高中數(shù)學(xué)人教版必修二(浙江專版)學(xué)案直線平面垂直的判定及其性質(zhì)含答案課件

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2．3.1直線與平面垂直的判定預(yù)習(xí)課本

P64～66，

思考并完成以下問題1．直線與平面垂直的定義是怎樣的？2．直線與平面垂直的判定定理是什么？3．直線與平面所成的角是怎樣定義的？4．直線與平面所成的角的范圍是什么？

[新知初探]1．直線與平面垂直的定義(1)自然語言：如果直線

l

與平面

α

內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線

l

與平面

α

互相垂直，記作

l⊥α.直線

l

叫做平面

α

的垂線，平面

α

叫做直線

l

的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們惟一的公共點(diǎn)

P

叫做垂足．(2)圖形語言：如圖．畫直線

l

與平面

α

垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．(3)符號(hào)語言：任意

a?α，都有

l⊥a?l⊥α.[點(diǎn)睛](1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線”．2．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．-1-(3)符號(hào)語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.[點(diǎn)睛]判定定理?xiàng)l件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強(qiáng)調(diào)“相交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直．3．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．如圖，∠PAO

就是斜線

AP

與平面

α

所成的角．(2)當(dāng)直線

AP

與平面垂直時(shí)，它們所成的角是

90°.(3)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，它們所成的角是

0°.(4)線面角

θ

的范圍：0°≤θ≤90°.[點(diǎn)睛]把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：①斜線上不同于斜足的點(diǎn)

P

的選取是任意的；②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行()(2)若

a∥b，a?α，l⊥α，則

l⊥b()(3)若

a⊥b，b⊥α，則

a∥α()答案：(1)×(2)√(3)×2．直線

l

與平面

α

內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線

l

與平面

α

的位置關(guān)系是()A．平行C．在平面

α

內(nèi)B．垂直D．無法確定解

析：選

D當(dāng)平面

α

內(nèi)的兩條直線相交時(shí)，直線

l⊥平面

α，即

l

與

α

相交，當(dāng)平面α

內(nèi)的兩直線平行時(shí)，l?α

或

l∥α

或

l

與

α

垂直或

l

與

α

斜交．3.如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面

ABC，則在△ABC，△PAC

的邊所在的直線中：(1)與________________________________________________________________________；(2)與

AP

垂PC

垂直的直線有直的直線有________________________________________________________________________．解析：(1)∵PC⊥平面

ABC，AB，AC，BC?平面

ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.-2-(2)∠BCA＝90°，即

BC⊥AC，又

BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面

PAC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC對(duì)直線與平面垂直的判定定理的理解[典例]下列說法正確的有________(填序號(hào))．①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④若

l

與平面

α

不垂直，則平面

α

內(nèi)一定沒有直線與

l

垂直．[解析]因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確．由線面垂直的定義可得，故②正確．因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確．如圖，l

與

α

不垂直，但

a?α，l⊥a，故④不正確．[答案]②(1)對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．[活學(xué)活用]1．若三條直線

OA，OB，OC

兩兩垂直，則直線

OA

垂直于()A．平面

OAB

C．平面

OBCB．平面

OACD．平面

ABC解析：選

C∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面

OBC，∴OA⊥平面

OBC.2．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________(填序號(hào))．解析：根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直．而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．故填①③④.答案：①③④-3-線面垂直的判定[典例]如圖，在三棱錐

S-ABC

中，∠ABC＝90°，D

是

AC

的中點(diǎn)，且

SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面

ABC；(2)若

AB＝BC，求證：BD⊥平面

SAC.[證明](1)因?yàn)?/p>

SA＝SC，D

是

AC

的中點(diǎn)，所以

SD⊥AC.在

Rt△ABC

中，AD＝BD，由已知

SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以

SD⊥BD.又

AC∩BD＝D，所以

SD⊥平面

ABC.(2)因?yàn)?/p>

AB＝BC，D

為

AC

的中點(diǎn)，所以

BD⊥AC.由(1)知

SD⊥BD.又因?yàn)?/p>

SD∩AC＝D，所以

BD⊥平面

SAC.利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論．[活學(xué)活用]如圖，AB

為⊙O

的直徑，PA

垂直于⊙O

所在的平面，M

為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N

為垂足．(1)求證：AN⊥平面

PBM.(2)若

AQ⊥PB，垂足為

Q，求證：NQ⊥PB.證明：(1)∵AB

為⊙O

的直徑，∴AM⊥BM.又

PA⊥平面

ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面

PAM.又

AN?平面

PAM，∴BM⊥AN.又

AN⊥PM，且

BM∩PM＝M，∴AN⊥平面

PBM.(2)由(1)知

AN⊥平面

PBM，-4-PB?平面

PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面

ANQ.又

NQ?平面

ANQ，∴PB⊥NQ.直線與平面所成角[典例]三棱錐

S-ABC

的所有棱長(zhǎng)都相等且為

a，求

SA

與底面

ABC

所成角的余弦值．[解]如圖，過

S

作

SO⊥平面

ABC

于點(diǎn)

O，連接

AO，BO，CO.則

SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，∴AO＝BO＝CO，∴O

為△ABC

的外心．∵△ABC

為正三角形，∴O

為△ABC

的中心．∵SO⊥平面

ABC，∴∠SAO

即為

SA

與平面

ABC

所成的角．2

33在

Rt△SAO

中，SA＝a，AO＝

×

a＝

3a，3

2AO

3∴cos∠SAO＝＝

，SA

33∴SA

與底面

ABC

所成角的余弦值為

.3求斜線與平面所成的角的步驟(1)作角：作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角)，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足(有時(shí)可以是兩垂足)作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．[活學(xué)活用]在正方體

ABCD-A

B

C

D

中，1

1

1

1(1)直線

A

B

與平面

ABCD

所成的角的大小為________；1(2)直線

A

B

與平面

ABC

D

所成的角的大小為________；1

11(3)直線

A

B

與平面

AB

C

D

所成的角的大小為________．1

11-5-解析：(1)由線面角定義知，∠A

BA

為

A

B

與平面

ABCD

所成的角，∠A

BA＝45°.111(2)如圖，連接

A

D，設(shè)

A

D∩AD

＝O，連接

BO，則易證

A

D⊥平面

ABC

D

，∴A

B在平面ABC

D

內(nèi)的1

1111111

11射影為OB，A∴B與平面ABC

D

所成的角為∠A

BO.∵A

O＝

A

B，∴∠A

BO＝30°.11

111112(3)∵A

B⊥AB

，A

B⊥B

C

，1111

1∴A

B⊥平面

AB

C

D，1

11即

A

B

與平面

AB

C

D

所成的角的大小為

90°.1

11答案：(1)45°(2)30°(3)90°層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．已知

m

和

n

是兩條不同的直線，α

和

β

是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出

m⊥β

的是()A．α∥β，且

m?α

C．m⊥n，且

n?βB．m∥n，且

n⊥βD．m⊥n，且

n∥β解

析：選

BA中，由

α∥β，且

m?α，知

m∥β；B中，由

n⊥β，知

n

垂直于平面

β內(nèi)的任意直線，再由

m∥n，知

m

也垂直于

β

內(nèi)的任意直線，所以

m⊥β，符合題意；C、D中，m?β

或

m∥β

或

m

與

β

相交，不符合題意，故選

B.2．若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線()A．平行C．異面B．相交D．以上皆有可能解析：選

D在正方體

ABCD-A

B

C

D

中，A

A，B

B

與底面

ABCD

所成的角相等，此時(shí)兩直11

1

1

11線平行；A

B

，B

C

與底面

ABCD

所成的角相等，此時(shí)兩直線相交；A

B

，BC

與底面

ABCD

所成1

11

11

1的角相等，此時(shí)兩直線異面．故選

D.3．下列四個(gè)命題中，正確的是()①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直；②若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面；③若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線垂直于這個(gè)平面，則這兩條直線互相垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有惟一一個(gè)平面與另一條直線垂直．A．①②C．②④B．②③D．③④-6-解析：選

D①②不正確．4.如圖，α∩β＝l，點(diǎn)

A，C∈α，點(diǎn)

B∈β，且

BA⊥α，BC⊥β，那么直線

l

與直線

AC

的關(guān)系是()A．異面C．垂直B．平行D．不確定解析：選

C∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理

BC⊥l.又

BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面

ABC.∵AC?平面

ABC，∴l(xiāng)⊥AC.5.如圖所示，若斜線段

AB

是它在平面

α

上的射影

BO

的

2倍，則

AB

與平面

α

所成的角是()A．60°C．30°B．45°D．120°解析：選

A∠ABO

即是斜線

AB

與平面

α

所成的角，1在

Rt△AOB

中，AB＝2BO，所以

cos∠ABO＝

，2即∠ABO＝60°.6．已知直線

l，a，b，平面

α，若要得到結(jié)論

l⊥α，則需要在條件

a?α，b?α，l⊥a，l⊥b

中另外添加的一個(gè)條件是________．答案：a，b

相交-7-7.如圖所示，三棱錐

P-ABC

中，PA⊥平面

ABC，PA＝AB，則直線

PB

與平面

ABC

所成的角等于________．解析：因?yàn)?/p>

PA⊥平面

ABC，所以斜線

PB

在平面

ABC

上的射影為

AB，所以∠PBA

即為直線

PB與平面

ABC

所成的角．在△PAB

中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直線

PB

與平面

ABC

所成的角等于

45°.答案：45°8．已知

PA

垂直于平行四邊形

ABCD

所在的平面，若

PC⊥BD，則平行四邊形

ABCD

一定是________．解析：如圖，∵PA⊥平面

ABCD，BD?平面

ABCD，∴BD⊥PA.又

BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面

PAC.又

AC?平面

PAC，∴BD⊥AC.∴平行四邊形

ABCD

為菱形．答案：菱形9.如圖，在四面體

A-BCD

中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F(xiàn)

分別為

AD，BC

的中點(diǎn)，且

EF＝

2.求證：BD⊥平面

ACD.證明：取

CD

的中點(diǎn)為

G，連接

EG，F(xiàn)G.又∵E，F(xiàn)

分別為

AD，BC

的中點(diǎn)，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，則

EG＝FG＝1.∵EF＝

2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又

EG∩CD＝G，∴BD⊥平面

ACD.10.在棱長(zhǎng)為

1的正方體

ABCD-A

B

C

D

中，E

是

A

B

的中點(diǎn)，求直1

1

1

1

1

1線

AE

與平面

ABC

D

所成的角的正弦值．1

1解：如圖，取

CD

的中點(diǎn)

F，連接

EF

交平面

ABC

D

于

O，連接

AO，1

1B

C.1由

ABCD-A

B

C

D

為正方體，易得

B

C⊥BC

，B

C⊥D

C

，BC

∩D

C

＝1

11

1

1

111111

1C

，BC

?平面

ABC

D

，D

C

?平面

ABC

D

，∴B

C⊥平面

ABC

D

.111

1

1

11

111

1-8-∵E，F(xiàn)

分別為

A

B

，CD

的中點(diǎn)，∴EF∥B

C，∴EF⊥平面

AC

，即∠EAO

為直線

AE

與平面

ABC

D1

11

111所成的角．11在

Rt△EOA

中，EO＝

EF＝

B

C＝2，122215AE＝

A1E2＋AA21＝

(

)2＋12＝，22EO

10∴sin∠EAO＝

＝

.AE

510∴直線

AE

與平面

ABC

D

所成的角的正弦值為

.1

15層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．在正方體

ABCD-A

B

C

D

中，與

AD

垂直的平面是()1

1

1

1

1A．平面

DD

C

C

1

1B．平面

A

DB11C．平面

A

B

C

D1

1

1

1D．平面

A

DB1答案：B2．下面四個(gè)命題：①過一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有且只有一條；②過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線有且只有一條；③過一點(diǎn)和一條直線垂直的平面有且只有一個(gè)；④過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有且只有一個(gè)．其中正確的是()A．①④C．①②B．②③D．③④解析：選

B過一點(diǎn)和一條直線垂直的直線有無數(shù)條，故①不正確；過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的平面有無數(shù)個(gè)，故④不正確；易知②③均正確．故選

B.3．設(shè)

l，m

是兩條不同的直線，α

是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若

l⊥m，m?α，則

l⊥αC．若

l∥α，m?α，則

l∥mB．若

l⊥α，l∥m，則

m⊥αD．若

l∥α，m∥α，則

l∥m解

析：選

B根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面，知選項(xiàng)

B正確．4.如圖，四棱錐

S-ABCD

的底面為正方形，SD⊥底面

ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面

SCDC．SA

與平面

SBD

所成的角等于

SC

與平面

SBD

所成的角D．AB

與

SC

所成的角等于

DC

與

SA

所成的角-9-解析：選D選項(xiàng)A正確，因?yàn)镾D垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD

內(nèi)，所以

AC

垂直于SD；再由

ABCD

為正方形，所以

AC

垂直于

BD，而

BD

與

SD

相交，所以

AC

垂直于平面

SBD，進(jìn)而垂直于

SB.選項(xiàng)

B正確，因?yàn)?/p>

AB

平行于

CD，而

CD

在平面

SCD

內(nèi)，AB

不在平面

SCD

內(nèi)，所以

AB

平行于平面

SCD.選項(xiàng)

C正確，設(shè)

AC

與

BD

的交點(diǎn)為

O，連接

SO，則

SA

與平面

SBD

所成的角就是∠ASO，SC與平面

SBD

所成的角就是∠CSO，易知這兩個(gè)角相等．選項(xiàng)

D錯(cuò)誤，AB

與

SC

所成的角等于∠SCD，而

DC

與

SA

所成的角是∠SAB，這兩個(gè)角不相等．5.如圖，在棱長(zhǎng)為

2的正方體

ABCD-A

B

C

D

中，E

是

AD

的中點(diǎn)，F(xiàn)

是

BB

的中點(diǎn)，則直1

1

1

1

1線

EF

與平面

ABCD

所成角的正切值為________．解析：連接

EB，由

BB

⊥平面

ABCD，知∠FEB

即15直線

EF

與平面

ABCD

所成的角．在

Rt△FBE

中，BF＝1，BE＝

5，則

tan∠FEB＝

.55答案：

56.如圖所示，將平面四邊形

ABCD

沿對(duì)角線

AC

折成空間四邊形，當(dāng)平面四邊形ABCD滿

足________時(shí)，空間四邊形中的兩條對(duì)角線互相垂直．(填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能情況)解析：在平面四邊形中，設(shè)

AC

與

BD

交于

E，假設(shè)

AC⊥BD，則

AC⊥DE，AC⊥BE.折疊后，AC

與

DE，AC

與

BE

依然垂直，所以

AC⊥平面

BDE，所

以

AC⊥BD.若四邊形

ABCD

為菱形或正方形，因?yàn)樗鼈兊膶?duì)角線互相垂直，同上可證

AC⊥BD.答案：AC⊥BD(或四邊形

ABCD

為菱形、正方形等)7．如圖，在直三棱柱

ABC-A

B

C

中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA

.1

1

1

1(1)求證：AB

⊥平面

A

BC

.111(2)若

D

為

B

C

的中點(diǎn)，求

AD

與平面

A

B

C

所成角的正弦值．1

1

1

1

110-解：(1)證明：由題意知四邊形

AA

B

B

是正方形，1

1∴AB

⊥BA

.11由

AA

⊥平面

A

B

C

得

AA

⊥A

C

.111

1

11

1又∵A

C

⊥A

B

，AA

∩A

B

＝A

，1

11

11

111∴A

C

⊥平面

AA

B

B，1

1

1

1又∵AB

?平面

AA

B

B，11

1∴A

C

⊥AB

.1

1

1又∵BA

∩A

C

＝A

，∴AB

⊥平面

A

BC

.111

1111(2)連接

A

D.設(shè)

AB＝AC＝AA

＝1，11∵AA

⊥平面

A

B

C

，1

1

11∴∠A

DA

是

AD

與平面

A

B

C

所成的角．1

1

11在等腰直角三角形

A

B

C

中，D

為斜邊的中點(diǎn)，1

1

112∴A

D＝

×B

C

＝

.11

1226在

Rt△A

DA

中，AD＝

A1D2＋A1A2＝

.12A1A

6∴sin∠A

DA＝1＝

，AD

36即

AD

與平面

A

B

C

所成角的正弦值為

.1

1

138.如圖，直三棱柱

ABC-A

B

C

中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA

＝

2，D

是

A

B

的中點(diǎn)．1

1

111

1(1)求證

C

D⊥平面

AA

B

B；1

11(2)當(dāng)點(diǎn)

F

在

BB

上的什么位置時(shí)，會(huì)使得

AB

⊥平面

C

DF？并證明你的結(jié)論．111證明：(1)∵ABC-A

B

C

是直三棱柱，1

1

1∴A

C

＝B

C

＝1，且∠A

C

B

＝90°.1

1

11

11

1又

D

是

A

B

的中點(diǎn)，1

1∴C

D⊥A

B

.1

11∵AA

⊥平面

A

B

C

，C

D?平面

A

B

C

，11

1

111

1

1∴AA

⊥C

D，又

A

B

∩C

D＝D，1

1111∴C

D⊥平面

AA

B

B.1

11-11-(2)作

DE⊥AB

交

AB

于

E，延長(zhǎng)

DE

交

BB

于

F，連接

C

F，則

AB

⊥平面

C

DF，點(diǎn)

F

為所111111求．∵C

D⊥平面

AA

B

B，AB

?平面

AA

B

B，∴C

D⊥AB

.11

111

111又

AB

⊥DF，DF∩C

D＝D，∴AB

⊥平面

C

DF.1111∵AA

＝A

B

＝

2，∴四邊形

AA

B

B

為正方形．11

11

1又

D

為

A

B

的中點(diǎn)，DF⊥AB

，∴F

為

BB

的中點(diǎn)，11

11∴當(dāng)點(diǎn)

F

為

BB

的中點(diǎn)時(shí)，AB

⊥平面

C

DF.1112．3.2平面與平面垂直的判定預(yù)習(xí)課本

P67～69，思考并完成以下問題1．二面角的定義、表示分別是怎樣的？2．二面角的平面角的定義、范圍分別是怎樣的？3．面面垂直是怎樣定義的？4．面面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？

[新知初探]1．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角(如圖)．直線

AB

叫做二面角的棱，半平面

α

和

β

叫做二面角的面．記法：α-AB-β，在

α，β

內(nèi)，分別取點(diǎn)

P，Q

時(shí)，可記作

P-AB-Q；當(dāng)棱記為

l

時(shí)，可記作

α-l-β

或

P-l-Q.(2)二面角的平面角：①定義：在二面角

α-l-β

的棱

l

上任取一點(diǎn)

O，如圖所示，以點(diǎn)

O

為垂-足，在半平面

α

和

β

內(nèi)分別作垂直于棱

l

的射線

OA

和

OB，則射線

OA

和

OB

構(gòu)成的∠AOB

叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．[點(diǎn)睛]二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，因此，二面角

θ

的取值范圍是

0°≤θ≤180°.2．平面與平面垂直(1)面面垂直的定義①定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．②畫法：記作：α⊥β.(2)兩平面垂直的判定定理：①文字語言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．②圖形語言：如圖．③符號(hào)語言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB?α?α⊥β.[點(diǎn)睛]定理的關(guān)鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個(gè)面的垂線．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若

l⊥α，則過

l

有無數(shù)個(gè)平面與

α

垂直()(2)兩垂直的平面的二面角的平面角大小為

90°()答案：(1)√(2)√2．在二面角

α-l-β

的棱

l

上任選一點(diǎn)

O，若∠AOB

是二面角

α-l-β

的平面角，則必須具有的條件是()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且

AO?α，BO?β答案：D3．對(duì)于直線

m，n

和平面

α，β，能得出

α⊥β

的一組條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βC．m∥n，n⊥β，m?αB．m⊥n，α∩β＝m，n?βD．m∥n，m⊥α，n⊥β-13-解析：選

CA與

D中

α

也可與

β

平行，B中不一定

α⊥β，故選

C.-14-面面垂直的判定[典例]如圖，四邊形

ABCD

為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)

是平面

ABCD

同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面

ABCD，DF⊥平面

ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.證明：平面

AEC⊥平面

AFC.[證明]如圖，連接

BD，設(shè)

BD∩AC

于點(diǎn)

G，連接

EG，F(xiàn)G，EF.在菱形

ABCD

中，不妨設(shè)

GB＝1.由∠ABC＝120°，可得

AG＝GC＝

3.由

BE⊥平面

ABCD，AB＝BC，可知

AE＝EC.又

AE⊥EC，所以

EG＝

3，且

EG⊥AC.2在

Rt△EBG

中，可得

BE＝

2，故

DF＝

.26在

Rt△FDG

中，可得

FG＝

.22在直角梯形

BDFE

中，由

BD＝2，BE＝

2，DF＝

2，3

2可得

EF＝

.2從而

EG2＋FG2＝EF2，所以

EG⊥FG.又

AC∩FG＝G，所以

EG⊥平面

AFC.因?yàn)?/p>

EG?平面

AEC，所以平面

AEC⊥平面

AFC.(1)證明平面與平面垂直的方法：①利用定義：證明二面角的平面角為直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．(2)根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直，實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些，這也是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直．[活學(xué)活用]1.如圖，已知

PA⊥矩形

ABCD

所在的平面，則圖中互相垂直的平面15-有()A．1對(duì)C．3對(duì)B．2對(duì)D．5對(duì)解

析：選

D∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面

PAB.同理

BC⊥平面

PAB，又

AB⊥平面

PAD，∴DC⊥平面

PAD，∴平面

PAD⊥平面

AC，平面

PAB⊥平面

AC，平面

PBC⊥平面

PAB，平面

PAB⊥平面

PAD，平面

PDC⊥平面

PAD，共

5對(duì)．2.如圖，四邊形

ABCD

是邊長(zhǎng)為

a

的菱形，PC⊥平面

ABCD，E

是

PA

的中點(diǎn)，求證：平面

BDE⊥平面

ABCD.證明：連接

AC，設(shè)

AC∩BD＝O，連接

OE.因?yàn)?/p>

O

為

AC

中點(diǎn)，E

為

PA

的中點(diǎn)，所以

EO

是△PAC

的中位線，所以

EO∥PC.因?yàn)?/p>

PC⊥平面

ABCD，所以

EO⊥平面

ABCD.又因?yàn)?/p>

EO?平面

BDE，所以平面

BDE⊥平面

ABCD.二面角的求法[典例](1)如圖，在正方體

ABCD-A′B′C′D′中：①二面角

D′-AB-D

的大小為________．②二面角

A′-AB-D

的大小為________．(2)如圖，已知

Rt△ABC，斜邊

BC?α，點(diǎn)

A?α，AO⊥α，O

為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二角

A-BC-O

的大?。鎇解

析

](1)①在

正

方

體

ABCD-A′B′C′D′中

，

AB⊥平

面

AD′，

所

以

AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD

為二面角

D′-AB-D

的平面角．在

Rt△D′DA

中，∠D′AD＝45°，所以二面角

D′-AB-D

的大小為

45°.②因?yàn)?/p>

AB⊥平面

AD′，所以

AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD

為二面角

A′-AB-D

的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角

A′-AB-D

的大小為

90°.[答案]①45°②90°(2)解：如圖，在平面

α

內(nèi)，過

O

作

OD⊥BC，垂足為點(diǎn)

D，連接

AD，設(shè)

CO＝a.∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.又

AO∩OD＝O，∴BC⊥平面

AOD.而

AD?平面

AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO

是二面角

A-BC-O

的平面角．由

AO⊥α，OB?α，OC?α，知

AO⊥OB，AO⊥OC.∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，∴AO＝a，AC＝

2a，AB＝2a.在

Rt△ABC

中，∠BAC＝90°，∴BC＝

AC2＋AB2＝

6a，AB·AC

2a·

2a

2

3∴AD＝＝＝a.BC6a3AOa3＝

.在

Rt△AOD

中，sin∠ADO＝＝AD

2

3

2a3∴∠ADO＝60°，即二面角

A-BC-O

的大小是

60°.(1)定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)過該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線．(2)垂面法：過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線，這兩條射線(交線)所成的角，即為二面角的平面角．(3)垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方法．[活學(xué)活用]如圖，把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD＝AC.(1)求證：平面

ABD⊥平面

ABC.(2)求二面角

C-BD-A

的余弦值．解：(1)證明：取

AB

的中點(diǎn)

O，連接

OD，∵△ABD

是等腰直角三角形，2∴DO⊥AB，且

DO＝

2AD.連接

OC，同理得

CO⊥AB，2且

CO＝

2AC，2∵AD＝AC，∴DO＝CO＝

2AC.-17-∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2，∴△CDO

為等腰直角三角形，DO⊥CO，又

AB∩CO＝O，∴DO⊥平面

ABC.又∵DO?平面

ABD，∴平面

ABD⊥平面

ABC.(2)取

BD

的中點(diǎn)

E，連接

CE，OE.∵△BCD

為等邊三角形，∴CE⊥BD.又∵△BOD

為等腰直角三角形，∴OE⊥BD.∴∠OEC

為二面角

C-BD-A

的平面角．由(1)可證得

OC⊥平面

ABD，∴OC⊥OE.∴△COE

為直角三角形．31設(shè)

BC＝1，則

CE＝

2，OE＝

，2OE

3∴cos∠OEC＝＝

，CE

33即二面角

C-BD-A

的余弦值為

.3折疊問題[典例]如圖，在矩形

ABCD

中，AB＝

2，BC＝2，E

為

BC

的中點(diǎn)，把△ABE

和△CDE

分別沿

AE，DE

折起，使點(diǎn)

B

與點(diǎn)

C

重合于點(diǎn)

P.(1)求證：平面

PDE⊥平面

PAD；(2)求二面角

P-AD-E

的大小．[解]

(1)證明：由

AB⊥BE，得

AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面

PAD.又

PE?平面

PDE，∴平面

PDE⊥平面

PAD.(2)如圖所示，取

AD

的中點(diǎn)

F，連接

PF，EF，則

PF⊥AD，EF⊥AD，∴∠PFE

就是二面角

P-AD-E

的平面角．又

PE⊥平面

PAD，∴PE⊥PF.∵EF＝AB＝

2，PF＝

22－1＝1，PF

2∴cos∠PFE＝

＝

.EF

2∴二面角

P-AD-E

的大小為

45°.-18-折疊問題，即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關(guān)問題．解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量．

[活學(xué)活用]1如圖所示，在矩形

ABCD

中，已知

AB＝

AD，E

是

AD

的中點(diǎn)，沿

BE

將△ABE

折起至△A′BE2的位置，使

A′C＝A′D，求證：平面

A′BE⊥平面

BCDE.證明：如圖所示，取

CD

的中點(diǎn)

M，BE

的中點(diǎn)

N，連接

A′M，A′N，MN，則

MN∥BC.1∵AB＝

AD，E

是

AD

的中點(diǎn)，2∴AB＝AE，即

A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四邊形

BCDE

中，CD⊥MN，又∵M(jìn)N∩A′M＝M，∴CD⊥平面

A′MN，∴CD⊥A′N.1∵DE∥BC

且

DE＝

BC，∴BE

必與

CD

相交．2又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面

BCDE.又∵A′N?平面

A′BE，∴平面

A′BE⊥平面

BCDE.層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．從空間一點(diǎn)

P

向二面角

α-l-β

的兩個(gè)面

α，β

分別作垂線

PE，PF，E，F(xiàn)

為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角

α-l-β

的平面角的大小是()A．60°C．60°或

120°B．120°D．不確定解析：選

C若點(diǎn)

P

在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為

120°；若點(diǎn)

P

在二面角外，則二面角的平面角為

60°.2．如果直線

l，m

與平面

α，β，γ

滿

足：β∩γ＝l，l∥α，m?α

和

m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ

且

l⊥mB．α⊥γ

且

m∥β-19-C．m∥β

且

l⊥m解析：選

AB錯(cuò)，有可能

m

與

β

相交；C錯(cuò)，有可能

m

與

β

相交；D錯(cuò)，有可能

α

與β

相交．3．已知直線

a，b

與平面

α，β，γ，下列能使

α⊥β

成立的條件是()D．α∥β

且

α⊥γA．α⊥γ，β⊥γC．a(chǎn)∥β，a∥αB．α∩β＝a，b⊥a，b?βD．a(chǎn)∥α，a⊥β解析：選

D由

a∥α，知

α

內(nèi)必有直線

l

與

a

平行．而

a⊥β，∴l(xiāng)⊥β，∴α⊥β.4．如圖，四邊形

ABCD

中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD

沿

BD折起，使平面

ABD⊥平面

BCD，構(gòu)成幾何體

A-BCD，則在幾何體

A-BCD

中，下列結(jié)論正確的是()A．平面

ABD⊥平面

ABCB．平面

ADC⊥平面

BDCC．平面

ABC⊥平面

BDCD．平面

ADC⊥平面

ABC解析：選

D由已知得

BA⊥AD，CD⊥BD，又平面

ABD⊥平面

BCD，∴CD⊥平面

ABD，從而

CD⊥AB，故

AB⊥平面

ADC.又

AB?平面

ABC，∴平面

ABC⊥平面

ADC.5．在正方體ABCD-A

B

C

D

中，截面A

BD與底面ABCD所成二面角A

-BD-A的正切值為()11

1

1

113A.22B.2C.

2D.

3解析：選

C如圖所示，連接

AC

交

BD

于點(diǎn)

O，連接

A

O，O

為

BD

中點(diǎn)，1∵A

D＝A

B，11∴在△A

BD

中，A

O⊥BD.11又∵在正方形

ABCD

中，AC⊥BD，∴∠A

OA

為二面角

A

-BD-A

的平面角．112設(shè)

AA

＝1，則

AO＝

.121∴tan∠A

OA＝

＝

2.122-20-6．如果規(guī)定：x＝y(tǒng)，y＝z，則

x＝z，叫作

x，y，z

關(guān)于相等關(guān)系具有傳遞性，那么空間三個(gè)平面

α，β，γ

關(guān)于相交、垂直、平行這三種關(guān)系中具有傳遞性的是________．解析：由平面與平面的位置關(guān)系及兩個(gè)平面平行、垂直的定義、判定定理，知平面平行具有傳遞性，相交、垂直都不具有傳遞性．答案：平行7．在正方體

ABCD-A

B

C

D

中，E

是

CC

的中點(diǎn)，則平面

EBD

與平面

AA

C

C

的位置關(guān)系是1

11

1

1

11________．(填“垂直”“不垂直”其中的一個(gè))解：如圖，在正方體中，CC

⊥平面

ABCD，∴CC

⊥BD.11又

AC⊥BD，CC

∩AC＝C，1∴BD⊥平面

AA

C

C.1

1又

BD?平面

EBD，∴平面

EBD⊥平面

AA

C

C.1

1答案：垂直8．若

P

是△ABC

所在平面外一點(diǎn)，而△PBC

和△ABC

都是邊長(zhǎng)為

2的正三角形，PA＝

6，那么二面角

P-BC-A

的大小為________．解析：如圖，取

BC

的中點(diǎn)

O，連接

OA，OP，則∠POA

為二面角

P-BC-A

的平面角，OP＝OA＝3，PA＝

6，所以△POA

為直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°9．如圖，在圓錐

PO

中，AB

是⊙O

的直徑，C

是

A

B上的點(diǎn)，D

為

AC

的中點(diǎn)．證明：平面

POD⊥平面

PAC.證明：如圖，連接

OC，因?yàn)?/p>

OA＝OC，D

是

AC

的中點(diǎn)，所以

AC⊥OD.又

PO⊥底面

ABC，AC?底面

ABC，所以

AC⊥PO.因?yàn)?/p>

OD，PO

是平面

POD

內(nèi)的兩條相交直線，所以

AC⊥平面

POD.又

AC?平面

PAC，所以平面

POD⊥平面

PAC.10.如圖所示，在△ABC

中，AB⊥BC，SA⊥平面

ABC，DE

垂直平分-21-SC，且分別交

AC，SC

于點(diǎn)

D，E，又

SA＝AB，SB＝BC，求二面角

E-BD-C

的大?。猓骸逧

為

SC

中點(diǎn)，且

SB＝BC，∴BE⊥SC.又

DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面

BDE，∴BD⊥SC.又

SA⊥平面

ABC，可得

SA⊥BD.又

SC∩SA＝S，∴BD⊥平面

SAC，從而

BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC

為二面角

E-BD-C

的平面角．設(shè)

SA＝AB＝1.在△ABC

中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝

2，AC＝

3，∴SC＝2.在

Rt△SAC

中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角

E-BD-C

為

60°.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．(浙江高考)設(shè)

α，β

是兩個(gè)不同的平面，l，m

是兩條不同的直線，且

l?α，m?β.()A．若

l⊥β，則

α⊥β

C．若

l∥β，則

α∥βB．若

α⊥β，則

l⊥mD．若

α∥β，則

l∥m解析：選

A∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故

A正確．2．一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為()A．相等C．相等或互補(bǔ)B．互補(bǔ)D．不確定解析：選

D反例：如圖，在正方體

ABCD-A

B

C

D

中，E，F(xiàn)

分別是1

1

1

1CD，C

D

的中點(diǎn)，二面角

D-AA

-E

與二面角

B

-AB-D

的兩個(gè)半平面就是分別11

11對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)，故選

D.3.如圖，在梯形

ABCD

中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)

分別是

AB，CD

的中點(diǎn)，將四邊形

ADFE

沿直線

EF

進(jìn)行翻折．給出四個(gè)結(jié)論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面

DBF⊥平面

BFC；④平面

DCF⊥平面

BFC.在翻折的過程中，可能成立的結(jié)論是()A．①③C．②④B．②③D．③④-22-解

析：選

B對(duì)于①，因?yàn)?/p>

BC∥AD，AD

與

DF

相交不垂直，所以

BC

與

DF

不垂直，故①不可能成立；對(duì)于②，如圖，設(shè)點(diǎn)

D

的在平面

BCF

上的射影為點(diǎn)

P，當(dāng)

BP⊥CF

時(shí)，有

BD⊥FC，而

AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，故②可能成立；對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)

P

落在

BF

上時(shí)，DP?平面

BDF，從而平面

BDF⊥平面

BCF，故③可能成立；對(duì)于④，因?yàn)辄c(diǎn)

D

的射影不可能在

FC

上，故④不可能成立．故選

B.4.如圖，在四面體

P-ABC

中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F(xiàn)

分別是棱

AB，BC，CA

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定成立的是()A．BC∥平面

PDFB．DF⊥平面

PAEC．平面

PDF⊥平面

PAED．平面

PDF⊥平面

ABC解析：選

D因?yàn)?/p>

D，F(xiàn)

分別為

AB，AC

的中點(diǎn)，則

DF

為△ABC

的中位線，則

BC∥DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知

BC∥平面

PDF，A成立．又

E

為

BC

的中點(diǎn)，且

PB＝PC，AB＝AC，則

BC⊥PE，BC⊥AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知

BC⊥平面

PAE.因?yàn)?/p>

BC∥DF，所以

DF⊥平面

PAE，B成立．又

DF?平面

PDF，則平面

PDF⊥平面

PAE，C成立．要使平面

PDF⊥平面ABC，已知

AE⊥DF，則必須有

AE⊥PD

或

AE⊥PF，由條件知此垂直關(guān)系不一定成立，故選

D.5．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為

2

3，側(cè)棱與底面所成角為

60°，則該四棱錐的高為__________．解析：如圖，過點(diǎn)

S

作

SO⊥平面

ABCD，連接

OC，則∠SCO＝60°，∴SO＝sin60°·SC3＝

×2

3＝3.2答案：36.如圖，二面角

α-l-β

的大小是

60°，線段

AB?α，B∈l，AB

與

l

所成的角為

30°，則

AB

與平面

β

所成的角的正弦值是________．解析：如圖，作

AO⊥β

于

O，AC⊥l

于

C，連接

OB，OC，則

OC⊥l.設(shè)

AB

與

β

所成的角AO

AC

AO為

θ，則∠ABO＝θ，由圖得

sin

θ＝

＝

·

＝sin

30°·sinAB

AB

AC360°＝

.43答案：

47．已知正方形

ABCD

的邊長(zhǎng)為

2，AC∩BD＝O.將正方形

ABCD

沿對(duì)角線

BD

折起，使

AC＝a，得到三棱錐

A-BCD，如圖．-23-(1)當(dāng)

a＝2時(shí)，求證：AO⊥平面

BCD.(2)當(dāng)二面角

A-BD-C

的大小為

120°時(shí)，求二面角

A-BC-D

的正切值．解：(1)證明：在△AOC

中，AC＝a＝2，AO＝CO＝

2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面

BCD.(2)折疊后，BD⊥A

OB，D⊥CO，∴A∠OC

是二面角

A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC

中，AO＝CO＝

2，∴AC＝

6.如圖，過點(diǎn)

A

作

CO

的垂線交線段

CO

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面

AOC.∵AH?平面

AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面

BCD.∴AH⊥BC.過點(diǎn)

A

作

AK⊥BC，垂足為

K，連接

HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面

AHK.∵HK?平面

AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH

為二面角

A-BC-D

的平面角．62在△AHO

中，AH＝

2，OH＝

2，2

3

2∴CH＝CO＋OH＝

2＋

2＝

2

.23在

Rt△CKH

中，HK＝

2CH＝

.26AH

2

6＝

＝

.在

Rt△AHK

中，tan∠AKH＝HK

3

326∴二面角

A-BC-D

的正切值為

.3-24-8．如圖，在四棱錐

P-ABCD

中，底面

ABCD

是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面

ABCD，PD

與底面成

45°角，點(diǎn)

E

是

PD

的中點(diǎn)．(1)求證：BE⊥PD.(2)求二面角

P-CD-A

的余弦值．解：(1)證明：連接

AE.∵PA⊥底面

ABCD，∴∠PDA

是

PD

與底面

ABCD

所成的角，∴∠PDA＝45°.∴PA＝DA.又∵點(diǎn)

E

是

PD

的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面

ABCD，AB?底面

ABCD，∴PA⊥AB.∵∠BAD＝90°，∴BA⊥DA.又∵PA∩AD＝A，∴BA⊥平面

PDA.又∵PD?平面

PDA，∴BA⊥PD.又∵BA∩AE＝A，∴PD⊥平面

ABE.∵BE?平面

ABE，∴BE⊥PD.(2)連接

AC.在直角梯形

ABCD

中，AB＝BC＝1，AD＝2，∴AC＝CD＝

2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD.又∵PA⊥底面

ABCD，CD?底面

ABCD，∴PA⊥CD.∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面

PAC.又∵PC?平面

PAC，∴PC⊥CD，∴∠PCA

為二面角

P-CD-A

的平面角．在

Rt△PCA

中，PC＝

PA2＋AC2＝

22＋

22＝

6.AC

2

3∴cos∠PCA＝＝＝

.PC

6

33∴所求的二面角的余弦值為

.32．3.3&2.3.4直線與平面垂直的性質(zhì)、平面與平面垂直的性質(zhì)預(yù)習(xí)課本

P70～72，思考并完成以下問題1．直線與平面垂直的性質(zhì)定理是什么？-25-2．面面垂直的性質(zhì)定理是什么？[新知初探]1．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．(2)圖形語言：(3)符號(hào)語言：Error!?a∥b.(4)作用：①線面垂直?線線平行；②作平行線．[點(diǎn)睛](1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(2)圖形語言：(3)符號(hào)語言：Error!?a⊥β.(4)作用：①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線．[點(diǎn)睛]對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．(2)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．[小試身手]-26-1．若

a，b

表示直線，α

表示平面，下列命題中正確的個(gè)數(shù)為()①a⊥

α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.A．1B．2C．3D．0解析：選

B由線面垂直的性質(zhì)知①、④正確．②中

b

可能滿足

b?α，故②錯(cuò)誤；③中b

可能與

α

相交(不垂直)，也可能平行，故③不正確．2．兩個(gè)平面互相垂直，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面()A．垂直C．斜交B．平行D．以上都有可能答案：D3．平面

α⊥平面

β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線

m⊥α，則直線

m

與

n

的位置關(guān)系是________．解析：由題意知

n⊥α，而

m⊥α，∴m∥n.答案：平行線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例]如圖，已知正方體

A

C.1(1)求證：A

C⊥B

D

.1

11(2)M，N

分別為

B

D

與

C

D

上的點(diǎn)，且

MN⊥B

D

，MN⊥C

D，求證：MN∥A

C.11

111

11[證明](1)如圖，連接

A

C

.1

1∵CC

⊥平面

A

B

C

D

，1

1

1

11B

D

?平面

A

B

C

D

，1

11

1

1

1∴CC

⊥B

D

.1

11∵四邊形

A

B

C

D

是正方形，1

1

1

1∴A

C

⊥B

D

.1

1

1

1又∵CC

∩A

C

＝C

，111

1∴B

D

⊥平面

A

C

C.1

1

1

1又∵A

C?平面

A

C

C，∴B

D

⊥A

C.11

11

11(2)如圖，連接

B

A，AD

.11∵B

C

綊

AD，1

1∴四邊形

ADC

B

為平行四邊形，1

1-27-∴C

D∥AB

.11∵M(jìn)N⊥C

D，∴MN⊥AB

.11又∵M(jìn)N⊥B

D

，AB

∩B

D

＝B

，1

11

111∴MN⊥平面

AB

D

.1

1由(1)知

A

C⊥B

D

.同理可得

A

C⊥AB

.111

11又∵AB

∩B

D

＝B

，111

1∴A

C⊥平面

A