離散數(shù)學(xué)近世代數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)

離散數(shù)學(xué)近世代數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)第1頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第四篇代數(shù)系統(tǒng)第2頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由集合以及集合上的運(yùn)算組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為代數(shù)結(jié)構(gòu)（也稱(chēng)為代數(shù)系統(tǒng)）.代數(shù)結(jié)構(gòu)是抽象代數(shù)的一個(gè)主要內(nèi)容.研究的中心問(wèn)題：集合上的抽象運(yùn)算及運(yùn)算的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。什么是代數(shù)結(jié)構(gòu)第3頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月研究意義：研究抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本特征和基本結(jié)構(gòu)，不僅能深化代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論研究，也能擴(kuò)展其應(yīng)用領(lǐng)域。應(yīng)用：現(xiàn)代數(shù)學(xué)，如拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析，等計(jì)算機(jī)科學(xué)：如半群自動(dòng)機(jī)、形式語(yǔ)言群糾錯(cuò)碼的設(shè)計(jì)格和布爾代數(shù)計(jì)算機(jī)硬件設(shè)計(jì)、通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)其他：代數(shù)方程求解、物理、化學(xué)關(guān)于代數(shù)結(jié)構(gòu)第4頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主要內(nèi)容第12章代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念第13章半群與群第14章環(huán)和域

第15章格與布爾代數(shù)

第5頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12章代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念

第1節(jié)代數(shù)運(yùn)算及其性質(zhì)第2節(jié)代數(shù)結(jié)構(gòu)的同態(tài)和同構(gòu)重點(diǎn)：代數(shù)結(jié)構(gòu)的判定與構(gòu)造，代數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)系：同態(tài)、同構(gòu)難點(diǎn)：同態(tài)基本定理第6頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)結(jié)構(gòu)S是非空集合，映射f:SnS稱(chēng)為S上的n元運(yùn)算。寫(xiě)法:f(a,b)=c可改寫(xiě)為:afb=c例如，在集合R上，對(duì)任意兩個(gè)數(shù)所進(jìn)行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元運(yùn)算。由集合S及S上的封閉運(yùn)算f1，f2，…，fk所組成的系統(tǒng)就稱(chēng)為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記作<S，f1，f2,…，fk>,或（S，f1，f2,…，fk）.第7頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

〈Z;+,＊〉,〈Z;-,＊〉,〈N,-〉,

〈{T,F};┐,∧,∨〉,〈P(A);∪,∩〉是否代數(shù)系統(tǒng)？需要滿足的條件？對(duì)于集合A，稱(chēng)運(yùn)算f:A

B

是封閉的,如果BA。第8頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)需要滿足以下三個(gè)條件：有一個(gè)非空集合S；有一些建立在集合S上的運(yùn)算；這些運(yùn)算在S上是封閉的。代數(shù)系統(tǒng)的基本概念第9頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例在整數(shù)集合I上定義如下： 對(duì)任何 其中的+，分別是通常數(shù)的加法和乘法。 那么是一個(gè)從I 2

到I的函數(shù)， 易知在集合I上是封閉的，<I，

>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。第10頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)有相同個(gè)數(shù)的運(yùn)算符，每個(gè)相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算符的元數(shù)是相同的，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是同類(lèi)型的。

定義：兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(U，)與(U，*)，如果滿足下列條件：UU；若aU，bU，則a*b=ab；則稱(chēng)(U，*)是(U，)的子系統(tǒng)或子代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)的基本概念

第11頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(S，*)，對(duì)a，b，cS，如果有(a*b)*c=a*(b*c),則稱(chēng)此代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算滿足結(jié)合律。例：設(shè)A是一個(gè)非空集合，★是A上的二元運(yùn)算，對(duì)于任意a，bA，有a★b=b，證明：★是滿足結(jié)合律的。證：∵對(duì)于任意的a，b，cA，

(a★b)★c=b★c=c

而a★(b★c)=a★c=c， ∴(a★b)★c=a★(b★c) ∴★是滿足結(jié)合律的.代數(shù)運(yùn)算及其性質(zhì)

第12頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月交換律設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(S，*)，如果對(duì)于a，bS，有a*b=b*a，則稱(chēng)此代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算“*”滿足交換律。例：在整合集合I上定義運(yùn)算： 對(duì)任何 其中的+，分別是通常數(shù)的加法和乘法。 可以滿足交換律嗎？第13頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分配律(左分配，右分配)設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)(S，，*)，對(duì)a,b,cS，如果有a(b*c)=(ab)*(ac)，則稱(chēng)“”運(yùn)算對(duì)“*”運(yùn)算滿足左分配律。若“*”對(duì)“”滿足a*(bc)=(a*b)(a*c)，則稱(chēng)“*”對(duì)“”滿足左分配律若有(a*b)c=(a*c)(b*c)，則稱(chēng)“”對(duì)“*”滿足右分配律。若(ab)*c=(a*c)(b*c)，則稱(chēng)“*”運(yùn)算對(duì)“”運(yùn)算滿足右分配律。例：代數(shù)系統(tǒng)(N，+，×)。其中+，×分別代表通常數(shù)的加法和乘法。

是否滿足交換律？第14頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單位元(幺元)一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(S，*)，若存在一個(gè)元素eU，使得對(duì)xS，有：e*x=x*e=x，則稱(chēng)e為對(duì)于運(yùn)算“*”的單位元,也稱(chēng)幺元。注意：?jiǎn)挝辉歉\(yùn)算有關(guān)系的，不同的運(yùn)算可能單位元是不一樣的。第15頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月左單位元或右單位元(左幺元或右幺元)一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(S，)，若存在一個(gè)元素elS，使得對(duì)xS，有：elx=x，則稱(chēng)el為對(duì)于運(yùn)算“”的左幺元。若存在一個(gè)元素erS，使得對(duì)xS，有：xer=x，則稱(chēng)er為對(duì)于運(yùn)算“”的右幺元。第16頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月 例設(shè)代數(shù)系統(tǒng)(N，*)，*的定義為： 對(duì) 那么，(N，*)有沒(méi)有單位元？左幺元？右幺元？解：對(duì)任何因此1是右幺元。但1不是左幺元，因?yàn)樗?N，*)沒(méi)有左幺元，當(dāng)然也就沒(méi)有幺元。第17頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理代數(shù)系統(tǒng)(U,)的單位元若存在，則唯一。證：設(shè)e為運(yùn)算“”的幺元，另有一單位元e，∵e是幺元，∴對(duì)xU，有ex=x，取x=e

，則ee=e

①又∵e是幺元，∴對(duì)xU，有xe=x，取x=e，則ee=e ②由①②式可得：e=e，即幺元唯一。第18頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月零元代數(shù)系統(tǒng)(S，)，如果存在一個(gè)元素θS，使得對(duì)xS有：θx=xθ=θ，則稱(chēng)θ為對(duì)于運(yùn)算“”的零元。若只滿足θx=θ，則θ稱(chēng)為左零元。若只滿足xθ=θ，則θ稱(chēng)為右零元。例:

代數(shù)系統(tǒng)(I，×)的零元是什么？在所有n階方陣集合M上的代數(shù)系統(tǒng)(M，×)，零元是什么？在I+上定義一個(gè)二元運(yùn)算取極小“Min”，(I+，Min)的零元是什么？第19頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)、定理定理一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其零元若存在，則唯一。定理一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(S，)，若集合A中元素的個(gè)數(shù)大于1，且該代數(shù)系統(tǒng)存在幺元e和零元θ，則θe。證明：用反證法，設(shè)θ=e，則對(duì)于任意的xA，必有

x=ex=θx=θ=e，即對(duì)于A中所有元素都是相同的，這與A中含有多個(gè)元素相矛盾。第20頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月逆元一個(gè)存在幺元e的代數(shù)系統(tǒng)(U，)，如果對(duì)U中的元素x存在x-1，使得x-1x=xx-1=e，則稱(chēng)x-1為x的逆元。若xx-1=e，則稱(chēng)x-1為x的右逆元。若x-1x=e，則稱(chēng)x-1為x的左逆元。既是左逆元，又是右逆元，則稱(chēng)x-1為x的一個(gè)逆元。第21頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例子對(duì)代數(shù)系統(tǒng)(R，*)，*為二元運(yùn)算，定義為通常數(shù)的乘法。R為實(shí)數(shù)集合。

aR，a0，a的逆元是什么?對(duì)代數(shù)系統(tǒng)(I，*)，*為二元運(yùn)算，定義為通常數(shù)的乘法。I為整數(shù)集合。 哪些元素有逆元？(R{1}，*)，*為二元運(yùn)算，定義為通常數(shù)的乘法。R{1}為除了1之外的實(shí)數(shù)集合。 哪些元素有逆元？第22頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意因此，關(guān)于逆元，下述結(jié)論是正確的：當(dāng)幺元存在時(shí)，才考慮逆元。逆元是針對(duì)具體元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素則可能沒(méi)有逆元。如果a和b都有逆元且ab，則a-1

和b-1也不相同。一個(gè)元素的逆元必須是代數(shù)系統(tǒng)內(nèi)的元素。設(shè)e幺元，只有當(dāng)aob=e和boa=e同時(shí)成立時(shí)，b才能是a的逆元，如果只有一個(gè)成立，b也不是a的逆元。第23頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理：設(shè)代數(shù)系統(tǒng)(U，)，運(yùn)算“”滿足結(jié)合律，且存在幺元e，那么對(duì)任意固定的xU，若x有逆元，則逆元是唯一的。證明：設(shè)x有兩個(gè)逆元x1-1和x2-1

，則x1-1xx2-1=x1-1(xx2-1)=x1-1e=x1-1同理x1-1xx2-1=(x1-1x)x2-1=ex2-1=x2-1所以：x1-1=x2-1第24頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)*是定義在集合A上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的xA，都有x*x=x，則稱(chēng)*運(yùn)算是等冪的。例:S={1,2,4}，在集合p(S)定義兩個(gè)二元運(yùn)算，∩，∪，分別表示集合的“并”運(yùn)算和集合的“交”運(yùn)算，∩，∪是等冪的？解：對(duì)于任意的Ap(S)，有A∩A=A；A∪A=A因此運(yùn)算∩，∪都滿足等冪律。等冪律第25頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定義在S上的一個(gè)二元運(yùn)算如下表所示，試指出代數(shù)系統(tǒng)(S，)中各個(gè)元素的左、右逆元情況。解：是幺元，是的左逆元，是的右逆元；是、的左逆元，、是右逆元；是的左逆元,是的右逆元；是的左逆元,是的右逆元。例題第26頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限集合上運(yùn)算的性質(zhì)*是封閉的表上每個(gè)元素都屬于S。*滿足交換律表中元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)。元素x為左零元x對(duì)應(yīng)的行中每個(gè)元素都是x。元素x為右零元x對(duì)應(yīng)的列中每個(gè)元素都是x。元素x為零元x對(duì)應(yīng)的行中每個(gè)元素都是x且x對(duì)應(yīng)的列中每個(gè)元素都是x。元素x為左單位元x對(duì)應(yīng)的行與表頭的行完全相同。元素x為右單位元x對(duì)應(yīng)的列與表頭的列完全相同。元素x為單位元x對(duì)應(yīng)的行與表頭的行完全相同且x對(duì)應(yīng)的列與表頭的列完全相同。元素x為左逆元x對(duì)應(yīng)的行中至少有一個(gè)單位元。元素x為右逆元x對(duì)應(yīng)的列中至少有一個(gè)單位元。元素x與元素y互為逆元x所在行與y所在列交叉位置元素為單位元且x所在列與y所在行交叉位置元素為單位元。*第27頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系為什么需要研究代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系？

在研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，所關(guān)心的常常是代數(shù)結(jié)過(guò)中運(yùn)算所滿足的性質(zhì)，不關(guān)心具體的運(yùn)算，而對(duì)于遵循相同運(yùn)算規(guī)律的系統(tǒng)只需要研究其中一個(gè)就可以了解其它的系統(tǒng).

考察下列代數(shù):I,;Q,+;R+,min;P(S),∩;P(S),∪

此5個(gè)代數(shù)都有相同的構(gòu)成成分:同樣個(gè)數(shù)的運(yùn)算且對(duì)應(yīng)運(yùn)算元數(shù)相(1個(gè)二元運(yùn)算);滿足同樣的Y運(yùn)算律(交換律,結(jié)合律);存在單位元。稱(chēng)具有這些性質(zhì)的代數(shù)是同一類(lèi)(代數(shù)結(jié)構(gòu)的類(lèi))第28頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)(U，)和(V，*)是兩個(gè)同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng),與*都是二元運(yùn)算,如果存在映射f：UV，使得對(duì)x1，x2

U,有f(x1x2)=f(x1)*f(x2)，稱(chēng)f是一個(gè)從(U，)到(V，*)的同態(tài)映射，或說(shuō)(U，)與(V，*)是同態(tài)的。若f是滿射，則稱(chēng)f是(U，)到(V，*)的滿同態(tài)映射，(U，)與(V，*)是滿同態(tài)。若f是單射，則稱(chēng)f是(U，)到(V，*)的單同態(tài)映射，(U，)與(V，*)是單同態(tài)。若f是雙射，則稱(chēng)f是(U，)到(V，*)的同構(gòu)映射，(U，)與(V，*)是同構(gòu)的。同態(tài)與同構(gòu)第29頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例解：作映射f：IA，abcaabcbbabcacb是偶數(shù)是奇數(shù)1.設(shè)集合A={a，b，c}，在A上定義運(yùn)算。如下表，那么，V1=(I，+)，V1=(A，o)，其中I是正整數(shù)集合，+運(yùn)算是普通的加法。V1和V1是否同態(tài)？2.構(gòu)造<R+,*>與<R,+>之間的同態(tài)映射.(課堂練習(xí))第30頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例解：作雙射f：A1A2，f(1)=b,f(2)=d,f(3)=c,f(4)=aabcdabbbdbaadbccbcadaacd*123414124242343143341211設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V1=(A1，*)，V2=(A2，o)，其中A1={1，2，3，4}，A2={a，b，c，d}，*和o的運(yùn)算分別如下表，V1和V2是否同構(gòu)？第31頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例代數(shù)結(jié)構(gòu)〈R+;*〉,〈R;+〉同構(gòu)嗎？

第32頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：<R+,*>與<R,+>同構(gòu)下面證明二者之間存在雙射關(guān)系且滿足同態(tài)方程。i)建立雙射關(guān)系：令f:R+R,f(x)=lnx

顯然，f是單射

yR,x=ey

使y=lney=lnx=f(x)

f是滿射f是從R+到R的雙射ii)f滿足同態(tài)方程：

f(a*b)=ln（a*b）=lna+lnb=f(a)+f(b)綜上，<R+,*>同構(gòu)于<R,+>第33頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理設(shè)代數(shù)系統(tǒng)和其中*,o,*’,o’,都是二元運(yùn)算，是V1到V2的滿同態(tài)映射，則(1)如果*是可交換的，則*’也是可交換的；(2)如果*是可結(jié)合的，則*’也是可結(jié)合的；(3)如果*對(duì)o是可分配的,則*’對(duì)o’也是可分配的；(4)若e是*的單位元，則(e)是*’的單位元;(5)若是*的零元，則()是*’的零元;(6)若a關(guān)于運(yùn)算*可逆，且逆元為b,則(a)關(guān)于運(yùn)算*’也可逆，逆元為(b)。第34頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)保持1.對(duì)于同構(gòu)：保持結(jié)合律、交換律、分配律；單位元、逆元、零元相應(yīng)存在