第二節(jié)二重積分的計算

第二節(jié)二重積分的計算第1頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題的提出１．曲頂柱體的體積曲頂柱體：第2頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積第3頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月演示文稿1.ppt播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．第4頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積第5頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月2。直角坐標(biāo)系下的積分微元我們利用直角坐標(biāo)網(wǎng)分割D讓分割充分細(xì)，取D的被坐標(biāo)網(wǎng)割出的一個典型子區(qū)域Δσ，設(shè)它是如圖的矩形，其面積為第6頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

先將二重積分化為二次積分，然后先后計算兩次定積分求得二重積分的值.第7頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月如果積分區(qū)域D

可表示為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分

1、x－型區(qū)域則D

稱為

x－型區(qū)域

.x－型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.第8頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的曲頂柱體體積的計算第9頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月如果積分區(qū)域D

可表示為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).2、y－型區(qū)域則D

稱為

y－型區(qū)域

.y－型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.第10頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算第11頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解

將

D看作x—

型區(qū)域,則D={(x,y)|

0

yx

，0

x1},第12頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解

將

D看作y—

型區(qū)域,則D={(x,y)|y

x

1，0

y1},第13頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月如果積分區(qū)域D

可表示為x－型區(qū)域又可表示為y－型區(qū)域，且f(x,y)在D

上連續(xù)，則有：為計算方便,可選擇積分次序,采用哪一種次序積分通常取決于被積函數(shù)的結(jié)構(gòu).

必要時還可以交換積分次序.

第14頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解

將

D看作y—

型區(qū)域

,則D={(x,y)|y

x

1，0

y1},第15頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月3、一般情形如果積分區(qū)域D

不是x－型區(qū)域也不是y－型區(qū)域，可用平行坐標(biāo)軸的直線段分割，把D

分割為若干個x－型或y－型區(qū)域，在每個小區(qū)域上計算二重積分，在各個小區(qū)域上的積分之和就是D

上的二重積分.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第17頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月計算二重積分的幾點說明：1)化二重積分為二次積分的關(guān)鍵是：確定二次積分的上、下限，而二次積分中的上、下限又是由區(qū)域D

的幾何形狀確定的，因此計算二重積分應(yīng)先畫出積分區(qū)域D的圖形.2)第一次積分的上、下限是函數(shù)或常數(shù)，而第二次積分中的上、下限一定是常數(shù)，且下限要小于上限.3)積分次序選擇的原則是兩次積分都能夠積出來，且區(qū)域的劃分要盡量地簡單.第18頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解將

D看作y—

型區(qū)域,則兩曲線的交點第19頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例4解

將

D看作x—

型區(qū)域,則第20頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解注意：正確選擇積分次序相當(dāng)重要

.

第21頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解積分區(qū)域如圖如何變換積分次序：將給定的二次積分化為二重積分，然后再將二重積分化為另一個次序的二次積分.如何變換積分次序：根據(jù)所給積分寫出D

的邊界曲線，再寫出另一個區(qū)域表示式，即可寫出另一個次序的二次積分.第22頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解積分區(qū)域如圖第23頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解原式第24頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解:

積分域由兩部分組成:視為y–型區(qū)域,則練習(xí)：交換下列積分順序第25頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第26頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.第27頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)二重積分的被積函數(shù)中含有絕對值函數(shù)、取大或取小函數(shù)(max或min)等特殊函數(shù)時，如何計算二重積分的值？

一般是將積分區(qū)域適當(dāng)分塊，使被積函數(shù)在各子塊上都表示為初等函數(shù)形式，然后分別計算.第28頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例10解先去掉絕對值符號，如圖第29頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：用直角坐標(biāo)計算二重積分[x－型][y－型]確定積分次序時要注意:1、考慮積分區(qū)域的特點，分塊越少越好

.2、考慮被積函數(shù)的特點，使第一次積分容易積出，并能為第二次積分的計算創(chuàng)造有利條件.第31頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月利用積分域和被積函數(shù)的對稱性計算二重積分第32頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月A第36頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分第38頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月一、重積分的換元積分法

定理1：設(shè)f（x，y）在有界閉區(qū)域D連續(xù)，在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)把D映射為uv平面的區(qū)域D`，其逆變換記成又設(shè)行列式則第39頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

f(x，y)在閉區(qū)域Dxy連續(xù)，則極坐標(biāo)變換它把變成，行列式故第40頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月三、利用極坐標(biāo)系計算二重積分第41頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分化為二次積分的公式（１）1、極點O在D的外部區(qū)域特征如圖第42頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域特征如圖第43頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖2、極點O在D的邊界上第44頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖3、極點O在D的內(nèi)部第45頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月思考:

下列各圖中域D

分別與x,y

軸相切于原點,

試問

的變化范圍是什么?(1)(2)第46頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月法二:積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱,第49頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解第50頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解第51頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解第52頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解第53頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)

,故本題無法用直角坐標(biāo)計算.第54頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解利用例7可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式第55頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月同理

第56頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月解第58頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）三、小結(jié)［y－型］［x－型］（在積分中注意使用對稱性）第60頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）第61頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月計算步驟及注意事項?

畫出積分域?

選擇坐標(biāo)系?

確定積分次序?

寫出積分限?

計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(可利用對稱性)第62頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月計算步驟及注意事項?

畫出積分域?

選擇坐標(biāo)系?

確定積分次序?

寫出積分限?

計算要簡便積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(可利用對稱性)第63頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二重積分的應(yīng)用１．曲頂柱體的體積為：2．求非均勻薄片的質(zhì)量第65頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月利用二重積分可以計算空間立體的體積.例1

求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為第66頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月則所求體積為第67頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月被圓柱面所截得的解:

設(shè)由對稱性可知例2

求球體(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.第68頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題1第69頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答第70頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁，課件共81頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題