第二十七章 相似全章綜合測試題 人教版數(shù)學(xué)九年級下冊（含解析）

第第頁第二十七章相似全章綜合測試題人教版數(shù)學(xué)九年級下冊（含解析）《第二十七章相似》全章綜合測試題

一、選擇題

1.[2022安徽合肥包河區(qū)期中]勾股定理與黃金分割是幾何中的雙寶,前者好比黃金,后者堪稱珠玉,生活中到處可見黃金分割的美.如圖,在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí),使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感.若圖中b為2m,則a約為()

A.1.23mB.1.24mC.1.25mD.1.26m

2.[2022上海徐匯區(qū)一模]如圖,AB∥CD∥FF,AC=2,AE=5,BD=,那么下列結(jié)論正確的是()

A.DF=B.EF=C.CD=D.BF=

3.如圖,已知△ABC的六個(gè)元素,其中a,b,c表示三角形三邊的長,則下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中與△ABC不一定相似的圖形是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.如圖,為了確定一條河的寬度,測量人員先觀察到在對岸岸邊P點(diǎn)處有一根柱子,再在他們所在的這一側(cè)岸上選點(diǎn)A和點(diǎn)B,使得B,A,P在同一條與河岸垂直的直線上,隨后確定點(diǎn)C和點(diǎn)D,使AC⊥BP,BD⊥BP,點(diǎn)C為AC與DP的交點(diǎn).他們測得AB=20m,AC=40m,BD=50m,從而確定河寬PA為()

A.60mB.70mC.80mD.90m

5.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E,F分別在對角線AC,BD上,且EF∥AD.若AE=2EC,AD=3,BC=6,則線段EF的長為()

A.2B.C.3D.

6.[2022浙江臺州模擬]如圖,在△ABC中,E是邊AC上一點(diǎn),AE∶CE=1∶2,過點(diǎn)C作CD∥AB交BE的延長線于點(diǎn)D.若S△ABE=4,則S△BCD=()

A.8B.16C.24D.32

7.[2022河北石家莊二十八中教育集團(tuán)期中]在網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如圖,△ABC是格點(diǎn)三角形,在圖中的6×6正方形網(wǎng)格中作出格點(diǎn)三角形ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC,這樣的格點(diǎn)三角形一共有()

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

8.如圖,O為矩形ABCD的中心,將Rt△OPQ的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合,一條直角邊OP與OA重合,使三角板沿逆時(shí)針方向繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),兩條直角邊始終與邊BC,AB相交,交點(diǎn)分別為M,N.若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,則y與x之間的函數(shù)圖象是()

二、填空題

9.[2022河北邯鄲期末]如圖,△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形,相似比為1∶2,∠OCD=90°,CO=CD.若點(diǎn)B(1,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

10.[2022河北衡水模擬]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(8,0)和點(diǎn)B(0,6),點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在折線AOB上,直線CP截△AOB所得的三角形與△AOB相似,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

11.如圖,在正方形ABCD中,BC=2,點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),連接DM,DM與AC交于點(diǎn)P,點(diǎn)E在DC上,點(diǎn)F在DP上,若∠DFE=45°,PF=,則DP的長為,CE的長為.

三、解答題

12.[2022河北石家莊期中]如圖,△ABC與△A1B1C1是位似圖形.

(1)在網(wǎng)格(小方格的邊長為1個(gè)單位長度)上建立平面直角坐標(biāo)系,使得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,-1),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為;

(2)以點(diǎn)A為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△AB2C2,使△AB2C2和△ABC位似,且相似比為1∶2;

(3)在圖上標(biāo)出△ABC與△A1B1C1的位似中心P,并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為,計(jì)算四邊形ABCP的周長為.

13.[2022上海普陀區(qū)二模]如圖,在ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC、邊BC的延長線上,四邊形AEFD是菱形,菱形的對角線AF分別交DE,DC于點(diǎn)P,Q,=.

求證:(1)四邊形ABCD為矩形;

(2)BE·DQ=FQ·PE.

14.[2022河北石家莊二十七中期中]如圖,建筑物BC上有一個(gè)旗桿AB,小明和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)計(jì)劃用學(xué)過的知識測量該建筑物的高度.他們制訂了測量方案,并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測量,測量方法如下:在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹ED,小明沿CD后退,發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)F、樹頂E、旗桿頂端A恰好在一條直線上,繼續(xù)后退,發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)G、樹頂E、建筑物頂端B恰好在一條直線上.已知旗桿AB=3米,DE=4米,DF=5米,FG=1.5米,點(diǎn)A,B,C在一條直線上,點(diǎn)C,D,F,G在一條直線上,AC,ED均垂直于CG,根據(jù)以上信息,請求出這座建筑物的高BC.

15.[2022湖北隨州曾都區(qū)期末]定義:若一個(gè)四邊形能被其中一條對角線分割成兩個(gè)相似的三角形,則稱這個(gè)四邊形為“友好四邊形”.

(1)如圖1,在4×4的正方形網(wǎng)格中,有一個(gè)網(wǎng)格Rt△ABC和兩個(gè)網(wǎng)格四邊形ABCD與ABCE,其中是被AC分割成的“友好四邊形”的是.

(2)如圖2,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,點(diǎn)B'落在邊AC上,過點(diǎn)A作AD∥A'B'交CA'的延長線于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD是“友好四邊形”.

(3)如圖3,在△ABC中,AB≠BC,∠ABC=60°,△ABC的面積為6,D是∠ABC的平分線上一點(diǎn),連接AD,CD.若四邊形ABCD是被BD分割成的“友好四邊形”,求BD的長.

參考答案

一、選擇題

1.B【解析】根據(jù)題意,得≈0.618,所以a≈0.618b≈1.24m.

2.D【解析】∵AB∥CD∥FF,∴=,∵AC=2,AE=5,BD=,∴=,∴DF=,

∴BF=BD+DF==.

3.A【解析】三角形甲的兩邊DF,EF的夾角不一定等于72°,故此三角形與△ABC不一定相似;利用“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”,可得三角形乙與△ABC相似;利用“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”,可得丙、丁兩個(gè)三角形與△ABC相似.故與△ABC不一定相似的圖形是甲.

4.C【解析】∵AC⊥BP,BD⊥BP,∴AC∥BD,∴△PBD∽△PAC,∴=.∵AB=20m,AC=40m,BD=50m,∴=,∴PA=80m.

5.C【解析】解法一如圖,延長EF交AB于點(diǎn)G.易證△AGE∽△ABC,△BGF∽△BAD,∴===,==,∴GE=BC=4,GF=AD=1,∴EF=GE-GF=4-1=3.

解法二設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)H.由AD∥BC,AD∥EF,可得△AHD∽△EHF∽△CHB,

∴===,∴AH=AC.∵AE=2EC,∴EC=AC=AH,∴HE=AC,∴AH=HE,∴△AHD≌△EHF,∴EF=AD=3.

6.C【解析】∵CD∥AB,∴△ABE∽△CDE.∵AE∶CE=1∶2,∴S△ABE∶S△CDE=1∶4.∵S△ABE=4,

∴S△CDE=16.∵AE∶CE=1∶2,∴CE=2AE,∴S△BCE=2S△ABE=8,∴S△BCD=S△CDE+S△BCE=16+8=24.

7.C【解析】如圖,使得△ADE∽△ABC的格點(diǎn)三角形一共有6個(gè).

8.C【解析】如圖,過點(diǎn)O分別作OF⊥AB于點(diǎn)F,OE⊥BC于點(diǎn)E,∵∠POQ=∠EOF=90°,

∴∠NOF=∠MOE,又∠NFO=∠MEO=90°,∴△NOF∽△MOE,∴=.∵AB=4,AD=6,BM=x,

AN=y,∴NF=2-y,ME=3-x,OF=3,OE=2,∴=,∴y=x-.∵0≤y≤4,∴0≤x-≤4,∴≤x≤,∴y=x-(≤x≤),故C項(xiàng)中的圖象符合題意.

二、填空題

9.(1,1)【解析】由題意,得△OAB與△OCD是等腰直角三角形,BO=1,∴AO=AB=,∴A(,),∵△OAB∽△OCD,且相似比為1∶2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1).

10.(0,3)或(4,0)或(,0)【解析】當(dāng)PC∥OA時(shí),△BPC∽△BOA,由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),可得P為OB的中點(diǎn).∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,6),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3).當(dāng)PC∥OB時(shí),△ACP∽△ABO,由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),可得P為OA的中點(diǎn).∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0).當(dāng)PC⊥AB時(shí),如圖,∵∠CAP=∠OAB,∴Rt△APC∽Rt△ABO,∴=.

∵A(8,0),B(0,6),∴AB==10.∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),∴AC=5,∴=,∴AP=,

∴OP=OA-AP=8-=,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0).綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3)或(4,0)或(,0).

11.【解析】∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA=2,∠DAB=90°,

∠DCP=45°.∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),∴AM=BM=1.在Rt△ADM中,DM==.

∵AM∥CD,∴△AMP∽△CDP,∴==,∴DP=.∵PF=,∴DF=DP-PF=-=.∵∠EDF=∠PDC,∠DFE=∠DCP=45°,∴△DEF∽△DPC,∴=,即=,∴DE=,∴CE=CD-DE=2-=.

三、解答題

12.【解析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.

(-2,-5)

(2)△AB2C2如圖所示.

(3)點(diǎn)P如圖所示.

(-2,1)6+4

四邊形ABCP的周長為+++=4+2+2+2

=6+4.

13.【解析】(1)∵四邊形AEFD是菱形,

∴AF⊥DE,∴∠EPF=90°.

∵=,∠AFB=∠PFE,

∴△ABF∽△EPF,∴∠ABE=∠EPF=90°,

∴平行四邊形ABCD是矩形.

(2)∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD=BC=EF,∴BE=CF.

∵∠DPF=∠QCF=90°,∠CQF=∠PQD,

∴△DPQ∽△FCQ,∴=,

∴=,∴BE·DQ=FQ·PE.

14.【解析】由題意可得,∠ACF=∠EDF=90°,∠AFC=∠EFD,

∴△ACF∽△EDF,∴=,

即=,∴CD=.

由題意可得,∠BCG=∠EDG=90°,∠BGC=∠EGD,

∴△BCG∽△EDG,∴=,

即=,∴CD=,

∴=,∴BC=14,

∴這座建筑物的高BC為14米.

16.【解析】(1)四邊形ABCE

設(shè)正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,則AB=2,BC=1,AD=4,AC==,CD==,AE==2,CE==5,∴===,∴△ABC∽△EAC,∴四邊形ABCE是“友好四邊形”.∵≠,∴△ABC與△DCA不相似,∴四邊形ABCD不是“友好四邊形”.

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得∠A'CB'=∠ACB,∠CA'B'=∠CAB.

∵AD∥A'B',∴∠CA'B'=∠D,∴∠CAB=∠D,