2022-2023學(xué)年山東省聊城市東昌府區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在實(shí)數(shù)，，，，中，有理數(shù)有()

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

2.下列語(yǔ)句正確是()

A.無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)B.無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)

C.實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)D.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和還是無(wú)理數(shù)

3.實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是()

A.B.C.D.

4.最簡(jiǎn)二次根式與可以合并，則的值是()

A.B.C.D.

5.下列語(yǔ)句正確的有個(gè)()

的平方根是；一對(duì)相反數(shù)的立方根之和為；

平方根等于本身的數(shù)有和；與是同類二次根式．

A.B.C.D.

6.如圖，已知某廣場(chǎng)菱形花壇的周長(zhǎng)是米，，則花壇對(duì)角線的長(zhǎng)等于米．()

A.

B.

C.

D.

7.如圖：在中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，如果，那么的周長(zhǎng)是()

A.B.C.D.

8.若不等式組無(wú)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

9.若不等式組的解為，則下列各式正確的是()

A.B.C.D.

10.某種商品進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)元，由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤(rùn)率不低于，則至多可以打折．()

A.B.C.D.

11.如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若，，則的長(zhǎng)為()

A.

B.

C.

D.

12.如圖，矩形中，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別與、交于點(diǎn)、，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)、若，，則下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

，；

≌；

四邊形是菱形；

；：．

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

13.計(jì)算的結(jié)果是______．

14.關(guān)于的一元一次不等式組恰有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是______．

15.實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)______．

16.若方程組的解滿足，則取值范圍是______．

17.若，為實(shí)數(shù)，，則的平方根是______．

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共4.0分）

18.解不等式組并求出它的正整數(shù)解：．

四、解答題（本大題共7小題，共65.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

19.本小題分

計(jì)算：

．

．

．

．

20.本小題分

如圖，中，，分別是，的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：四邊形是菱形．

21.本小題分

已知．

求的值；

求的平方根．

22.本小題分

已知：如圖，，分別是與它的鄰補(bǔ)角的平分線，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，分別交邊，于點(diǎn)和．

求證：

四邊形是矩形；

．

23.本小題分

解不等式組，并求出它的整數(shù)解，再化簡(jiǎn)代數(shù)式，從上述整數(shù)解中選擇一個(gè)合適的數(shù)，求此代數(shù)式的值．

24.本小題分

疫情防控期間，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買甲、乙兩種洗手液，已知購(gòu)買瓶甲種洗手液和瓶乙種洗手液共需元；購(gòu)買瓶甲種洗手液和瓶乙種洗手液共需元．

求甲、乙兩種洗手液每瓶各需多少元？

如果學(xué)校要購(gòu)買甲、乙兩種洗手液共瓶，且總費(fèi)用不超過(guò)元，求至少要購(gòu)買甲種洗手液多少瓶？

25.本小題分

如圖，在正方形中，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，交于．

證明：；

求的度數(shù)；

如圖，把正方形改為菱形，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，連接，試探究線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在實(shí)數(shù)，，，，中，有理數(shù)有，，，共有個(gè)，

故選：．

根據(jù)有理數(shù)的意義，即可解答．

本題考查了實(shí)數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

B.無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，此選項(xiàng)說(shuō)法正確；

C.實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和零，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

D.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和也可能是有理數(shù)，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

故選：．

根據(jù)實(shí)數(shù)的意義逐一判斷可得答案．

本題考查了實(shí)數(shù)，利用實(shí)數(shù)的意義是解題關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：由數(shù)軸可得：，，，

，，，，

故選：．

先根據(jù)數(shù)軸判定，，的范圍，再進(jìn)行判定即可．

本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸判定，，的范圍．

4.【答案】

【解析】解：由題意得：，

解得：，

故選：．

利用最簡(jiǎn)二次根式定義求出的值即可．

此題考查了同類二次根式，以及最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：，的平方根是，正確；

一對(duì)相反數(shù)的立方根之和為，正確；

平方根等于本身的數(shù)是，錯(cuò)誤；

與是同類二次根式，正確．

故選：．

根據(jù)同類二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念對(duì)各個(gè)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可．

本題考查的是同類二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式、一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：四邊形是菱形，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，，

，于點(diǎn)，，，

，，

是等邊三角形，

菱形的周長(zhǎng)是米，

米，

米，

米，

米，

米，

花壇對(duì)角線的長(zhǎng)等于米，

故選：．

由四邊形是菱形，，得于點(diǎn)，，，則，，所以是等邊三角形，因?yàn)榱庑蔚闹荛L(zhǎng)是米，所以米，則米，米，由勾股定理求得米，則米，于是得到問(wèn)題的答案．

此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：，分別是，的中點(diǎn)，

，，

，

，

，

，

，

的周長(zhǎng)，

故選：．

根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)線直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)質(zhì)、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：，

由得，，

由得，，

不等式組無(wú)解，

，

解得：．

故選：．

分別求出各不等式的解集，再與已知不等式組無(wú)解相比較即可得出的取值范圍．

本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：不等式組的解為，

，

故選：．

根據(jù)不等式組的解集同大取較大，可得答案．

本題考查了不等式的解集，解答此題要根據(jù)不等式組解集的求法解答．求不等式組的解集，應(yīng)注意：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

10.【答案】

【解析】解：設(shè)至多打折，

由題意得，，

解得：．

答：至多打折．

故選：．

設(shè)至多打折，用標(biāo)價(jià)折扣進(jìn)價(jià)得出利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)率不低于，列不等式求解．

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出打折之后的利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)率不低于，列不等式求解．

11.【答案】

【解析】解：四邊形為矩形，

，，

矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上的處，

，，

在中，，

，

設(shè)，則，

在中，，

，

解得，

，

故選：．

先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，在中，利用勾股定理計(jì)算出，則，設(shè)，則，然后在中根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到的長(zhǎng)．

本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時(shí)，常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．

12.【答案】

【解析】解：連接，

四邊形是矩形，

，、互相平分，

為中點(diǎn)，

也過(guò)點(diǎn)，

，

，，

是等邊三角形，

，，

在與中

，

≌，

與關(guān)于直線對(duì)稱，

，；

正確，

，

，

≌，

，

，

，

，

，

≌，

，

，

四邊形是菱形，

正確，

≌≌，

≌B錯(cuò)誤．

錯(cuò)誤，

≌，

，

，

：：，

，

，，

，

：：，

故錯(cuò)誤；

故選：．

根據(jù)已知得出≌，可求得與關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而求得，；

因?yàn)椤铡?，故不?huì)全等于．

先證得，再證得，進(jìn)而證得，因?yàn)?、互相平分，即可證得四邊形是菱形；

可通過(guò)面積轉(zhuǎn)化進(jìn)行解答．

本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)等的知識(shí)．

13.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案為：．

直接化簡(jiǎn)二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．

此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：不等式組，

解得：，

不等式組恰有一個(gè)整數(shù)解，即，

．

故答案為：．

表示出不等式組的解集，由不等式組恰有一個(gè)整數(shù)解，確定出的范圍即可．

此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：，，，

，

，

．

故本題答案為：．

由數(shù)軸可知，，，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡(jiǎn)計(jì)算．

本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸判斷被開(kāi)方數(shù)中底數(shù)的符號(hào)．

16.【答案】

【解析】解：，

，得

，

，

，

，

解得，，

故答案為：．

根據(jù)題目中的方程組的特點(diǎn)，可以得到的值，然后根據(jù)，即可求得的取值范圍．

本題考查解一元一次不等式組、二元一次方程組的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出的取值范圍．

17.【答案】

【解析】解：與同時(shí)成立，

故只有，即，

又，

，，

，

故的平方根是．

故答案：．

要求的平方根，一要先求出，的值，要求、的值就要根據(jù)：與同時(shí)成立，根號(hào)里的數(shù)一定是依此來(lái)求、的值．

根據(jù)與同時(shí)成立，得到的值是解答本題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：解得：，

解得：，

則不等式組的解集是：．

則正整數(shù)解是：，

【解析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．

本題考查的是一元一次不等式組的解，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來(lái)判斷．還可以觀察不等式的解，若較小的數(shù)、較大的數(shù)，那么解集為介于兩數(shù)之間．

19.【答案】解：原式

；

原式

；

原式

；

原式

．

【解析】先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值和乘方，再計(jì)算加減即可；

根據(jù)立方根、算術(shù)平方根和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；

根據(jù)立方根、算術(shù)平方根和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；

根據(jù)立方根、算術(shù)平方根和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．

本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．

20.【答案】證明：、分別是、的中點(diǎn)，

，，

，

，

四邊形是平行四邊形，

，

，

四邊形是菱形．

【解析】先證四邊形是平行四邊形．再證，即可得出結(jié)論．

此題主要考查菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：根據(jù)題意得：，

解得：；

，

解得：．

則，

則平方根是：．

【解析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即可求得的值；

根據(jù)的結(jié)果即可求得的值，然后利用平方根的定義求解．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

22.【答案】

證明：，分別是與它的鄰補(bǔ)角的平分線，

，．

，

．

，為垂足，，為垂足，

，

四邊形為矩形；

四邊形為矩形，

，

，

，

，

∽，

是的中點(diǎn)，

為的中位線，

．

【解析】由、是角平分線可得是，進(jìn)而由條件中的兩個(gè)垂直可得兩個(gè)直角，可得四邊形是矩形；

由矩形的性質(zhì)可得進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)可得，可得，進(jìn)而可得∽，那么．

綜合考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：有個(gè)角是直角的四邊形是矩形；矩形的對(duì)角線平分且相等；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．

23.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

則不等式組的解集為，

所以不等式組的整數(shù)解為、、，

原式

，

且，

，

則原式．

【解析】此題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及不等式組的解法，正確進(jìn)行分式的混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．

先解不等式組求得的整數(shù)解，再根據(jù)分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，最后選取使分式有意義的的值代入計(jì)算可得．

24.【答案】解：設(shè)甲種洗手液每瓶元，乙種洗手液每瓶元，

依題意，得：，

解得：，

答：甲種洗手液每瓶元，乙種洗手液每瓶元；

設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種洗手液瓶，則購(gòu)進(jìn)乙種洗手液瓶，

依題意，得：，

解得：，

為整數(shù)，

至少為，

答：至少購(gòu)買甲種洗衣液瓶．

【解析】設(shè)甲種洗手液每瓶元，乙種洗手液每瓶元，由題意：購(gòu)買瓶甲種洗手液和瓶乙種洗手液共需元；購(gòu)買瓶甲種洗手液和瓶乙種洗手液共需元．列出方程組，解方程組即可；

設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種洗手液瓶，則購(gòu)進(jìn)乙種洗手液瓶，由題意：總費(fèi)用不超過(guò)元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次