漫談幾何直觀課件

走進(jìn)“后課標(biāo)時(shí)代”

“課標(biāo)時(shí)代”2005年6月，教育部成立《標(biāo)準(zhǔn)》修訂組，由14人組成。2007年10月完稿，2011年2月審定。數(shù)學(xué)教授6人：史寧中（東北師大）王尚志（首都師大）張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）柳彬（北大）李文林（中科院）數(shù)學(xué)教育教授5人：黃翔（重慶師大）馬云鵬（東北師大）馬復(fù)（南師大）劉曉枚（首都師大）張丹（北京教育學(xué)院）數(shù)學(xué)教研員1人：楊裕前（常州教研室）數(shù)學(xué)教師2人：張思明（北大附中）儲(chǔ)瑞年（北師大附中）義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）

九大變化變化一：基本理念“三句”變“兩句”，“6條”改“5條”

人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育

數(shù)學(xué)課程——數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)——數(shù)學(xué)教學(xué)——評價(jià)——信息技術(shù)

數(shù)學(xué)課程——課程內(nèi)容———教學(xué)活動(dòng)———

學(xué)習(xí)評價(jià)——信息技術(shù)

有更深的意義和更廣的內(nèi)涵，落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)教育而不是數(shù)學(xué)內(nèi)容，有更強(qiáng)的時(shí)代精神和要求。

（前移）（新增）（合并）不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展要處理好四個(gè)關(guān)系

過程和結(jié)果的關(guān)系；學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系；合情推理和演繹推理的關(guān)系；生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系

有效的教學(xué)活動(dòng)是什么數(shù)學(xué)課程基本理念（兩句話）數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)要求培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣注重啟發(fā)式正確看待教師的主導(dǎo)作用處理好評價(jià)中的關(guān)系注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合

變化二：理念中新增加的提法

變化三：關(guān)于數(shù)學(xué)觀

。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。

樹立正確的數(shù)學(xué)教學(xué)觀：教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

教學(xué)中最需要考慮的是什么？數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。關(guān)于教學(xué)觀

合情推理和演繹推理的關(guān)系；對四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的名稱作適當(dāng)調(diào)整；對課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求的設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞的同義詞；數(shù)學(xué)教研員1人：楊裕前（常州教研室）張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）直觀性是一種發(fā)展觀察力和發(fā)展思維的力量，它能給認(rèn)識帶來一種情緒色彩。小學(xué)幾何教學(xué)更多地關(guān)注的是實(shí)驗(yàn)幾何、經(jīng)驗(yàn)幾何和直觀幾何，讓學(xué)生感受幾何直觀的作用，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。二、什么是“幾何直觀”？生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系小學(xué)幾何教學(xué)更多地關(guān)注的是實(shí)驗(yàn)幾何、經(jīng)驗(yàn)幾何和直觀幾何，讓學(xué)生感受幾何直觀的作用，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。直觀性是一種發(fā)展觀察力和發(fā)展思維的力量，它能給認(rèn)識帶來一種情緒色彩。要處理好四個(gè)關(guān)系過程和結(jié)果的關(guān)系；要處理好四個(gè)關(guān)系過程和結(jié)果的關(guān)系；張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）物體的直觀形象本身，也可能把學(xué)生的注意力吸引住一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間，但是運(yùn)用直觀的手段絕不是為了整節(jié)課地抓住學(xué)生的注意不放。史寧中（東北師大）王尚志（首都師大）最上位的是：演繹思想歸納思想【徐利治】直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系有更深的意義和更廣的內(nèi)涵，落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)教育而不是數(shù)學(xué)內(nèi)容，有更強(qiáng)的時(shí)代精神和要求。

變化四：“雙基”變“四基”

基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

常用的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：對應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、統(tǒng)計(jì)思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、化歸思維方法、變中抓不變的思想方法、數(shù)學(xué)模型思想方法、整體思想方法等等。

（掌握）（訓(xùn)練）（領(lǐng)悟）（積累）

最重要的是：數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)模型

最上位的是：演繹思想歸納思想奠基的初步的關(guān)鍵、核心的樸素的、直接的學(xué)段劃分保持不變；對課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求的設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞的同義詞；對四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的名稱作適當(dāng)調(diào)整；對學(xué)習(xí)內(nèi)容中的若干關(guān)鍵詞作適當(dāng)調(diào)整對其意義作更明確的闡釋。

變化五：設(shè)計(jì)思路

變化六：四個(gè)領(lǐng)域名稱

數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合應(yīng)用

數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐

變化七：關(guān)于課程目標(biāo)

總目標(biāo)中突出了“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”的改革方向和目標(biāo)價(jià)值取向。

課程目標(biāo)提法上除了“四基”外，還有“四個(gè)能力”：培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力

變化八：關(guān)于內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)

增加常見的數(shù)量關(guān)系圖形平移、畫對稱圖形、平均數(shù)等上移第二學(xué)段中位數(shù)、眾數(shù)、可能性大小上移第三學(xué)段加強(qiáng)體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

變化九：主要的關(guān)鍵詞

數(shù)感符號感空間觀念統(tǒng)計(jì)觀念應(yīng)用意識推理能力數(shù)感符號意識（調(diào)整）空間觀念幾何直觀（新增）數(shù)據(jù)分析觀念（調(diào)整）運(yùn)算能力（新增）應(yīng)用意識推理能力模型思想（新增）創(chuàng)新意識（新增）

一、什么是“直觀”？

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力？二、什么是“幾何直觀”？【直觀】用感官直接接受的；直接觀察的；～教具∣～教學(xué)。

——《現(xiàn)代漢語詞典》2002年增補(bǔ)本，商務(wù)印書館【克萊因】數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握?！拘睦韺W(xué)家】直觀是從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的能力

【徐利治】直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知?！局庇^】一種能透過現(xiàn)象（或通過形象）看到本質(zhì)、一眼看出不同事物之間關(guān)聯(lián)的洞察能力。

【幾何學(xué)】研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、

大小和位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。

——《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》2003年【徐利治】幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。【弗萊登塔爾】幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。

課程設(shè)計(jì)已經(jīng)走向多流派、多元化。而強(qiáng)調(diào)知識之間有機(jī)地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的主流之一。我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。從函數(shù)的圖象教學(xué)、三角函數(shù)的單位圓、到導(dǎo)數(shù)的圖象判斷；從不等式的直觀解釋到線性規(guī)劃的區(qū)域刻畫，此外，還有數(shù)系擴(kuò)充中復(fù)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)中的直觀圖以及向量的使用等等。幾何課程設(shè)計(jì)更離不開幾何直觀?？梢?，幾何直觀是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的有效工具。因此，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，同時(shí)也學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的一種思考方式和學(xué)習(xí)方式。幾何直觀能力主要包括：空間想像能力直觀洞察能力用“圖形語言”來思考問題能力

小學(xué)幾何教學(xué)更多地關(guān)注的是實(shí)驗(yàn)幾何、經(jīng)驗(yàn)幾何和直觀幾何，讓學(xué)生感受幾何直觀的作用，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

通過學(xué)生的拼一拼、折一折、量一量等操作之后，更多的是要求學(xué)生相信自己的眼睛，經(jīng)過不完全歸納之后，就可以得出一些正確的結(jié)論。

（“數(shù)”“形”結(jié)合思想）低高空間想像能力識圖畫圖制作模型觀察物體

……

直觀洞察能力三點(diǎn)半,時(shí)針和分針的夾角是多少度?兩邊之和大于第三邊用“圖形語言”來思考問題能力

兩個(gè)長方形完全相同。第一個(gè)長方形的長減少3分米,寬不變；第二個(gè)長方形的寬減少3分米,長不變。變化后兩個(gè)長方形的面積怎樣?直觀地抽象生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系用“圖形語言”來思考問題能力三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力？“課標(biāo)時(shí)代”對四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的名稱作適當(dāng)調(diào)整；變化九：主要的關(guān)鍵詞柳彬（北大）李文林（中科院）“課標(biāo)時(shí)代”有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)對學(xué)習(xí)內(nèi)容中的若干關(guān)鍵詞作適當(dāng)調(diào)整對其意義作更明確的闡釋。培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）對四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的名稱作適當(dāng)調(diào)整；識圖畫圖制作模型觀察物體……數(shù)學(xué)課程基本理念（兩句話）用“圖形語言”來思考問題能力合情推理和演繹推理的關(guān)系；【弗萊登塔爾】幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。合情推理和演繹推理的關(guān)系；科學(xué)性與嚴(yán)密性的問題。教材的視角教學(xué)的視角1米01米00.1米1米00.9米～教具∣～教學(xué)。識圖畫圖制作模型觀察物體……三點(diǎn)半,時(shí)針和分針的夾角是多少度?生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系2005年6月，教育部成立《標(biāo)準(zhǔn)》修訂組，由14人組成。人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》一書《談?wù)勚庇^性問題》要處理好四個(gè)關(guān)系過程和結(jié)果的關(guān)系；總目標(biāo)中突出了“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”的改革方向和目標(biāo)價(jià)值取向?？偰繕?biāo)中突出了“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”的改革方向和目標(biāo)價(jià)值取向。數(shù)學(xué)教師2人：張思明（北大附中）儲(chǔ)瑞年（北師大附中）過去的8年可以看成一個(gè)以“課標(biāo)”為中心的時(shí)代。變化后兩個(gè)長方形的面積怎樣?史寧中（東北師大）王尚志（首都師大）識圖畫圖制作模型觀察物體……人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)史寧中（東北師大）王尚志（首都師大）圖形平移、畫對稱圖形、平均數(shù)等上移第二學(xué)段變化二：理念中新增加的提法【克萊因】數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握。數(shù)學(xué)教研員1人：楊裕前（常州教研室）常用的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：對應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、統(tǒng)計(jì)思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、化歸思維方法、變中抓不變的思想方法、數(shù)學(xué)模型思想方法、整體思想方法等等。識圖畫圖制作模型觀察物體……人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育對課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求的設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞的同義詞；張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）有更深的意義和更廣的內(nèi)涵，落腳點(diǎn)是數(shù)學(xué)教育而不是數(shù)學(xué)內(nèi)容，有更強(qiáng)的時(shí)代精神和要求。變化九：主要的關(guān)鍵詞對課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求的設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞的同義詞；黃翔（重慶師大）馬云鵬（東北師大）我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。對學(xué)習(xí)內(nèi)容中的若干關(guān)鍵詞作適當(dāng)調(diào)整對其意義作更明確的闡釋。九大變化物體的直觀形象本身，也可能把學(xué)生的注意力吸引住一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間，但是運(yùn)用直觀的手段絕不是為了整節(jié)課地抓住學(xué)生的注意不放。三點(diǎn)半,時(shí)針和分針的夾角是多少度?張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）數(shù)學(xué)課程基本理念（兩句話）二、什么是“幾何直觀”？對四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的名稱作適當(dāng)調(diào)整；與日夜盼望修訂后的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》早日發(fā)表并能真正做到盡善盡美相比，我們應(yīng)當(dāng)更加重視對過去8年課改實(shí)踐的認(rèn)真總結(jié)與深入反思，包括清楚地界定我國數(shù)學(xué)教育當(dāng)前所面臨的主要問題，以及如何能為未來的發(fā)展作好積極的準(zhǔn)備。1米01米01米01米01.3米01米02米0120123自然數(shù)整數(shù)0123自然數(shù)整數(shù)小數(shù)0.10.51.21.72.32.9北師大版三角形的

內(nèi)角和北師大版青島版人教版蘇教版浙教版1.結(jié)論已知，學(xué)生無學(xué)習(xí)興趣。

3.科學(xué)性與嚴(yán)密性的問題。

（直觀背后的數(shù)學(xué)理性）2.誤差的干擾。長方形內(nèi)角和是90°×4=360°

直角三角形的內(nèi)角和是360÷2=180°

每個(gè)三角形都可以分成兩個(gè)直角三角形

每個(gè)三角形的內(nèi)角和是360°-90°-90°

=180

°旋轉(zhuǎn)法（帕斯卡）要處理好四個(gè)關(guān)系過程和結(jié)果的關(guān)系；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)另外，我們還應(yīng)徹底改變那種“由上至下”的思維習(xí)慣與工作模式，并由傳統(tǒng)的“理論指導(dǎo)下的實(shí)踐”轉(zhuǎn)向“反思性實(shí)踐”，從而成為高度自覺的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐者。要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。變化二：理念中新增加的提法張英伯（北師大）顧沛（南開大學(xué)）生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系加強(qiáng)體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)對課程目標(biāo)動(dòng)詞及水平要求的設(shè)計(jì)基本保持不變，增加了目標(biāo)動(dòng)詞的同義詞；而強(qiáng)調(diào)知識之間有機(jī)地融合、依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的主流之一。合情推理和演繹推理的關(guān)系；對學(xué)習(xí)內(nèi)容中的若干關(guān)鍵詞作適當(dāng)調(diào)整對其意義作更明確的闡釋。合情推理和演繹推理的關(guān)系；合情推理和演繹推理的關(guān)系；烏申斯基說，兒童是“用形式、聲音、色彩和感覺”思維的。要處理好四個(gè)關(guān)系過程和結(jié)果的關(guān)系；我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的線索之一。數(shù)學(xué)教研員1人：楊裕前（常州教研室）馬復(fù)（南師大）劉曉枚（首都師大）人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育臺灣教材

直觀是前提

抽象是本質(zhì)

適度是關(guān)鍵蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》一書《談?wù)勚庇^性問題》

物體的直觀形象本身，也可能把學(xué)生的注意力吸引住一個(gè)相當(dāng)長的時(shí)間，但是運(yùn)用直觀的手段絕不是為了整節(jié)課地抓住學(xué)生的注意不放。在課堂上引進(jìn)直觀手段，倒是為了在教學(xué)的某一個(gè)階段上是兒童擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規(guī)律上去。

烏申斯基說，兒童是“用形式、聲音、色彩和感覺”思維的。直觀性是一種發(fā)展觀察力和發(fā)展思維的力量，它能給認(rèn)識帶來一種情緒色彩。如果不形成發(fā)達(dá)的、豐富的情緒記憶，就談不上童年時(shí)期的完滿的智力發(fā)展。

幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動(dòng)的、不斷增長的而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對幾何圖形本身的研究意義。相信對幾何直觀的研究能夠成為數(shù)學(xué)教育的核心問題。

——秦德生、孔凡哲

《關(guān)于幾何直觀的思考》，刊《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第10期

過去的8年可以看成一個(gè)以“課標(biāo)”為中心的時(shí)代。與日夜盼望修訂后的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》早日發(fā)表并能真正做到盡善盡美相比，我們應(yīng)當(dāng)更加重視對過去8年課改實(shí)踐的認(rèn)真總結(jié)與深入反思，包括清楚地界定我國數(shù)學(xué)教育當(dāng)前所面臨的主要問題，以及如何能為未來的發(fā)展作好積極的準(zhǔn)備。另外，我們還應(yīng)徹底改變那種“由上至下”的思維習(xí)慣與工作模式，并由傳統(tǒng)的“理論指導(dǎo)下的實(shí)踐”轉(zhuǎn)向“反思性實(shí)踐”，從而成為高度自覺的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐者。

——鄭毓信：《展望“后課標(biāo)時(shí)代”——寫在數(shù)學(xué)新課改實(shí)施8周年之際》2005年6月，教育部成立《標(biāo)準(zhǔn)》修訂組，由14人組成。2007年10月完稿，2011年2月審定。數(shù)學(xué)教授6