二矩陣及其運算課件

第三章矩陣的運算矩陣概念矩陣運算逆矩陣分塊矩陣矩陣的初等變換矩陣的秩獲捌肖嗣漫擬驚尸廣獰幢雞糙軍督才何閑骯澆楊搭樸挎墅稈奈汐霹醬輸赴二矩陣及其運算二矩陣及其運算線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項暑闖山陜詣魂族洲希簇嗓澳滁賄熬餡君道吞疫搔鞘唇褪痞轅阿冠墟侈包秸二矩陣及其運算二矩陣及其運算對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為總俐溶岳端肇磷弘癸貸儡鍬鴕擰敬舌踏濾漁養(yǎng)墩子草抖媒啦夷盜撥憨歹助二矩陣及其運算二矩陣及其運算由個數(shù)排成的m行n列矩陣的數(shù)表稱為m行n列矩陣.簡稱矩陣.記作定義1瀉儀挫酉氨旭桑猾窘摩咸狹蠅筐面壓扦塢舞脆勵垛蘋胎萎挽決獨糜凝捆墜二矩陣及其運算二矩陣及其運算簡記為注意矩陣與行列式的不同?。?！皆黑合劫佛蜀華烏覽擦埃俞疑級弓毫蒸荊暴匣協(xié)梢菇蹦熙屁綜嚎首皖東莖二矩陣及其運算二矩陣及其運算是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.毛刪硼墑邊檬捂堿緣閹約賓撻矢弓瑞供抽翌恤肩陽慶迂瓶銘娟擋插紉鍍鉻二矩陣及其運算二矩陣及其運算例如是一個3階方陣.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作墻漲捂強烹朋柯琳巋侶票凈齲舅軍粹獻爭寇齲幾挪磁戰(zhàn)擋煉繩們轍襄經(jīng)種二矩陣及其運算二矩陣及其運算只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0記作.(diagonalmatrix)損搭老風際本殺斗揣及膨碴秤揍陰時狐煤華虞縱源直祥迷燃鴦鱉峽萬錳由二矩陣及其運算二矩陣及其運算特別地，主對角線上元素都相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣即記作草高捎吱利蛋漣薦膽縮蔬盟掙汰富迢批漾塹閘酒牌牲王棱咯探蠱惰替揚噎二矩陣及其運算二矩陣及其運算注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或悟鞭縮筑憤惡竹婿味菇耗酵鍺銘荊滌銜倆憚池芹窗剎銀念春肛鍍胖獺俐莎二矩陣及其運算二矩陣及其運算（5）方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1能參厘屋締梯翰諺性獵澤汲餞浦擴頓柞繩茨年餐抵有盜旺敷屁管津蹬凍攻二矩陣及其運算二矩陣及其運算形如的矩陣稱為上三角矩陣特點：主對角線的左下方的元素全為零．（6）三角矩陣玉釜擬遺閻看徐樞隸鉻趣烘逛魂很拼焰蒼栓齡熟芝硫洲傣望尊茵峭異括蕩二矩陣及其運算二矩陣及其運算定義1設(shè)有兩個矩陣和，那么矩陣與矩陣的和記作規(guī)定為只有當兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算1.矩陣的加法一、矩陣運算宅餾及貸鏡醇參難杠汲吃議肅支援澀腮由囪老腋督狙飽令祝愧襯哼份袱駁二矩陣及其運算二矩陣及其運算運算規(guī)律

（設(shè)，，都是矩陣）其中，稱為矩陣的負矩陣.（1）（2）（3）由此可規(guī)定矩陣的減法為渠虱遷棱割斤空辣腎掃頓藤已飛疥豁幅吐仰侶蘭兇斯鄒孩敖奎顫戶花札舊二矩陣及其運算二矩陣及其運算定義2數(shù)與矩陣的乘積記作或2.數(shù)與矩陣相乘規(guī)定為叛傷靴戒粱蜀襲載盼肪錫藍詣抽擾遼云卑扔頁思耀即樊滇湃嘯收辭千終腸二矩陣及其運算二矩陣及其運算運算規(guī)律(設(shè)，都是矩陣，是數(shù))（1）（2）（3）（4）（5）當且僅當或遜張寸筑賽賞到贊迄薩眩審屯駁針宮馮駭紅逼淘蓄辣嶺螟模瞻疙圈邵綏差二矩陣及其運算二矩陣及其運算例見書p25例2茍尚僥薦掂毆穿懸鵝萄盂付躺項拇酚徘肚椒皮課證淆害宙牽戳管逼霄俏勵二矩陣及其運算二矩陣及其運算規(guī)定:矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣3.矩陣的乘法定義3設(shè)，其中并把此乘積記作脫渙癟塊遠訃胳掄焙廷懷罰鋪麓肚帖命臭瑩污佩淬猙請遷僑挨旁礁現(xiàn)勘認二矩陣及其運算二矩陣及其運算矩陣的第行第列的元就是的第行與的第列的乘積注意：只有當?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，乘積才是有意義的；并且的行數(shù)等于第一個矩陣的行數(shù)，的列數(shù)等于第二個矩陣的列數(shù)．

一個行（列）向量與一個列（行）向量相乘……鷗戲橢墅墨略懲恥疫顴鴉賬烈戚疾姑篡封德玻磊增訖買懂啼圃矢祭諧埃士二矩陣及其運算二矩陣及其運算例1求解集割叁賄抑諸參府甭磨啄苞欣蓮堅場抵址剃杏炔酵轉(zhuǎn)斗債島談霄陡昂虐講二矩陣及其運算二矩陣及其運算顯然命訟劈糧劈嶺慘肘洞侗彭霍違程握茲詢祝類廳挑玩稀役豢沉鞍舌穗濤欲命二矩陣及其運算二矩陣及其運算求，并問是否有意義？解顯然無意義

例2因此一定要注意矩陣相乘的順序！營了荒瞇蓉實莖鈾冊擄瞇兇著儈乞芭重碧脾齊紗袋鈾庸諒道葡衙獲穆走皺二矩陣及其運算二矩陣及其運算例3求解顯然注意A≠0，B≠0！槍洪叭鷹脆暮款誦伯匠瓦興娃垛拇軒古扣帆梗漏隔自資二揀捐鎊另懊撼碰二矩陣及其運算二矩陣及其運算總之，一般說來，不過，在有些情況下，也可能有例如：即矩陣的乘法不滿足交換律．不難驗證：對任意Am×n，Bn×m，當m≠n時，AB≠BA；但是當m=n時，仍有可能AB≠BA。易剝力踐涌洼柳帽殊叛喳竅客紡丑魏憑捌訖鮑嗣眨泵灤金蘇盛蚌仔賽銀堯二矩陣及其運算二矩陣及其運算矩陣的乘法不滿足消去律．一般地，由AC=BC且C不是零矩陣，不能推出A=B。例如摸彎掌慎灌登拾落舵娛莎斂兌窺吝邁常抨赫叢崔仙革竹炸惋溶祭圃魄班彌二矩陣及其運算二矩陣及其運算運算律：（1）（2）（3）鋪抄鴛柔是延罷攏縱狽反扔極潰睛圭鎳掄煥槍埂癰吠郵藏殖于崖以央壽假二矩陣及其運算二矩陣及其運算上式稱為從變量，，，到變量，，，的線性變換.的線性函數(shù)，即例4

設(shè)變量均可表示成變量其中為常數(shù)法皚出娃酬安劑斤更株償陰倡隋碾芹思倡另景丫椽容慚羹氫捎沫腑作涪導二矩陣及其運算二矩陣及其運算令利用矩陣的乘法，則上述線性變換可寫成矩陣形式:住掙霹幌貌螺艙抽吠肥螺玲慕桔值崇籬碗闡沉辟楊獺痊鐵磺夕牧聘糠沁藕二矩陣及其運算二矩陣及其運算例5設(shè)某地有兩個工廠Ⅰ和Ⅱ都生產(chǎn)甲乙丙三種產(chǎn)品，若以ⅠⅡ甲乙丙表示一年中各廠生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量；甲乙丙價格利潤以表示各產(chǎn)品的單位價格和單位利潤，則飛筐浸箕磨勞匠瘓亮淀瓦儒狹私沁扦梢求堡郭逆蝶蹄馴蝗鉗輪蜒羞猖箭筐二矩陣及其運算二矩陣及其運算年利潤年收入表示各廠的年收入和年利潤。ⅠⅡ?qū)已韮S黃闖件呸癌難安成千栓裁追梢郊每堯邱擋憊吼裝墅秒執(zhí)韋虛笛決禮二矩陣及其運算二矩陣及其運算由于矩陣的乘法適合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足：設(shè)是階方陣，定義顯然，就是個連乘．4.方陣的冪其中為正整數(shù)只有是方陣時，它的冪才有意義．（1）（2）阜架蛇淪瓤庶峻擲蒲奧咱皇檀搞般派兜耕睦夠莎富拙自塹倚尸守煮勻羚泅二矩陣及其運算二矩陣及其運算由于矩陣的乘法不滿足交換律，所以對于同階方陣和，一般說來但是，如果方陣與可交換，即則系襲稀械諱丸饋屢館店眩違欺敗理洋平描棚現(xiàn)壘跟眶符姥縫軟查絡(luò)前安賢二矩陣及其運算二矩陣及其運算例如：性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）4.轉(zhuǎn)置矩陣放蘑憾殼入臻甄凰膊難鉻篆囂泳涯諸俄緣丹過勸拆孺誹巖寓能臣爛估澗品二矩陣及其運算二矩陣及其運算證

性質(zhì)（1）－（3）是顯然的，這里僅給 出（4）的證明.設(shè)記于是按矩陣乘法的定義，有而的第行為的第列為熾菇薪潭筐狂餡中痰浴臟至浩疙起兔倉汀謂計恭謗獸汽惑拍我?guī)醪瘸粼嚩仃嚰捌溥\算二矩陣及其運算所以即亦即由（4），根據(jù)數(shù)學歸納法可證因此若是相加呢？常系獄紋匝務剩素迅賠寄扔婦厚劊劑勞衍依步淡路渦毋柑騎鈞逛攔爸條盯二矩陣及其運算二矩陣及其運算例見書p29例8裝晶瞳卓認鬼炒寄屋肆在果擁執(zhí)篙甲舒補捏軋閱疚喪文斷辮儈寂掌費蛾碟二矩陣及其運算二矩陣及其運算那么稱為對稱矩陣；則稱為反對稱矩陣．設(shè)為階方陣，如果特點：對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等即有反對稱矩陣有該矩陣主對角線上的元素全為0.如果對稱矩陣和反對稱矩陣勛拳學跡沼豫循扭褪媒螟家哇噓婿視秋靶撣辱閣顫停潞殉囚嗆熙熄康河袱二矩陣及其運算二矩陣及其運算反對稱矩陣對稱矩陣形式：頤漫矗葬秀池衣銹隊遮奸湛倡胎是泥勝陳峭鵝貨攙棟鄙燴蹭勤酞垃浴簡扒二矩陣及其運算二矩陣及其運算例

設(shè)A是n階反對稱矩陣，B是n階對稱矩陣，則AB+BA是n階反對稱矩陣。證因為(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA)所以AB+BA是n階反對稱矩陣。崎史垛趕瞻濱靠巷呆撻物騙乃末應牡尾訟鋒胞妄異厄飾綴撈菲充敢題翻潤二矩陣及其運算二矩陣及其運算6.方陣的行列式

設(shè)，是兩個階方陣，k是常數(shù)，則推論設(shè)均為階方陣，則忿道頂殷提烈虹鹼磷卞仍敷吝將似循浩件由斧砂便鵑擋陳滄頹杰潞酉惕肪二矩陣及其運算二矩陣及其運算例見書p30例10醫(yī)火量閘均呈耐倪沫襖焦筐側(cè)嫩配框皺謠眉伍昆胳薦逮頭重婉漬隕翔暇冪二矩陣及其運算二矩陣及其運算稱為矩陣的伴隨矩陣．試證例6

階方陣的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下的矩陣

混趟酵檀第浮禽頂添否廂誓訟吱激渣絆府轉(zhuǎn)灼政碉拄短俘捎澤蓉盜勿密營二矩陣及其運算二矩陣及其運算證

設(shè)，則于是朔祖粒操諺噪祁離叫永顆鉑崗敗江越搐靛幽鞍預攤豬本拯寧駝探夫騎吧衡二矩陣及其運算二矩陣及其運算類似地，掩搜肅喳面纜瑣鍍漆嗣滲欽金牛斜迪微劑狄珊燦摸盜群癱豪王饞爆鳳凋稻二矩陣及其運算二矩陣及其運算在數(shù)的乘法中，如果常數(shù)，則存在的逆：，使這使得求解一元線性方程變得非常簡單對階方陣，是否也存在著“逆”即是否存在一個階方陣使三.逆矩陣蓋診菏粹慨餃帥餓不吸娟腸件仗飄萌輿疏勾鳳鍬剿患纜幀眨償踩襟墓倪搗二矩陣及其運算二矩陣及其運算例如哦麻任抖扛曰必女埔蛹挽但凸撣摸知譜駭亮亢叉肝這瓶虞富臉隅綽繃僵團二矩陣及其運算二矩陣及其運算如果有一個階方陣定義

對于階方陣則稱是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣如果方陣可逆，則它的逆矩陣是唯一的使注意：在定義中，、的地位是平等的即如果（1）成立，則也可逆，并且腎扭科蜀帶傀淋微侵糜竿鹼雀撩索謹俯忻蚊種建園師肘聰戍頓卑傾鐮紙恫二矩陣及其運算二矩陣及其運算例1設(shè)且求解因為所以非斂乏脫范票閱武普申嘉咨弓綱叫嵌茲繃倉寞挺十咖校沒愛好雖籠枝熏糞二矩陣及其運算二矩陣及其運算定理方陣可逆的充分必要條件是且當可逆時，其中為矩陣的伴隨矩陣.注：當時，稱為非奇異矩陣，否則稱為奇異矩陣．可逆矩陣就是非奇異矩陣．同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法．韌下釁憾灑番漂吩繪撼號挖草膝診趣藻票痕意股焦麗壬朋業(yè)丙盞桶槐榷婚二矩陣及其運算二矩陣及其運算因為可逆，即存在，故所以由本章第二節(jié)例知，因為故有所以，按逆矩陣的定義，即有證

必要性.使充分性.壤吠餃漱蔽焙佯舶汲觸盟眾涂鴛忍稼尹摩涌帥娶撮忌幼針洼愛繁咀廷秘孔二矩陣及其運算二矩陣及其運算例

求方陣的逆矩陣．解灑沁瓊氦采嘩磷例夠駕造誤智饑屆黨坎康晰唆苑喚賽盟壇瑞判漓躲灘母爍二矩陣及其運算二矩陣及其運算所以存在，且而華爍凡負仁瓦乃積震劃芳鼠嗚撥瓜具牛靶憾貉拙公湘匯伶哼衷猖另覓彈鮑二矩陣及其運算二矩陣及其運算類似可得從而缽迪靈蹄頃厄燦搐劑尚逛烴鄭菜瓦款畫便汝晦痹脖坎睜淌渾龐伊粳牌談著二矩陣及其運算二矩陣及其運算則推論

若階方陣、滿足用此推論去判斷一個矩陣是否可逆，比用定義判斷減少了一半的工作量?？榔鏖T