chap動力學普遍方程和拉格朗日方程(I)課件

第二章動力學普遍方程和拉各朗日方程1.動力學普遍方程2.拉格朗日方程3.動能的廣義速度表達式4.拉格朗日方程的初積分5.碰撞問題的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的應用舉例引言1：非自由質點系的動力學問題φ1φ2擺長不定，如何確定其擺動規(guī)律？K混沌擺問題多桿擺問題引言2：慣性力的概念達朗伯（1717-1785）通過引入慣性力的概念，建立了著名的達朗伯原理（用靜力學建立平衡方程的方法處理動力學問題）；約翰·伯努利（1667-1748）于1717年精確表述了虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動力學的方法研究靜力學中的平衡問題）；拉格朗日（1736-1813）應用達朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質點系的動力學問題中，建立了動力學普遍方程，進一步導出了拉格朗日方程。vPMlφ其加速度為令R=P+T則ma=R=P

+T擺錘M在受到P、T的同時，將給施力體（地心和繩子）一對應的反作用力，反作用力的合力為TR'=－R=－ma

此力是擺錘被迫作非慣性運動時產生的“反作用力”，稱為慣性力。a

nφφφPTPTPTa

na

na

n

圖示圓錐擺擺長為l，擺錘M的質量m，在水平面內作勻速圓周運動，速度為v，錐擺的頂角為2φ，擺錘M受力如圖。RvRvRvR結論：質點在作非慣性運動的任意瞬時，對于施力于它的物體會作用一個慣性力，該力的大小等于其質量與加速度的乘積，方向與其加速度方向相反。若用Fg表示慣性力，則有Fg=－ma說明：1.此力是不是真實的力！2.此力作用于施力給質點的物體上！3.此力又稱為牛頓慣性力！引言3：達朗伯原理一、質點的達朗伯原理設質點M的質量為m，受力有主動力F、約束反力FN，加速度為a，則根據牛頓第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma

=F+FNFg=－ma令則F+FN+Fg

=0形式上的平衡方程結論：在質點運動的任意瞬時，如果在其上假想地加上一慣性力Fg，則此力與主動力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是質點的達朗伯原理。二、質點系的達朗伯原理設質點系由n個質點組成，第i個質點質量為mi，受力有主動力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，假想地加上其慣性力Fgi=－miai，則根據質點的達朗伯原理，Fi、FNi與Fgi應組成形式上的平衡力系，即對整個質點系來說，在運動的任意瞬時，虛加于質點系的各質點的慣性力與作用于該質點系的主動力、約束反力將組成形式上的平衡力系。Fi+

FNi+Fgi=0（i=1，2，…，n）∑MO(Fi)

+

∑MO(

FNi)

+∑MO(

Fgi)

=0∑Fi+

∑

FNi+∑Fgi=0質點系的達朗伯原理即或1.動力學普遍方程動力學普遍方程是虛位移原理與達朗伯原理簡單結合的產物。設質點系由n個質點組成，第i個質點質量為mi，受主動力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，虛加上其慣性力Fgi=－miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi則根據達朗伯原理，Fi

、FNi

與Fgi，應組成形式上的平衡力系，即Fi

+

FNi

+Fgi=0若質點系受理想約束作用，應用虛位移原理，有或動力學普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時，作用于質點系上的主動力和慣性力在質點系的任意虛位移上所做虛功之和等于零。則動力學普遍方程的坐標分解式為若9例1.兩均質輪質量皆為m1，半徑皆為r，對輪心的轉動慣量為J；中心用質量為m2的連桿連接，在傾角為α的斜面上純滾動。求連桿的加速度。α研究整個系統(tǒng)，進行受力分析；解：設桿的加速度為a，則αm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasFg1=m1a，Fg2=m2a，給連桿以平行于斜面向下的虛位移s，則相應地兩輪有轉角虛位移，且根據動力學普遍方程，得:于是解得122.拉格朗日方程將動力學普遍方程用廣義坐標表示，即可推導出第二類拉格朗日方程。

n個質點的系統(tǒng)受到k個如下形式的完整約束fi

,又若系統(tǒng)中質量為mj的第j個質點受主動力Fj，則系統(tǒng)的運動滿足3n個方程如左，稱為第一類拉格朗日方程，λi稱為拉各朗日未定乘子。*第一類拉格朗日方程用到的較少設質點系由n個質點組成，具有s個完整理想約束，則有N=3n-s個自由度（廣義坐標）。

用q1，q2，…qN表示系統(tǒng)的廣義坐標，第i個質點質量為mi，矢徑為ri。則ri=ri(q1，q2，…qN，t)對上式求變分得動力學普遍方程可寫成其中根據虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有因為系統(tǒng)為完整約束，廣義坐標相互獨立，所以廣義坐標的變分qk是任意的，為使上式恒成立，須有(k=1，2，……，N)廣義力廣義慣性力以廣義坐標表示的達朗伯原理對式中廣義慣性力進行變換：將下列兩個恒等式（有關證明請參閱教材P46）（廣義速度）得所以代入第一項中的括號內代入第二項中的括號內18得到這就是第二類拉格朗日方程，是一個方程組，該方程組的數目等于質點系的自由度數，各方程均為二階常微分方程，揭示了系統(tǒng)動能的變化與廣義力之間的關系。若作用于質點系的主動力均為有勢力（保守力）則廣義力Qk可寫成質點系勢能表達的形式于是，對保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成用函數L表示系統(tǒng)的動能T與勢能V之差，即L=T－VL稱為拉格朗日函數或動勢。則在保守系統(tǒng)中，用動勢表示的拉格朗日方程的形式為若作用于質點系的主動力為有勢力及非有勢力兩部分構成時用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質點系動力學問題的普遍方程，是分析力學中的重要方程。2.拉格朗日方程是標量方程，以動能為方程的基本量，是用廣義坐標表示的運動微分方程。3.拉格朗日方程形式簡潔，運用時只需要計算系統(tǒng)的動能；對于保守力系統(tǒng)，只需要計算系統(tǒng)的動能和勢能。用拉格朗日方程概述1.靜力學：對受完整約束的多自由度的平衡問題，根據虛位移原理，采用廣義坐標，得到與自由度相同的一組獨立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質點系的平衡問題的求解變得簡單。2.動力學：對受完整約束的多自由度的動力學問題，可以根據能量原理，采用廣義坐標，推導出與自由度相同的一組獨立的運動微分方程。這種用廣義坐標表示的動力學普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡稱為拉格朗日方程。用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數（廣義坐標數）；2.選廣義坐標；3.計算系統(tǒng)的動能T，且用廣義速度來表示動能；4.計算廣義力（對保守系統(tǒng)可計算勢能）；5.代入拉格朗日方程即可得質點系運動微分方程。ⅠⅡrRMMO

AM例1位于水平面內的行星輪機構中，質量為m1的均質細桿OA，可繞O軸轉動，另一端裝有質量為m2、半徑為r的均質小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動。當細桿受力偶M的作用時，求細桿的角加速度。解：研究整個系統(tǒng)，選廣義坐標，則∴系統(tǒng)的動能為ⅠⅡARMrO

T=TOA+T輪PPP行星輪瞬心為P，角速度為vAvAvA25ⅠⅡO

AvARMr又關于廣義坐標的廣義力為代入Lagrange方程：∴于是得26O例2質量為m的質點懸在不計質量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設在平衡位置時，線的下垂部分長度為l。求此擺的運動微分方程。Rmlll27RlOmm系統(tǒng)的動能為選=0處為系統(tǒng)勢能的零勢點，則V=mg[（l+Rsin）－（l＋R）cos]系統(tǒng)的動勢為解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標，已求得將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運動微分方程OOO例3

已知質量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質量為m2的均質圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動。求三棱柱的加速度。ωOOθ(設圓柱o的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標，x1x2θO圓柱中心的速度為圓柱的角速度為vO解：系統(tǒng)具有兩個自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動能為則三棱柱速度為加速度為x2vOx2vOx2vOx2x1x2θOo1o2m1gFNm2gx1聯立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系統(tǒng)關于廣義坐標x1、x2的廣義力分別為：32例5

桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上，A、B處質點質量分別為m1和m2，各處摩擦及兩桿質量均不計，求系統(tǒng)微幅擺動的微分方程。m1bam2OABvAvAvAvAbaOAB12則解系統(tǒng)具有兩個自由度，選1、2為廣義坐標，∴系統(tǒng)動能為vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA∵系統(tǒng)作微幅擺動，∴cos(2－1)≈11221系統(tǒng)受力如圖。m2g