湖南省婁底市漣源第七中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

湖南省婁底市漣源第七中學2022-2023學年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)集合，則A∩B=（

）A．{1,2,3}

B．{0,1}

C．{0,1,2}

D．{0,1,2,3}參考答案：B2.按流程圖的程序計算，若開始輸入的值為x=3，則輸出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．231參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)程序可知，輸入x，計算出的值，若≤100，然后再把作為x，輸入，再計算的值，直到＞100，再輸出．【解答】解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴當x=6時，=21＜100，∴當x=21時，=231＞100，停止循環(huán)則最后輸出的結(jié)果是231，故選D．3.設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，則N∩(?UM)＝()A．{1,3}B．{1,5}

C．{3,5}

D．{4,5}參考答案：C4.在銳角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分線交邊BC于點D，|AD|=1，則△ABC面積的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，） D．[，）參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】根據(jù)余弦定理和角平分線定理，求出△ABC是正三角形時面積取得最小值，當AB⊥BC時，△ABC面積取得最大值，由此求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示，銳角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分線交邊BC于點D，|AD|=1，根據(jù)余弦定理，BD2=c2+1﹣2c?cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b?cos=b2﹣b+1；根據(jù)角平分線定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；當b=c時，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，則S△ABC=bcsin=；當b≠c時，bc=b+c≥2，當且僅當b=c時“=”成立，所以bc≥，即b=c=時S△ABC取得最小值為；又當AB⊥BC時，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=為最大值，△ABC面積的取值范圍是[，]．故選：D．5.（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形．若該幾何體的體積為V，并且可以用n個這樣的幾何體拼成一個棱長為4的正方體，則V，n的值是（）A．V=32，n=2B．C．D．V=16，n=4參考答案：B【分析】由三視圖可知，幾何體為底面是正方形的四棱錐，再根據(jù)公式求解即可．【解答】解：由三視圖可知，幾何體為底面是正方形的四棱錐，所以V=，邊長為4的正方體V=64，所以n=3．故選B【點評】本題考查學生的空間想象能力，是基礎(chǔ)題．6.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，則（?RP）∩Q等于（）A． B．（﹣∞，﹣1]∪ D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）參考答案：C考點： 交、并、補集的混合運算．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合．分析： 由一元二次不等式的解法求出集合P，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合Q，再由補集、交集的運算分別求出?RP和（?RP）∩Q．解答： 解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，則集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，則Q={x|1＜x≤3}所以?RP={x|x＜﹣1或x＞2}，且（?RP）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故選：C．點評： 本題考查交、并、補集的混合運算，以及對數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．7.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點對稱且單調(diào)遞增的是（A） （B）（C） （D）參考答案：D【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的圖象與奇偶性、單調(diào)性、定義域等基礎(chǔ)知識；考查學生的運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想；考查數(shù)學抽象、直觀想象和數(shù)學運算等.【試題簡析】A選項：，不符合圖象上升這個條件；B選項：定義域不關(guān)于原點對稱；C選項函數(shù)圖象先減后增，在時函數(shù)取得最小值；故選D【錯選原因】錯選A：符合圖象關(guān)于原點對稱這個條件；錯選B：有的學生可能會通過各種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，卻忽略了定義域不關(guān)于原點對稱；錯選C：有的學生可能根據(jù)函數(shù)過而錯選此項.8.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線及直線對稱，且時，，則

(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略9.為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象A．向左平移3個單位長度

B．向右平移3個單位長度 C．向左平移1個單位長度

D．向右平移1個單位長度參考答案：D10.已知，在正方形內(nèi)任意取一點，該點在六邊形內(nèi)的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題評分）

A．（不等式選講）已知函數(shù)．若關(guān)于x的不等式的解集是R，則m的取值范圍是

參考答案：12.已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過A點作圓的切線有兩條，則a的取值范圍為________參考答案：13.已知雙曲線的兩條漸近線均與相切，則該雙曲線離心率等于

．參考答案：略14.已知某個幾何體的三視圖如下圖（主視圖的弧線是半圓），可得這個幾何體的體積是

.

參考答案：15.（正四棱錐與球體積選做題）棱長為1的正方體的外接球的體積為________．參考答案：16.若，則的大小關(guān)系是______參考答案：試題分析：又考點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)17.已知一個幾何體的三視圖及其長度如圖所示，則該幾何體的體積為

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，，．⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵記函數(shù)，當時，在上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；⑶記函數(shù)，證明：存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．參考答案：（1）因為，①若，則，在上為增函數(shù)，…………2分②若，令，得，當時，；當時，．所以為單調(diào)減區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間．

綜上可得，當時，為單調(diào)增區(qū)間，當時，為單調(diào)減區(qū)間，為單調(diào)增區(qū)間．……………4分（2）時，，，……………………5分在上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個根且不為重根，由得，………6分（i），，滿足題意；…………7分（ii）時，，即；………8分（iii）時，，得，故；綜上得：在上有且只有一個極值點時，．……………9分注：本題也可分離變量求得．（3）證明：由（1）可知：（i）若，則，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以直線與的圖象不可能有兩個切點，不合題意．……10分（ⅱ）若，在處取得極值．若，時，由圖象知不可能有兩個切點．…………11分故，設(shè)圖象與軸的兩個交點的橫坐標為（不妨設(shè)），則直線與的圖象有兩個切點即為直線與和的切點．，，設(shè)切點分別為，則，且，，，即，

①，②，③①-②得：，由③中的代入上式可得：，即，……………14分令，則，令，因為，，故存在，使得，即存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．……16分19.已知橢圓的左右焦點分別為和，由4個點，，和組成了一個高為，面積為的等腰梯形.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線和橢圓交于兩點，求面積的最大值.參考答案：（Ⅰ）由條件，得，且，∴.又，解得，.∴橢圓的方程.（Ⅱ）顯然，直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為，直線與橢圓交于，，聯(lián)立方程，消去得，.∵直線過橢圓內(nèi)的點，無論為何值，直線和橢圓總相交.∴，.∴.令，設(shè)，易知時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當，設(shè)時，，的最大值為3.20.（本小題滿分12分）在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回的隨機抽取兩張卡片，記第一次抽取卡片的標號為，第二次抽取卡片的標號為.設(shè)為坐標原點，點的坐標為記.（Ⅰ）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.參考答案：略21.在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，且△ABC的面積，求sinC的值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后求出tanA的值，即可確定出A的度數(shù)；（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；法2：由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2c，最后利用余弦定理及銳角三角函數(shù)定義即可求出sinC的值．【解答】解：（1）∵cos（﹣A）=2cosA，即cosA+sinA=2cosA，∴sinA=3cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）法1：∵cosA=，且A為三角形內(nèi)角，∴sinA==，∵S=c2=bcsinA=bc，∴b=3c，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a=2c，由正弦定理得=，即=，得到sinC===；法2：∵cosA=，且A為三角形內(nèi)角，∴sinA==，∵S=c2=bcsinA=bc，∴b=3c，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a=2c，∵a2+c2=8c2+c2=9c2=b2，∴△ABC是Rt△，角B為直角，∴sinC==．22.如圖，三棱錐P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF=FA．（1）求證：平面PAC⊥平面BEF；（2）求平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）的余弦值．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．專題：綜合題．分析：（1）證明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，從而可得平面PAC⊥平面BEF；（2）取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，證明平面CMG∥平面BEF，則平面CMG與平面平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）．解答：（1）證明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，∵PB=BC，E為PC中點，∴BE⊥PC，∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，∵BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；（2）解：取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，∵E為PC的中點，2PF=AF，∴EF∥CG，∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，∴CG∥平面BEF．同理可證：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．則平面CMG與平面平面BEF所成的二面角的平面角（銳角）就等于平面ABC與平面BEF所成的二面角的平面角（銳