材料非線性有限元分析

材料非線性有限元分析第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1非線性彈性問題的有限單元法

前提：材料處于彈性狀態(tài)，但是應力-應變關系是非線性的。位移和應變是微小的。因此象線性問題一樣，設位移和應變分別為則全量形式的應力為增量形式的應力為第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月同線性問題分析一樣，可得單元剛度方程為單元剛度方程集成，可得總體平衡方程與線性問題不同，上式是非線性的方程組，因此要用求解非線性方程組的方法來求解。1）切線剛度法——牛頓法集成非線性方程用牛頓法求解時，切線剛度矩陣為(這里認為)第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)整體集成后，可得整體切線剛度矩陣，由此可建立（自修正的）牛頓法迭代公式為式中Rn是應力σn引起的結(jié)點力，因此其中σn為第n步位移對應的非線性單元應力。因為R-Rn物理含義是不平衡力，所以自修正的牛頓法也可理解為按不平衡力修正位移，使不平衡力足夠小。表示集成第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月切線剛度法分析的計算步驟像牛頓法一樣，切線剛度法每步都要形成切線剛度矩陣，計算量大?；谛拚ｎD法的應力轉(zhuǎn)移法、初應力法此時不平衡力節(jié)點力為外荷載形成nnnnnTnUUURRKUDD+=-=+-11

)()(第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2）應力轉(zhuǎn)移法、初應力法——修正牛頓法為避免每次迭代形成切線矩陣并求解，以初始切線矩陣（即線彈性的剛度矩陣）迭代，則這相當于按彈性剛度分配不平衡力。迭代的過程就是不斷調(diào)整個單元的應力，使剛度弱的單元不能承受的應力逐漸轉(zhuǎn)移到剛度大的單元或邊界上，因此也稱為“應力轉(zhuǎn)移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因為初始切線剛度矩陣，故表示集成第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月式中是第n步非線性位移對應的彈性應力。由此從修正牛頓法迭代公式可得因為非線性應力所以若將視作“初應力”，并記則表示集成它是不斷修改初應力，使趨于一常量（彈性應力和真實應力之差）。因此也稱初應力法。第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

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第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月切線剛度法，應力轉(zhuǎn)移、初應力法示意第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月切線剛度法將桿分成兩個單元，其單元剛度矩陣為：

第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月初應力法

初應力法迭代公式為：第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2彈塑性問題的有限單元法涉及路徑相關性的材料應力應變非線性（加載及卸載、殘余塑性變形等）必須用增量法來求解。在增量荷載ΔRm作用下，位移、應力、應變和內(nèi)變量等的增量分別為下一步迭代時的荷載水平為設m迭代步的結(jié)果已知，位移、應力、應變和內(nèi)變量等分別記作第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所討論的是小變形問題，因此或也即單元增量應變?yōu)?。象彈性問題一樣，第m+1步單元剛度方程為精確解時第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月對彈塑性問題，本構關系為彈性矩陣塑性矩陣彈塑性矩陣

在應力增量dσij作用下，應變增量dεij可分成彈性和塑性兩部分?？倯?yōu)檎唬ㄏ嚓P）流動準則非負的尺度因子dλ，它大于零，表示加載，等于零，表示其他情況F為屈服面方程彈塑性問題本構關系－應力應變關系第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月對于具有強化的加載狀態(tài)，因為屈服面為由df=0又因為第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月則由df=0可得在屈服面方程中的內(nèi)變量k，dk將有不同的形式，仿照塑性變形的取法，統(tǒng)一記第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性狀態(tài)的加載和卸載準則在外部作用下應變點仍在屈服面上，并有新的塑性變形發(fā)生，此時稱這個過程為塑性加載。如果應變點離開屈服面退回彈性區(qū)，反應是純彈性的，此過程稱塑性卸載。應變點不離開屈服面，又無新的塑性變形發(fā)生，此時稱中性變載。第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2-2)具有強化的彈塑性材料2-1）理想彈塑性材料由于此時屈服面大小和形狀不隨內(nèi)變量發(fā)展而改變，因此屈服面為。用公式表示理想彈塑性材料的加卸載準則為：卸載，彈性加載，塑性卸載，彈性加載，塑性中性變載，塑性轉(zhuǎn)圖其幾何解釋為：彈性應力增量指向屈服面內(nèi)側(cè)或相切時，反應是彈性的。否則是塑性加載，反應是彈塑性的。第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月理想彈塑性材料等向強化彈塑性材料隨動強化彈塑性材料第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，只要建立了屈服面方程，則對應加載狀態(tài)應力增量dσij的應變增量dεij為若引入如下記號：則彈塑性本構關系可統(tǒng)一表示成上述本構方程是以應力為基本未知量的，它只適用于強化材料。第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月應變空間表述的彈塑性本構關系

以應變空間來討論，能給出對強化、軟化和理想塑性材料普遍適用的本構關系表達式?；趦烧叩膶P系，因此只簡單列出式子。1)屈服條件和屈服面屈服面方程初始屈服面

2)加、卸載和流動準則正交流動準則dλ大于零表示加載，等于零表示其他情況。第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月3)彈塑性本構關系應變空間應力空間應變空間應力空間第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月確定彈塑性矩陣－等向強化-軟化的米塞斯材料在主應力狀態(tài)下，第二不變量為由薄壁圓筒的實驗研究可得，這種材料的屈服面方程為式中J2是應力偏張量的第二不變量，由于偏張量第一不變量等于零，因此在單向拉伸狀態(tài)下，J2=σ2/3。在純剪狀態(tài)下，J2=τ2。一般情況下，sij=σij-σkkδij/3,所以.第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月屈服面式中χ(k)，是由單向應力狀態(tài)的數(shù)據(jù)確定的屈服參數(shù)。在單向拉伸時為χ2=σB2/3。在純剪狀態(tài)下χ=τB。任何情況下χ都是硬化參數(shù)塑性功wp的函數(shù)。根據(jù)屈服面表達式，可求得因為第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月為了求A，需先由屈服面對wp的偏導數(shù)求M式中Gp是曲線的斜率。同理，對單向拉伸情況，-M=Ep/3。純剪Gp是塑性剪切模量單向拉伸Ep是塑性拉伸模量第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月因為由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因由此可得彈塑性矩陣為第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月加、卸載準則為統(tǒng)一的本構關系為由此可得彈塑性矩陣為第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月1)根據(jù)實驗研究建立材料合理的屈服條件f。2)由屈服條件求屈服面方程對應力或不變量等的導數(shù)。等向強化-軟化材料的屈服面方程為3)根據(jù)硬化參數(shù)的選取，計算M。第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月4)由計算A。5)由計算塑性矩陣。6)計算并由此判斷H(l)。7)最后形成彈塑性矩陣。第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月為進一步討論狀態(tài)判別，設在荷載Rm作用下應力和內(nèi)變量對應一彈性狀態(tài)，也即增加荷載ΔRm后，轉(zhuǎn)入塑性狀態(tài)，即彈性應力彈性應力應變空間的加、卸載的規(guī)則第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月也可由下式線性內(nèi)插確定因此可用下式確定中性變載點處彈、塑性部分的比例因子r基于此，加荷載ΔRm后，應力增量為彈性應力第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月當ΔRm足夠小時(Δεm足夠小)，上式可寫為跳轉(zhuǎn)式中Dp是按計算的塑性矩陣。當r=1時，反應是純彈性的，可以是彈性到彈性、塑性卸載到彈性或中性變載。當r=0時，應力應變是塑性的，是彈性到塑性的加載。0<r<1時，應力應變是彈塑性的。彈性應力第32頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性彈性塑性fmfm+1彈性轉(zhuǎn)18有狀態(tài)改變無狀態(tài)改變彈性塑性由中性狀態(tài)改變到塑性第33頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月由應變求應力的計算步驟第34頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月解決了由應變求應力的計算，下面再解決彈塑性問題非線性方程組求解問題。將其代入