軸上，故圓和橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，從而經(jīng)過點(diǎn)所作的切線也關(guān)于軸對(duì)稱，