新人教A版必修一二次函數(shù)的圖像課件（25張）

一二三一、二次函數(shù)的定義1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫作二次函數(shù),其中a,b,c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).2.二次函數(shù)的定義域?yàn)镽.【做一做1】

若函數(shù)

是關(guān)于x的二次函數(shù),則t的值為(

)或或2答案:B一二三二、二次函數(shù)圖像的變換1.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像可由y=x2的圖像各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.2.二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a≠0),a決定了二次函數(shù)圖像的開口大小及方向;h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移,而且“h正左移,h負(fù)右移”;k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移,而且“k正上移,k負(fù)下移”.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),通過配方可以得到它的恒等變形y=a(x+h)2+k,然后由y=ax2的圖像左右平移、上下平移得到其圖像.【做一做2】

將函數(shù)y=x2的圖像先向右平移2個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度后,所得函數(shù)的解析式為(

)A.y=(x+2)2+1 B.y=(x-2)2+1C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1答案:C一二三二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律(1)函數(shù)y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶(a≠0)倍,橫坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=af(x)的圖像.(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x+a)的圖像;將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移a(a>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x-a)的圖像.簡稱為“左加(+)右減(-)”.(3)將函數(shù)y=f(x)的圖像向上平移b(b>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)+b的圖像;將函數(shù)y=f(x)的圖像向下平移b(b>0)個(gè)單位長度得到函數(shù)y=f(x)-b的圖像.簡稱為“上加(+)下減(-)”.一二三三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像的基本特征2.在研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像時(shí),我們通常通過配方,把它化成y=a(x+h)2+k的形式.由此解析式可以找出函數(shù)圖像的頂點(diǎn)(-h,k),對稱軸x=-h,采用簡化了的描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像.一二三答案:A一二三思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)二次函數(shù)y=3x2的圖像與y軸不相交.(

)(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口一定向上.(

)(3)二次函數(shù)y=ax2+c在y軸左側(cè)是減少的,在y軸右側(cè)是增加的.(

)(4)將函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的圖像向左平移a個(gè)單位長度即得到y(tǒng)=f(x)的圖像.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×探究一探究二探究三思想方法二次函數(shù)的圖像變換【例1】

函數(shù)y=3x2+6x-1的圖像是由函數(shù)y=x2的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的?分析:根據(jù)平移法則“左加右減,上加下減”.解:因?yàn)閥=3x2+6x-1=3(x+1)2-4,所以變換步驟如下:先將函數(shù)y=x2圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=3x2的圖像;再將y=3x2的圖像向左平移1個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=3(x+1)2的圖像;最后將函數(shù)y=3(x+1)2的圖像向下平移4個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=3(x+1)2-4的圖像,即y=3x2+6x-1的圖像.探究一探究二探究三思想方法1.所有二次函數(shù)的圖像均可以由函數(shù)y=x2的圖像經(jīng)過變換得到.變換前,先將二次函數(shù)的解析式化為f(x)=a(x+h)2+k的形式,再確定變換的步驟.2.對一個(gè)已知函數(shù)的圖像進(jìn)行變換后,可按照“左加右減”“上加下減”等規(guī)律寫出變換后圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法求二次函數(shù)的解析式【例2】

根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)y=f(x)的解析式.(1)圖像過點(diǎn)(1,-1),(3,3),(-2,8);(2)圖像頂點(diǎn)為(1,-2),并且過點(diǎn)(2,4);(3)圖像過點(diǎn)(-2,0),(4,0),且函數(shù)y=f(x)有最小值-18.分析:(1)圖像上三點(diǎn)坐標(biāo)已知,可用一般式;(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)已知,應(yīng)用頂點(diǎn)式;(3)圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)已知,應(yīng)用兩根式.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法求二次函數(shù)解析式的常用設(shè)法(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常將函數(shù)的解析式設(shè)為一般式,然后列出三元一次方程組并求解.(2)頂點(diǎn)式:y=a(x+h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常將函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式.(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常數(shù),a≠0).當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),通常將函數(shù)的解析式設(shè)為兩根式.探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練2若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像經(jīng)過(0,0),(2,0),最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為3,則該函數(shù)的解析式為(

)A.y=-3x2-6x B.y=-3x2+6xC.y=-6x2-3x D.y=-6x2+3x解析:由題意知圖像的對稱軸為直線x=1,且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),則設(shè)y=a(x-1)2+3,將(0,0)代入可得a=-3.化簡得y=-3x2+6x.答案:B探究一探究二探究三思想方法二次函數(shù)圖像的應(yīng)用【例3】畫出函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖像,并根據(jù)圖像回答下列問題:(1)比較f(0),f(1),f(3)的大小;(2)若x1<x2<1,比較f(x1)與f(x2)的大小;(3)求當(dāng)x分別為何值時(shí),y<0,y=0,y>0?分析:本題考查配方法和二次函數(shù)的圖像,解題的關(guān)鍵是配方,完成配方后再結(jié)合函數(shù)圖像研究提出的問題.探究一探究二探究三思想方法解:函數(shù)f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的圖像如圖所示.(1)由圖可知,二次函數(shù)f(x)圖像的對稱軸為x=1,開口向下,且|0-1|<|3-1|,故f(1)>f(0)>f(3).(2)∵x1<x2<1,∴|x1-1|>|x2-1|.又f(x)的圖像對稱軸為x=1,開口向下,∴f(x1)<f(x2).(3)由圖可知,當(dāng)x>3或x<-1時(shí),y<0;當(dāng)x=-1或x=3時(shí),y=0;當(dāng)-1<x<3時(shí),y>0.探究一探究二探究三思想方法1.通過二次函數(shù)的圖像,可以觀察到函數(shù)的對稱性、單調(diào)性以及圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等,據(jù)此可以求解一些函數(shù)值的大小比較、自變量的取值范圍等問題.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,二次函數(shù)圖像在x軸上方部分對應(yīng)的x取值范圍,即為不等式ax2+bx+c>0的解;同樣二次函數(shù)圖像在x軸下方部分對應(yīng)的x取值范圍,即為不等式ax2+bx+c<0的解.探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+5.(1)用配方法求出函數(shù)圖像的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),并作出圖像,指出其單調(diào)區(qū)間;(2)由圖像寫出y≥0時(shí)x的取值范圍.解:(1)f(x)=-x2+4x+5=-(x2-4x)+5=-(x-2)2+9,則該函數(shù)圖像的對稱軸為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),其圖像如圖所示.其單調(diào)增區(qū)間為(-∞,2],單調(diào)減區(qū)間為[2,+∞).(2)由圖像知當(dāng)y=0時(shí),x=-1或x=5;當(dāng)y>0時(shí),-1<x<5,故當(dāng)y≥0時(shí)x的取值范圍是[-1,5].探究一探究二探究三思想方法數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用【典例】

若方程x2-2x-3=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,將方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).探究一探究二探究三思想方法解:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,作出f(x)的圖像如圖所示.f(x)與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程x2-2x-3=a根的個(gè)數(shù).由圖可知①當(dāng)a<-4時(shí),f(x)與g(x)的圖像無交點(diǎn),即方程x2-2x-3=a無實(shí)根;②當(dāng)a=-4時(shí),f(x)與g(x)的圖像有一個(gè)公共點(diǎn),即方程x2-2x-3=a有一個(gè)實(shí)根;③當(dāng)a>-4時(shí),f(x)與g(x)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程x2-2x-3=a有兩個(gè)實(shí)根.綜上所述,當(dāng)方程x2-2x-3=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,+∞).探究一探究二探究三思想方法討論f(x)=g(x)根的情況,不妨適當(dāng)變形后令y=f(x)與y=g(x)兩個(gè)函數(shù),然后把方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)問題,體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練若直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是

.

123456解析:在二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,|a|越大,其圖像開口越小.答案:D1234562.二次函數(shù)y=x2+2x圖像的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(

)A.向上,(1,-1) B.向上