1-9 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)與思考判斷題

第一章

7/19/20231定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1.在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)7/19/20232定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:

設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即7/19/20233例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù)

.復(fù)合而成,7/19/20234例1.設(shè)均在上連續(xù),證明函數(shù)也在上連續(xù).證:根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則,可知也在上連續(xù).7/19/20235二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o連續(xù)點(diǎn)而連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)7/19/20236初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注1.

注2.初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例2.解7/19/20237例3.求解:原式例4.求解:令則原式說明:

當(dāng)時(shí),有7/19/20238例5.求解:原式說明:若則有7/19/20239例6.

設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.故此時(shí)連續(xù);而故x=1為第一類間斷點(diǎn).在點(diǎn)

x=1

不連續(xù)

,7/19/202310三、內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明:分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.7/19/202311思考與練習(xí)續(xù)?

反例

x

為有理數(shù)

x

為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù)

.反之是否成立?

作業(yè)P683(5),(6),(7);