有限元基礎(chǔ)理論教程

有限元基礎(chǔ)理論教程第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月先考慮結(jié)點n有水平方向位移約束，與n結(jié)點水平方向?qū)钠胶夥匠虨椋涸赱K]矩陣中，第2n-1行的對角線元素改為1，該行中全部非對角線元素改為0；在{P}中，第2n-1個元素改為0。為了保持[K]矩陣的對稱性，將第2n-1列的全部非對角元素也改為0。應該換成下面的方程：第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月如果結(jié)點n在垂直方向有位移約束，則（2-29）中的第2n個方程修改為，在[K]矩陣中，第2n行的對角線元素改為1，該行中全部非對角線元素改為0；在{P}中，第2n個元素改為0。為了保持[K]矩陣的對稱性，將第2n列的全部非對角元素也改為0。第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.9、結(jié)構(gòu)的位移約束條件如圖所示，結(jié)構(gòu)平衡的方程組如下。修改整體剛度矩陣。第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)結(jié)點4的位移約束，修改該整體剛度矩陣的系數(shù)。第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)結(jié)點1和結(jié)點6的位移約束條件繼續(xù)修改整體剛度矩陣可以得到以下的形式，第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月如果結(jié)點n處存在一個已知非零的水平方向位移，這時的約束條件為，在[K]矩陣中，第2n-1行的對角線元素乘上一個大數(shù)A，將方程修改為，第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月處理約束條件的意義在于，強迫單元內(nèi)部的分片近似位移場滿足整體結(jié)構(gòu)的位移邊界條件，得到整個結(jié)構(gòu)的近似解。在定義位移約束時，要消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1）用相關(guān)單元的單元剛度矩陣計算結(jié)點力，再由力的平衡關(guān)系得到約束反力。與位移約束對應的約束反力如何計算？2）給矩陣相應的對角元素加上一個大數(shù)，將載荷列陣的對應元素置為零。相當于用一個剛度很大的彈簧代替位移約束。n結(jié)點在x方向位移為零，用剛度系數(shù)為A的彈簧代替，由于剛度很大，un是一個很小的值。方程修改為，第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.8整體剛度矩陣的特點與存儲方法

整體剛度矩陣具有以下幾個顯著的特點：對稱性，稀疏性，非零系數(shù)帶形分布。1）對稱性 由單元剛度矩陣的對稱性和整體剛度矩陣的集成規(guī)則，可知整體剛度矩陣必為對稱矩陣。利用對稱性，只保存整體矩陣上三角部分的系數(shù)即可。2）稀疏性

單元剛度矩陣的多數(shù)元素為零，非零元素的個數(shù)只占較小的部分。第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月3）非零元素帶形分布整體剛度矩陣的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，這種矩陣稱為帶形矩陣。在包括對角線元素的半個帶形區(qū)域內(nèi)，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬。最大半帶寬用d表示，例2.9所示結(jié)構(gòu)的最大半帶寬為，第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月二維等帶寬存儲

設(shè)整體剛度矩陣[K]為一個n行、n列的矩陣，最大半帶寬為d。利用帶形矩陣的特點和對稱性，只需要保存以d為固定帶寬的上半帶的元素，稱為二維等帶寬存儲。 整體剛度矩陣[K]每行中的上半帶元素取出，保存在另一個矩陣[K*]的對應行中，得到一個n行、d列矩陣[K*]。 把元素在[K]矩陣中的行、列編碼記為r、s，在矩陣[K*]中的行、列編碼記為r*、s*，對應關(guān)系如下：

r*=r s*=s-r+1第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月[K]矩陣中的對角線元素保存在新矩陣中的第1列中，[K]矩陣中的r行元素仍然保存在新矩陣的r行中，[K]矩陣中的s列元素則按照新的列編碼保存在新矩陣的不同列中。仍然會保存一些零元素，但是元素尋址很方便。整體剛度矩陣[K]等帶寬矩陣[K*]第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月二維等帶寬存儲所存儲的元素數(shù)量取決于最大半帶寬d的值，d的值則由單元結(jié)點的編碼方式?jīng)Q定。相同的有限單元網(wǎng)格按照圖2.13(a)的結(jié)點編碼，最大的半帶寬為14；按照圖2.13(b)的結(jié)點編碼，最大的半帶寬為18。圖2.13(a)圖2.13(b)第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月一維變帶寬存儲按行的一維變帶寬存儲，按照每一行的半帶寬把半帶寬內(nèi)的元素保存到一維數(shù)組中。使用輔助數(shù)組定義對角元素在一維數(shù)組中的位置。需要存儲的矩陣元素最少。解方程時的地址計算比較復雜，會帶來一些額外的計算量。第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.9線性方程組解法線性方程組的解法：直接解法

包括高斯消去法、等帶寬高斯消去法、三角分解法，以及適用于大型方程組求解的分塊算法和波前法等。迭代解法 雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、超松弛迭代法和共軛梯度法等。第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月利用矩陣的對稱、稀疏、帶狀分布等特點提高方程求解效率是關(guān)鍵。在方程組的階數(shù)不是特別高時，通常采用直接解法。當方程組的階數(shù)過高時，為避免舍入誤差和消元時有效數(shù)損失等對計算精度的影響，可以選擇迭代方法。第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月利用矩陣的對稱、稀疏、帶狀分布等特點提高方程求解效率是關(guān)鍵。在方程組的階數(shù)不是特別高時，通常采用直接解法。當方程組的階數(shù)過高時，為避免舍入誤差和消元時有效數(shù)損失等對計算精度的影響，可以選擇迭代方法。第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯消去法的一般公式

第m次消元時，以第m-1次消元后的第m行元素為主元行，對第i行元素(i>m)的消元公式為，若原系數(shù)矩陣是對稱矩陣，則在消元過程中的待消矩陣仍然保持對稱。

如果第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月雅可比迭代的原理A為非奇異矩陣，主元非零D為對角矩陣通過迭代逐步逼近方程組的解，第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月波前法的特點 剛度矩陣K和載荷列陣P不按照自然編號進入內(nèi)存，而按照參加運算的順序排列；以集成完畢的自由度作為主元對其它列的元素進行消元修正。不形成整體剛度矩陣。共軛梯度法 求解最優(yōu)化問題的搜索算法。迭代公式為，搜索方向，線性方程組，第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月ANSYS提供了多種求解器供選擇，分為直接解法和迭代解法。直接解法包括：波前法（FrontalSolver）稀疏法（SparseDirectSovler）迭代解法包括：雅可比共軛梯度法（JacobiConjugateGradientSolver，JCG），不完全共軛梯度法（IncompleteCholeskyConjugateGradientSolver，ICCG）預處理共軛梯度法（PreconditionedConjugateGradientSolver，PCG）代數(shù)多格法（AlgebraicMultigridSolver，AMG）區(qū)域分割法（DistributedDomainSolver，