概率論第二章

概率論第二章第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

在前面的學(xué)習中,我們用字母A、B、C...表示事件，并視之為樣本空間S的子集；針對等可能概型，主要研究了用排列組合手段計算事件的概率。本章，將用隨機變量表示隨機事件，以便采用高等數(shù)學(xué)的方法描述、研究隨機現(xiàn)象。

隨機變量第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量基本思想將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗的結(jié)果有些隨機試驗的結(jié)果可直接用數(shù)值來表示.例如:在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示例如:擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規(guī)定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”有些隨機試驗的結(jié)果不是用數(shù)量來表示，但可數(shù)量化第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例

設(shè)箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結(jié)果。取球結(jié)果為:兩個白球;兩個紅球;一紅一白

特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了對應(yīng)關(guān)系如果用X表示取得的紅球數(shù)，則X的取值可為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取到值2”,可記為{X=2}

“一紅一白”記為{X=1},

“兩只白球”記為{X=0}試驗結(jié)果的數(shù)量化第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的定義

1)它是一個變量2)它的取值隨試驗結(jié)果而改變3）隨機變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個隨機事件隨機變量隨機變量的兩個特征:設(shè)隨機試驗的樣本空間為S，如果對于每一個樣本點，均有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，稱為樣本空間S上的隨機變量。第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月某個燈泡的使用壽命X。

某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)Y.在[0，1]區(qū)間上隨機取點，該點的坐標X.X的可能取值為[0,+)Y的可能取值為0，1，2，3，...,X的可能取值為[0，1]上的全體實數(shù)。例隨機變量的實例第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月用隨機變量表示事件若X是隨機試驗E的一個隨機變量，S?R，那么

{X∈S}可表示E中的事件

如在擲骰子試驗中，用X表示出現(xiàn)的點數(shù),則“出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：{X=2}{X=4}

{X=6}

“出現(xiàn)的點數(shù)小于４”可表示為：{X<4}或{X3}

E中的事件通常都可以用X的不同取值來表示.第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的類型

離散型非離散型隨機變量的所有取值是有限個或可列個隨即變量的取值有無窮多個，且不可列其中連續(xù)型隨機變量是一種重要類型第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

離散隨機變量的概率分布稱此式為X的分布律（列）或概率分布設(shè)離散型隨機變量的所有可能取值是

，而取值的概率為即第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例

設(shè)X的分布律為求P(0<X≤2)P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律確定概率解第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月=P(抽得的兩件全為次品)求分布律舉例

例1設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品數(shù)，求隨機變量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。解：X的可能取值為0，1，2=P(抽得的兩件全為正品)P{X=1}P{X=2}=P(只有一件為次品)P{X=0}第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月故X的分布律為而“至少抽得一件次品”={X≥1}={X=1}{X=2}P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}注意：{X=1}與{X=2}是互不相容的！

實際上，這仍是古典概型的計算題，只是表達事件的方式變了故第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月從一批次品率為p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數(shù)X的分布律。解記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai,

i=1,2,3,…是相互獨立的！且X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…(X=k)對應(yīng)著事件

例第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)隨機變量X的分布律為試確定常數(shù)b.解由分布律的性質(zhì),有例第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常見的離散型分布0-1分布(二點分布)1－ppP01X則稱X服從參數(shù)為p的二點分布或(0-1)分布,△背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況都可以用兩點分布來描述。如：上拋一枚硬幣?！鞫x：

若隨機變量X的分布律為:第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)一個袋中裝有3個紅球和7個白球，現(xiàn)在從中隨機抽取一球，如果每個球抽取的機會相等，并且用數(shù)“1”代表取得紅球，“0”代表取得白球，則隨機抽取一球所得的值是一個離散型隨機變量其概率分布為即X服從兩點分布。第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月將試驗E重復(fù)進行n次,若各次試驗的結(jié)果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的.

設(shè)隨機試驗E只有兩種可能的結(jié)果:A及,且P(A)=p,在相同的條件下將E重復(fù)進行n次獨立試驗,則稱這一串試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoullitrials).貝努利試驗

相互獨立的試驗

貝努利試驗第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月貝努利定理

設(shè)在一次試驗中事件Ａ發(fā)生的概率為p(0<p<1)，則Ａ在n次貝努里試驗中恰好發(fā)生k次的概率為(k＝0，1，2，...，n)其中

定理二項概率第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布(也稱Bernoulli分布）,記為X～B(n,p)二項分布在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X可能的取值為0,1,2,3,…,n.隨機變量X的分布律第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到兩次次品的概率.有放回地抽取5件,可視為5重Bernoulli實驗記X為共抽到的次品數(shù)，則A=“一次實驗中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5p=1/4例解第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月例

一大批種子發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒.求播種后,求（1）恰有8粒發(fā)芽的概率；（2）不小于8粒發(fā)芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布若隨機變量X的分布律為:其中>0,則稱X服從參數(shù)為的泊松分布X～P()定義第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)X；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目體積相對小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。實際問題中若干R.v.X是服從或近似服從

Poisson分布的第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月已知某電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從的泊松分布，分別求（1）每分鐘內(nèi)恰好接到3次呼喚的概率；（2）每分鐘不超過4次的概率例解第24頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松定理

實際應(yīng)用中：當n較大,p較小，np適中時，