高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題36圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問題含解析

20/2019/20/問題36圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題一、考情分析圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一,也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容和熱點(diǎn),知識綜合性較強(qiáng),對學(xué)生邏輯思維能力計(jì)算能力等要求很高,這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．定值問題與定點(diǎn)問題是這類題目的典型代表,為了提高同學(xué)們解題效率,特別是高考備考效率,本文列舉了一些典型的定點(diǎn)和定值問題,以起到拋磚引乇的作用．二、經(jīng)驗(yàn)分享1.圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．三、知識拓展1.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)，F(xiàn)是該橢圓焦點(diǎn)，則；2.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是拋物線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則時(shí)直線AB斜率為定值，若，則直線AB過定點(diǎn)；四、題型分析(一)定點(diǎn)問題求解直線和曲線過定點(diǎn)問題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零,既然是過定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn),或者可以通過特例探求,再用一般化方法證明．【例1】已知直線的方程為,點(diǎn)是拋物線上到直線距離最小的點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),過點(diǎn)與軸平行的直線與拋物線交于點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）證明直線恒過定點(diǎn),并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).【分析】（Ⅰ）到直線距離最小的點(diǎn),可根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,取最小值時(shí)的點(diǎn)；也可根據(jù)幾何意義得為與直線平行且與拋物線相切的切點(diǎn)：如根據(jù)點(diǎn)到直線的距離得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值,（Ⅱ）解析幾何中定點(diǎn)問題的解決方法,為以算代證,即先求出直線AB方程,根據(jù)恒等關(guān)系求定點(diǎn).先設(shè)點(diǎn),求出直線AP方程,與直線方程聯(lián)立,解出點(diǎn)縱坐標(biāo)為.即得點(diǎn)的坐標(biāo)為,再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AB方程,最后根據(jù)方程對應(yīng)恒成立得定點(diǎn)【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,所以,點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,顯然.當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為；當(dāng)時(shí),直線的方程為,化簡得；綜上,直線的方程為.與直線的方程聯(lián)立,可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因?yàn)?軸,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.因此,點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng),即時(shí),直線的斜率.所以直線的方程為,整理得.當(dāng),時(shí),上式對任意恒成立,此時(shí),直線恒過定點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線的方程為,仍過定點(diǎn),故符合題意的直線恒過定點(diǎn).考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系【點(diǎn)評】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系,找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．【小試牛刀】【新疆烏魯木齊市2019屆高三一?！繖E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過的長軸，短軸端點(diǎn)的一條直線方程是.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，證明直線過定點(diǎn).【解析】（1）對于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，即，橢圓的方程為，（2）證明：設(shè)直線，（），設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，聯(lián)立直線與橢圓得，得，，解得，，，直線，令，得，直線過定點(diǎn)(二)定值問題解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,而始終是一個(gè)確定的值,求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值．【例2】如圖,點(diǎn),分別為橢圓的左右頂點(diǎn),為橢圓上非頂點(diǎn)的三點(diǎn),直線的斜率分別為,且,,.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）判斷的面積是否為定值？若為定值,求出該定值；若不為定值,請說明理由.【分析】（Ⅰ）設(shè),則,而,所以（Ⅱ）根據(jù)弦長公式求底邊的長,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求底邊上的高,因此設(shè)直線的方程為,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理得,根據(jù)斜率條件及韋達(dá)定理得,高為,代入面積公式化簡得【解析】（Ⅰ）橢圓.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為,,,,,,,,,,,.的面積為定值1.【點(diǎn)評】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．【小試牛刀】【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，則由題意知∴.即∴∴橢圓的方程為（2）設(shè)、、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為顯然直線存在的斜率，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程是將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得，∴，∵，∴將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得，∴圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題要善于從運(yùn)動中尋找不變的要素,可以先通過特例、極限位置等探求定值、定點(diǎn),然后利用推理證明的方法證明之．四、遷移運(yùn)用1．【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】直線與拋物線：交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率，滿足，則直線過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，則，又，，解得.將直線：代入，得，∴，∴.即直線：，所以過定點(diǎn)2.【湖南省瀏陽一中、醴陵一中聯(lián)考】雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I是的內(nèi)心，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為．由得，整理得．因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，，所以．故選D．3.【江西省南昌市2019月考】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為,且離心率為，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點(diǎn)分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別為、、，且、、均不為0.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線、、的斜率之和為1.則（）A．B．-3C．D．【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓：的右焦點(diǎn)為,且離心率為，且所以可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），因?yàn)锳、B在橢圓上，所以，兩式相減得，即同理可得所以因?yàn)橹本€、、的斜率之和為1所以所以選A4．【福建省2019屆適應(yīng)性練習(xí)（四)】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動圓過定點(diǎn),且被軸截得的弦長是8.（Ⅰ）求圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)是軌跡上的動點(diǎn)，直線的傾斜角之和為，求證：直線過定點(diǎn).【解析】(Ⅰ)設(shè)動圓半徑為由動圓被軸截得的弦長是8得消去得故圓心的軌跡的方程(Ⅱ)設(shè)直線，，聯(lián)立方程得，消去得，．則，．設(shè)直線的傾斜角分別是∵，同理，∴．，故直線過定點(diǎn)．5.【山東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬】已知橢圓的離心率為，且橢圓C過點(diǎn)．(I)求橢圓C的方程；(II)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)B，求證：的大小為定值．【解析】(Ⅰ)∵橢圓C過點(diǎn)，∴①∵離心率為∴②又∵③由①②③得，，.∴橢圓C的方程為C：.(Ⅱ)顯然直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m.由消y得由得.∴∴∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為又點(diǎn)B的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，，∴∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小為定值.6．【江西省贛州市十四縣（市）2018屆高三下學(xué)期期中】已知橢圓系方程：(，)，是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）為橢圓上任意一點(diǎn)，過且與橢圓相切的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值．【解析】（1）由題意得橢圓的方程為：，即．∵．∴，又為橢圓上一點(diǎn)，∴．，即，又，,∴橢圓的方程為．（2）解：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為,由消去y整理得，∵直線與橢圓相切，∴，整理得．設(shè)，則，且，∴點(diǎn)到直線的距離，同理由消去y整理得，設(shè)，則，，．②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知綜上可得的面積為定值．7．【四川省蓉城名校高中2018屆高三4月份聯(lián)考】已知橢圓：的長軸長為，，是其長軸頂點(diǎn)，是橢圓上異于，的動點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若動點(diǎn)在直線上，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn).請問：直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意知則，設(shè)，，，則，由，則，則，則，由此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則直線的方程為；則直線的方程為聯(lián)立得消去得：，則，即代入直線的方程得，故.聯(lián)立得消去得：，則，即代入直線的方程得，故.當(dāng)，即，則與軸交點(diǎn)為，當(dāng)，即時(shí)，下證直線過點(diǎn)，由，故直線過定點(diǎn).8．【江西省新余市2018屆高三二?！恳阎獟佄锞€過點(diǎn)，直線過點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接.（1）求拋物線線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【解析】(1)將點(diǎn)代入拋物線的方程得，.所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)直線的方程為，又設(shè)，，則.由得.則，，.所以.于是直線的方程為．所以.當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn).9．【湖北省荊州中學(xué)2018屆高三4月月考】已知動圓過定點(diǎn)，且在軸上截得弦的長為4.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)斜率為的直線交軌跡于兩點(diǎn)，的延長線交軌跡于兩點(diǎn).①若的面積為3，求的值.②記直線的斜率為，證明：為定值，并求出這個(gè)定值.【解析】（1）設(shè)圓心，過點(diǎn)作軸，垂足為，則.∴∴，化簡為：.當(dāng)時(shí)，也滿足上式.∴動圓圓心的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，，.①，解得.②設(shè)，則，.∵共線∴，即，解得：（舍）或.∴，同理，∴∴（定值）10.如圖,已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線上,AF⊥x軸,AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．(1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)的直線l：eq\f(x0x,a2)－y0y＝1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x＝eq\f(3,2)相交于點(diǎn)N.證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時(shí),eq\f(|MF|,|NF|)恒為定值,并求此定值．【解析】(1)設(shè)F(c,0),因?yàn)閎＝1,所以c＝eq\r(a2＋1),直線OB方程為y＝－eq\f(1,a)x,直線BF的方程為y＝eq\f(1,a)(x－c),解得B(eq\f(c,2),－eq\f(c,2a))．又直線OA的方程為y＝eq\f(1,a)x,則A(c,eq\f(c,a)),kAB＝eq\f(\f(c,a)－?－\f(c,2a)?,c－\f(c,2))＝eq\f(3,a).又因?yàn)锳B⊥OB,所以eq\f(3,a)·(－eq\f(1,a))＝－1,解得a2＝3,故雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)由(1)知a＝eq\r(3),則直線l的方程為eq\f(x0x,3)－y0y＝1(y0≠0),即y＝eq\f(x0x－3,3y0).因?yàn)橹本€AF的方程為x＝2,所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2,eq\f(2x0－3,3y0))；直線l與直線x＝eq\f(3,2)的交點(diǎn)為N(eq\f(3,2),eq\f(\f(3,2)x0－3,3y0))．則eq\f(|MF|2,|NF|2)＝eq\f(\f(?2x0－3?2,?3y0?2),\f(1,4)＋\f(?\f(3,2)x0－3?2,?3y0?2))＝eq\f(?2x0－3?2,\f(9y\o\al(2,0),4)＋\f(9,4)?x0－2?2)＝eq\f(4,3)·eq\f(?2x0－3?2,3y\o\al(2,0)＋3?x0－2?2).因?yàn)镻(x0,y0)是C上一點(diǎn),則eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1,代入上式得eq\f(|MF|2,|NF|2)＝eq\f(4,3)·eq\f(?2x0－3?2,x\o\al(2,0)－3＋3?x0－2?2)＝eq\f(4,3)·eq\f(?2x0－3?2,4x\o\al(2,0)－12x0＋9)＝eq\f(4,3),即所求定值為eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3