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文檔簡(jiǎn)介
電磁場(chǎng)與電磁波第四章時(shí)變電磁場(chǎng)1第1頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
在時(shí)變場(chǎng)情況下,電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激勵(lì),在空間形成電磁波,時(shí)變電磁場(chǎng)的能量以電磁波的形式傳播。電磁場(chǎng)的波動(dòng)性可用電磁場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程來描述,而波動(dòng)方程是將麥克斯韋方程組進(jìn)行適當(dāng)變化后得到的。2第2頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.1波動(dòng)方程
在無源空間中,設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì),則有
無源區(qū)的波動(dòng)方程
波動(dòng)方程——二階矢量微分方程,揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。
麥克斯韋方程——
一階矢量微分方程組,描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)間的相互作用關(guān)系。
麥克斯韋方程組波動(dòng)方程。
問題的提出電磁波動(dòng)方程3第3頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月同理可得
推證
問題
若為有源空間,結(jié)果如何?
若為導(dǎo)電媒質(zhì),結(jié)果如何?4第4頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
波動(dòng)方程解的一般形式求解三維方程比較困難,且解的物理意義不易理解。下面將方程簡(jiǎn)化,再進(jìn)行求解和分析。設(shè)強(qiáng)度E只與z和時(shí)間t有關(guān),其方向沿x方向,即
第5頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月一維波動(dòng)方程
解的函數(shù)形式
變量
波動(dòng)方程解的詮注電磁場(chǎng)的波動(dòng)性現(xiàn)在關(guān)心函數(shù)變量。
考慮第一項(xiàng)代表的物理意義。
設(shè)f+的波形當(dāng)變量時(shí)為最大值。令波形最大值的位置為z=zmax第6頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月t00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z不同時(shí)刻波形最大值出現(xiàn)的位置
t=0,zmax=0;
t=t1>0,zmax=vt1>0;
……沿z方向傳播
圖形移動(dòng)速度,即電磁波速度
相速度,即等相位面的傳播速度
t=t2>t1,zmax=vt2>vt1>0;t5vt5第7頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月波動(dòng)方程及其解的進(jìn)一步說明
同理可得第二項(xiàng)表示沿-z方向傳播的波
波動(dòng)方程的解代表兩個(gè)沿相反方向傳播的波,具體選擇視具體情況而定三維波動(dòng)方程的解仍然代表傳播的波,但無法用圖形描繪滿足波動(dòng)方程的電磁場(chǎng),以振蕩形式在空間中傳播,形成電磁波,其傳播速度為,真空中第8頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)
討論內(nèi)容
位函數(shù)的性質(zhì)
位函數(shù)的定義
位函數(shù)的規(guī)范條件
位函數(shù)的微分方程9第9頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月引入位函數(shù)來描述時(shí)變電磁場(chǎng),使一些問題的分析得到簡(jiǎn)化。
引入位函數(shù)的意義
位函數(shù)的定義10第10頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
位函數(shù)的不確定性
滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問題。即也就是說,對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。
原因:未規(guī)定的散度。為任意可微函數(shù)11第11頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月除了利用洛侖茲條件外,另一種常用的是庫侖條件,即
在電磁理論中,通常采用洛侖茲條件,即
位函數(shù)的規(guī)范條件
造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性,可通過規(guī)定的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。12第12頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
位函數(shù)的微分方程13第13頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月同樣14第14頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
說明
若應(yīng)用庫侖條件,位函數(shù)滿足什么樣的方程?具有什么特點(diǎn)?
問題
應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn):①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱的,且比較簡(jiǎn)單,易求解;②解的物理意義非常清楚,明確地反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度;③矢量位只決定于J,標(biāo)量位只決定于ρ,這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A,無需解出就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。
電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù),應(yīng)用不同的規(guī)范條件,矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同,但最終得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。15第15頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.3電磁能量守恒定律
討論內(nèi)容
坡印廷定理
電磁能量及守恒關(guān)系
坡印廷矢量16第16頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
能量守恒定律是一切物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過程遵守的普遍規(guī)律,作為特殊形態(tài)的物質(zhì),電磁場(chǎng)及其運(yùn)動(dòng)過程也遵守這一規(guī)律。
電磁能量問題有關(guān)概念
電磁場(chǎng)的能量密度:電磁場(chǎng)能量的空間分布用能量密度w來描述,它表示單位體積中電磁場(chǎng)的能量,通常是坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù),即
電磁場(chǎng)的能量流密度:電磁波-電磁振蕩定向運(yùn)動(dòng)伴隨電磁場(chǎng)能量移動(dòng),其流動(dòng)情況用電磁場(chǎng)能量流密度(能流密度)S表示。S是矢量,數(shù)值為單位時(shí)間垂直流過單位面積的能量,方向?yàn)槟芰苛鲃?dòng)方向,一般是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù),即
第17頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
進(jìn)入體積V的能量=體積V內(nèi)增加的能量+體積V內(nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度:磁場(chǎng)能量密度:電磁能量密度:空間區(qū)域V中的電磁能量:
特點(diǎn):當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí),空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨時(shí)間改變,從而引起電磁能量流動(dòng)。
電磁能量守恒關(guān)系:
電磁能量及守恒關(guān)系18第18頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
其中:——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流所做的功;在導(dǎo)電媒質(zhì)中,即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率
表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式:
坡印廷定理微分形式:19第19頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月在線性和各向同性的媒質(zhì)中,當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí),則有將以上兩式相減,得到由
推證20第20頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式:在任意閉曲面S所包圍的體積V上,對(duì)上式兩端積分,并應(yīng)用散度定理,即可得到坡印廷定理的積分形式
物理意義:?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi),通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。21第21頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
定義:
(W/m2
)
物理意義:
的方向
——電磁能量傳輸?shù)姆较?/p>
的大小
——通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率
描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量
坡印廷矢量(電磁能流密度矢量)22第22頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
例4.3.1
同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U,導(dǎo)體中流過的電流為I。(1)在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下,計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬?)當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí),計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線23第23頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
解:(1)在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下,電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中,內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無切向分量,只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理,容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量24第24頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng),即由電源流向負(fù)載,如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量(理想導(dǎo)體情況)25第25頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
(2)當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí),導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)內(nèi)根據(jù)邊界條件,在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù),即因此,在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量(非理想導(dǎo)體情況)26第26頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月式中是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見,進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見,內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量,也有徑向分量,如圖所示。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為
以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?,?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí),進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收,成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量(非理想導(dǎo)體情況)27第27頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.4惟一性定理
在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi),如果給定t=0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值,并且在t
0時(shí),給定邊界面S上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量,那么,在t>0時(shí),區(qū)域V內(nèi)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。
惟一性定理的表述
在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問題時(shí),常常需要在給定的初始條件和邊界條件下,求解麥克斯韋方程。那么,在什么定解條件下,有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢?這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。
惟一性問題28第28頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
惟一性定理的證明
利用反證法對(duì)惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的,那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程,且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零;在邊界面S上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為零,且和滿足麥克斯韋方程令29第29頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)坡印廷定理,應(yīng)有所以由于場(chǎng)的初始值為零,將上式兩邊對(duì)t積分,可得根據(jù)和的邊界條件,上式左端的被積函數(shù)為30第30頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的,要使得積分為零,必有(證畢)即
惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件,為電磁場(chǎng)問題的求解提供了理論依據(jù),具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。
31第31頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)
復(fù)矢量的麥克斯韋方程
時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示
復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率
時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)
亥姆霍茲方程
平均能流密度矢量32第32頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念
如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧(正弦或余弦)變化,則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng),稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。
研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義
在工程上,應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。
任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示33第33頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月※復(fù)數(shù)表示法可以使大多數(shù)正弦場(chǎng)問題得以簡(jiǎn)化,但有時(shí)仍需用實(shí)數(shù)形式(稱為瞬時(shí)表示法),所以經(jīng)常會(huì)遇到兩種表示法的互換
※另外,對(duì)于能量密度、能流密度等含有場(chǎng)量的平方關(guān)系的物理量(稱為二次式),只能用瞬時(shí)的形式來表示34第34頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來表示,使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問題的分析得以簡(jiǎn)化。
設(shè)是一個(gè)以角頻率隨時(shí)間t作正弦變化的場(chǎng)量,它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量,也可以是電荷或電流等變量,它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成其中時(shí)間因子空間相位因子
利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅
時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示35第35頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式,不代表真實(shí)的場(chǎng)。照此法,矢量場(chǎng)的各分量Ei(i表示x、y
或z)可表示成各分量合成以后,電場(chǎng)強(qiáng)度為
有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明復(fù)矢量
真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部,即瞬時(shí)表達(dá)式。
由于時(shí)間因子是默認(rèn)的,有時(shí)它不用寫出來,只用與坐標(biāo)有關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。36第36頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
復(fù)數(shù)表示法與瞬時(shí)表示法的變換瞬時(shí)表示法
復(fù)數(shù)表示法
不含時(shí)間因子的復(fù)數(shù)表示法
恢復(fù)時(shí)間因子取實(shí)部得到瞬時(shí)表示法,即瞬時(shí)場(chǎng)第37頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
例4.5.1
將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式(2)解:(1)由于(1)所以38第38頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月(2)因?yàn)楣仕?9第39頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
例4.5.2
已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量40第40頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月以電場(chǎng)旋度方程為例,代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量,可得
將、與交換次序,得上式對(duì)任意t
均成立。令t=0,得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt=π/2,得即41第41頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月從形式上講,只要把微分算子用代替,就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程
—略去“.”和下標(biāo)m42第42頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月對(duì)復(fù)數(shù)形式麥?zhǔn)戏匠痰恼f明
方程中的各量都不包含時(shí)間因子,各量均與時(shí)間無關(guān)
因?yàn)?,所以時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)作用于復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量時(shí),相當(dāng)于在場(chǎng)量前乘上j,如第43頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
例4.5.5:已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為式中
解:(1)因?yàn)楣孰妶?chǎng)的復(fù)矢量為試求:(1)電場(chǎng)的復(fù)矢量;(2)磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。44第44頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月(2)由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程,得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值45第45頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗:
導(dǎo)電媒質(zhì)——當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí),存在歐姆損耗。
電介質(zhì)——受到極化時(shí),存在電極化損耗。
磁介質(zhì)——受到磁化時(shí),存在磁化損耗。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時(shí)可以忽略,但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率
導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中c=
-j、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。
對(duì)于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì),有46第46頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月
電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)
同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)
磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率
對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì),有,稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù),表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下,實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。
對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì),復(fù)介電常數(shù)為
對(duì)于磁性介質(zhì),復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為,其虛部為大于零的數(shù),表示磁介質(zhì)的磁化損耗。47第47頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4亥姆霍茲方程
在時(shí)諧時(shí)情況下,將、,即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程,稱為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)矢量復(fù)矢量48第48頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.5.5時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)
在時(shí)諧情況下,矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量復(fù)矢量49第49頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月4.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量
二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示,其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式,不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為
電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方關(guān)系,這種關(guān)系式稱為二次式。
時(shí)諧場(chǎng)中二次式的表示方法50第50頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月則能流密度為如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示,即有先取實(shí)部,再代入51第51頁,課件共55頁,創(chuàng)作于2023年2月使用二次式時(shí)需要注意的問題
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