微積分第三章導(dǎo)數(shù)與微分-課件

第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1

導(dǎo)數(shù)的概念§3.2

導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)運(yùn)算法則§3.3

鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§3.4

高階導(dǎo)數(shù)§3.5

微分§3.6

邊際與彈性1ppt課件§3.1導(dǎo)數(shù)的概念引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度一、引例2ppt課件（1）當(dāng)物體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)（2）當(dāng)物體作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)3ppt課件引例2——平面曲線的切線斜率在點(diǎn)求曲線L：處切線的斜率.割線MN切線MT4ppt課件割線

MN的斜率為：

當(dāng)x0時(shí)動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M從而割線MN也將隨之變動(dòng)而趨向于切線MT

即割線

MN的極限位置就是曲線

L在點(diǎn)

M處的切線MT.當(dāng)時(shí),切線MT的斜率為：5ppt課件二、導(dǎo)數(shù)的定義6ppt課件7ppt課件8ppt課件9ppt課件注意10ppt課件11ppt課件三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義12ppt課件13ppt課件四、左、右導(dǎo)數(shù)14ppt課件15ppt課件例3.

討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性.解所以,函數(shù)在處不可導(dǎo).xyo思考16ppt課件五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系事實(shí)上,因在處可導(dǎo),即定理所以,函數(shù)在處連續(xù).17ppt課件問(wèn)題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？結(jié)論函數(shù)在其可導(dǎo)的點(diǎn)處一定連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)的點(diǎn)處不一定可導(dǎo)函數(shù)在其不連續(xù)的點(diǎn)處一定不可導(dǎo)18ppt課件注意（1）曲線處是尖點(diǎn)

在點(diǎn)（2）

曲線在點(diǎn)在點(diǎn)（3）曲線間斷

處有

垂直切線

處

19ppt課件P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.作業(yè)先看書再做練習(xí)20ppt課件

因?yàn)樘幒瘮?shù)無(wú)定義，所以該點(diǎn)處函數(shù)間斷

第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).

所以是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，作業(yè)講評(píng)P88.5(2)21ppt課件

P89.6.(5).解法1：

解法2：原式=22ppt課件解法3：而解法4：23ppt課件解法1：而

解法2：

P89.6.24ppt課件

25ppt課件六、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例4：

解26ppt課件27ppt課件練一練解答28ppt課件注意分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須用定義求例5：

設(shè)函數(shù)解因?yàn)?9ppt課件例6：

解30ppt課件31ppt課件方法一：例7：解32ppt課件33ppt課件方法二：34ppt課件35ppt課件例10:解:36ppt課件§3.2

求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則一、求導(dǎo)基本公式例1.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解37ppt課件例2.

求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解38ppt課件例3.

設(shè)求解特別地:39ppt課件例4.

設(shè)求解正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).類似得,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù).40ppt課件二、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則41ppt課件42ppt課件43ppt課件證畢.44ppt課件例5.

解45ppt課件解:例6

46ppt課件常用公式：例7.

解47ppt課件練一練解答48ppt課件P117:T5(6),(9);T6(2);T8.作業(yè)先看書再做練習(xí)49ppt課件三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則50ppt課件51ppt課件解:例8.

52ppt課件解例6.

53ppt課件四、導(dǎo)數(shù)的基本公式54ppt課件55ppt課件56ppt課件§3.3

鏈法則與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈法則）猜想57ppt課件58ppt課件59ppt課件60ppt課件解:例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)61ppt課件更簡(jiǎn)明的過(guò)程62ppt課件注意63ppt課件解例2更簡(jiǎn)明的過(guò)程64ppt課件解例3更簡(jiǎn)明的過(guò)程65ppt課件66ppt課件例4

解或67ppt課件復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.設(shè)則或68ppt課件例5求解69ppt課件更簡(jiǎn)明的過(guò)程70ppt課件這里求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是從外向里經(jīng)過(guò)

每個(gè)中間在熟悉了法則之后,運(yùn)算就不必寫出中間變量,變量的導(dǎo)數(shù)最后導(dǎo)到x上.因此對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)搞清楚復(fù)合層次后,只要從外層向里層逐層求導(dǎo)即可.71ppt課件例6求解72ppt課件易犯的錯(cuò)誤73ppt課件

例774ppt課件例8求解75ppt課件例9解76ppt課件例10解77ppt課件小結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)首先必須搞清函數(shù)是怎樣復(fù)合的.求導(dǎo)時(shí)由外到里逐層求導(dǎo).注意:一定要到底,不要遺漏,不要重復(fù).78ppt課件例11

例12

79ppt課件練一練80ppt課件解答81ppt課件P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).作業(yè)先看書再做練習(xí)82ppt課件83ppt課件形如，的函數(shù)稱為顯函數(shù).若與的函數(shù)關(guān)系由方程所確定,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).二、隱函數(shù)求導(dǎo)法又如，84ppt課件解例1285ppt課件解例13

86ppt課件解例1487ppt課件小結(jié)

方程兩邊對(duì)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法:視為的函數(shù)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,的方程,解出即可.得到關(guān)于注意:結(jié)果中既含也含.88ppt課件練一練解答解89ppt課件三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩類函數(shù)有簡(jiǎn)便求先給這些函數(shù)取對(duì)數(shù),然后再求導(dǎo)就可使求導(dǎo)運(yùn)算簡(jiǎn)便多了,這種先取對(duì)數(shù)然后再求導(dǎo)的方法就叫對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.90ppt課件解例15

91ppt課件例16

求的導(dǎo)數(shù).解解法1

兩邊取對(duì)數(shù),化為兩邊對(duì)x

求導(dǎo)92ppt課件解法2

將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)93ppt課件94ppt課件95ppt課件96ppt課件97ppt課件98ppt課件99ppt課件例21100ppt課件2).兩邊對(duì)求導(dǎo);3).兩邊同乘以得4).將結(jié)果表示為的顯函數(shù).小結(jié)

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

常用于多因子乘冪求導(dǎo)，或冪指函數(shù)求導(dǎo).對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的步驟:1).函數(shù)式兩邊取自然對(duì)數(shù);101ppt課件

四、分段函數(shù)求導(dǎo)法解:102ppt課件103ppt課件易犯的錯(cuò)誤104ppt課件105ppt課件練一練解答解106ppt課件

P128T4(4)；T5；

T6(1),(2).作業(yè)先看書再做練習(xí)107ppt課件§3.4高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)記作：或即類似地二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做的三階導(dǎo)數(shù)，記作：或108ppt課件三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，記作：或階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做

階導(dǎo)數(shù)，記作：或函數(shù)有階導(dǎo)數(shù)，也說(shuō)函數(shù)為階可導(dǎo).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù),109ppt課件

例1

y=(1+x2)arctanx求y

解

例2

證明

所以y3y1110ppt課件二、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例3

解

111ppt課件

解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)

上式兩邊同時(shí)再對(duì)x求導(dǎo)例4112ppt課件三、幾個(gè)初等函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)

解

類似地有113ppt課件114ppt課件115ppt課件

得到

116ppt課件117ppt課件118ppt課件由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到119ppt課件±四、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式函數(shù)和差的n階導(dǎo)數(shù)

(uv)(n)u(n)

v(n)函數(shù)積的n

階導(dǎo)數(shù)

這一公式稱為萊布尼茨（Leibniz)公式用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：120ppt課件上面這些導(dǎo)數(shù)外表和二項(xiàng)展開式很相似，如果設(shè)121ppt課件122ppt課件小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的求法(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式如,(4)利用萊布尼茲公式123ppt課件練一練124ppt課件解答125ppt課件126ppt課件

例

127ppt課件作業(yè)先看書再做練習(xí)

P133:T1(4),(8);T4(2),(3);T7.128ppt課件§3.5微分一、微分的概念

問(wèn)此薄片面積改變了多少?變到長(zhǎng)由引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為S,則當(dāng)x

在取得增量時(shí),面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小量時(shí)為故稱為面積函數(shù)在的微分129ppt課件定義:130ppt課件證(必要性)131ppt課件(充分性)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),即與無(wú)關(guān),所以函數(shù)在點(diǎn)處可微.且132ppt課件

函數(shù)yf(x)在任意點(diǎn)x的微分稱為函數(shù)的微分

記作dy

或df(x)即dyf

(x)Dx

例如

dcos

x(cos

x)Dx

sinx

Dx

dex(e

x)DxexDx

133ppt課件

因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí)

dy=dx=(x)Dx=Dx

所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分記作dx即

dx

Dx

因此函數(shù)yf(x)的微分又可記作于是有可微與可導(dǎo)的關(guān)系

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)

函數(shù)在點(diǎn)x0的微分為134ppt課件切線縱坐標(biāo)的增量微分的幾何意義135ppt課件增量與微分的關(guān)系由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí),有近似等式:例如求在解：136ppt課件二、基本微分公式與微分法則根據(jù)可得基本初等函數(shù)的微分公式：137ppt課件例1.

在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說(shuō)明:

上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.138ppt課件

微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變性5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)

由此可見(jiàn)無(wú)論u是自變量還是中間變量微分形式dy

f

(u)du

保持不變139ppt課件140ppt課件例4若方程xy=cosy-x2確定y=f（x）解一：兩邊對(duì)x求導(dǎo)解二：兩邊同時(shí)微分141ppt課件142ppt課件143ppt課件解：兩邊同時(shí)微分例8若方程（arcsinx）lny-e2x+tany

=0確定

y=f（x），求144ppt課件例9

設(shè)解：145ppt課件例10解：146ppt課件練一練

解答

解

147ppt課件三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由微分定義知,當(dāng)時(shí),因此,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:(1)即(2)(3)148ppt課件在(2)式中令當(dāng)很小時(shí),(4)149ppt課件150ppt課件

例13

計(jì)算sin3030的近似值

解

有sin(x0Dx)sinx0cos

x0Dxsin3030即sin303005076

151ppt課件152ppt課件

說(shuō)明：曲線在切點(diǎn)附近可用其切線來(lái)近似代替該曲線.且離切點(diǎn)越近近似程度越好.

153ppt課件近似公式表示曲線附近可用切線.在切點(diǎn)近似曲線，且離切點(diǎn)越近近似程度越好.154ppt課件練一練解答155ppt課件類似可證,當(dāng)很小時(shí),有近似公式:156ppt課件

如

解157ppt課件作業(yè)先看書再做練習(xí)

P142:T6(4),(6),(9);T7(2).158ppt課件例11解159ppt課件習(xí)題講評(píng)P134,4（2）解方法1160ppt課件方法2161ppt課件§3.6邊際與彈性一、邊際的概念162ppt課件163ppt課件16