2021-2022學(xué)年湖南省邵陽市城東馬家中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省邵陽市城東馬家中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，集合，則下列關(guān)系中正確的是A． B． C． D．參考答案：B略2.若函數(shù)滿足，且時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

（

）

A．8

B．9

C．10

D．13參考答案：B略3.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，則最小值為 （

）A．

B.

C.

D.參考答案：A4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的是．

．

．

．參考答案：令得．5.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（a，b∈R)，則|z|=A.1 B.

C.2

D.3參考答案：A由題意得為純虛數(shù)，所以，故。所以。選A。

6.設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為(

)

A．

B．

C．

D．1參考答案：B略7.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A.27

B.3

C. 或3

D.1或27參考答案：A略8.若均為單位向量，且，，則的最大值為（A）

（B）1

（C）

（D）2參考答案：B本題考查了向量問題，考查了向量數(shù)量積的定義運(yùn)算，考查了最值問題.，難度中等。由得，，因此的最大值為1，選B.9.（5分）（2015?青島一模）函數(shù)y=4cosx﹣e|x|（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】：函數(shù)的圖象．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：先驗(yàn)證函數(shù)y=4cosx﹣e|x|是否具備奇偶性，排除一些選項(xiàng)，在取特殊值x=0時(shí)代入函數(shù)驗(yàn)證即可得到答案．解：∵函數(shù)y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函數(shù)y=4cosx﹣e|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A適合，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)圖象的選擇題，通常先驗(yàn)證奇偶性，排除一些選項(xiàng)，再代特殊值驗(yàn)證，屬于中檔題．10.若集合，集合，則下列各式中正確的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_____________.參考答案：28略12.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a3＝2，a10＝256，則數(shù)列{4n2an}的前n項(xiàng)和為．參考答案：Sn＝（n2﹣2n+3）?2n+1﹣6．解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，a3＝2，a10＝256，可得q7＝＝128，解得q＝2，則an＝a3qn﹣3＝2n﹣2，可得4n2an＝n22n，設(shè)數(shù)列{4n2an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝1?2+22?22+32?23+…+n22n，2Sn＝1?22+22?23+32?24+…+n22n+1，相減可得﹣Sn＝1?2+3?22+5?23+…+（2n﹣1）?2n﹣n22n+1，﹣2Sn＝1?22+3?23+5?24+…+（2n﹣1）?2n+1﹣n22n+2，相減可得Sn＝1?2+2（22+23+…+2n）+n22n+1﹣（2n﹣1）?2n+1＝2+2?+（n2﹣2n+1）?2n+1＝（n2﹣2n+3）?2n+1﹣6．故答案為：Sn＝（n2﹣2n+3）?2n+1﹣6．13.已知拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則等于____________

參考答案：2

略14.若函數(shù)=，則不等式的解集為

．參考答案：略15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2015項(xiàng)和為

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和．D4

【答案解析】解析：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，3a5=15，∴a5=5；又S5===15，∴a3=3；∴公差d==1，∴an=a3+（n﹣3）×d=3+（n﹣3）=n；∴==﹣，∴S2014=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】依題意可求得等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n，利用裂項(xiàng)法得==﹣，從而可得數(shù)列{}的前2014項(xiàng)和．16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值等于

。參考答案：略17.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于___________．參考答案：70三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知cosθ=，（Ⅰ）求sin2θ的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求sinθ的值，根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式即可求值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論及兩角和的余弦函數(shù)公式即可求值得解．（Ⅲ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求tanθ的值，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式即可求值．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）∵，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，結(jié)論1分）﹣﹣﹣﹣∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，結(jié)論1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∴=cosθcos﹣sin==．﹣﹣﹣﹣（公式，函數(shù)值，結(jié)論1分）﹣﹣（Ⅲ）∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式1分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（公式，結(jié)論1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式、余弦函數(shù)公式、正切函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19.記數(shù)列的前項(xiàng)和，且為常數(shù)，，且成公比不等于的等比數(shù)列．

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的值；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：解(1)由得：當(dāng)故而成公比不等于的等比數(shù)列，即且，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

∴

∴

略20.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，0）、B（2，0），平面內(nèi)任意一點(diǎn)P滿足：直線PA的斜率k1，直線PB的斜率k2，k1k2=﹣，點(diǎn)P的軌跡為曲線C1．雙曲線C2以曲線C1的上下兩頂點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)，Q是雙曲線C2上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線QM的斜率k3，直線QN的斜率k4．（1）求曲線C1的方程；（2）如果k1k2+k3k4≥0，求雙曲線C2的焦距的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到曲線C1的方程；（2）設(shè)雙曲線方程為，Q（x0，y0）在雙曲線上，再由直線的斜率公式，結(jié)合條件，得到b的范圍，即可得到雙曲線C2的焦距的取值范圍．解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則，∴曲線C1的方程為；（2）設(shè)雙曲線方程為，Q（x0，y0）在雙曲線上，所以，∵，∴，∴0＜b≤2，由雙曲線C2的焦距為2，故雙曲線C2的焦距的取值范圍∈（2，2]．點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，主要考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查直線的斜率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．21.已知.

(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程；(Ⅱ)若存在正實(shí)數(shù)x、y使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：⑴，

所求切線方程為：

⑵即，即

設(shè)，問題等價(jià)于存在，使成立，求的范圍；只須

設(shè)由，知在上單調(diào)遞增，故，即對(duì)，恒有，故對(duì)，有，故為所求.

略22.（13分）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為坐標(biāo)平面的動(dòng)點(diǎn)，滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方方程；（2）過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，過該點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在。試說明理由參考答案：解析：（1）因?yàn)闉闄E圓的上、下焦點(diǎn)，所以設(shè)。所以

因?yàn)?/p>

所以，整理可得所以所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為（2）（法一）設(shè)過點(diǎn)所作曲線的切線的斜率為，則切線方程為由

可得：，所以或過點(diǎn)所作曲線的切線方程為和由和可分別解得：和所以直線的方