高等數(shù)學(xué)方明亮71多元函數(shù)的基本概念教學(xué)課件

第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用推廣一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同7/20/20231主要內(nèi)容第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法7/20/20232第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第七章(Conceptionoffunctionsofseveralvariables)四、多元函數(shù)的連續(xù)性一、平面點(diǎn)集n維空間二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限五、小結(jié)與思考練習(xí)7/20/20233一、平面點(diǎn)集n維空間1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為7/20/20234在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.7/20/20235(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P

:若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn)

;則稱P為E

的邊界點(diǎn)

.的外點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.2.區(qū)域7/20/20236若對(duì)任意給定的,點(diǎn)P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱P是E的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E的導(dǎo)集.E的邊界點(diǎn))(2)聚點(diǎn)7/20/20237D若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡(jiǎn)稱區(qū)域;..

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作E;(3)開區(qū)域及閉區(qū)域7/20/20238開區(qū)域閉區(qū)域例如，在平面上7/20/20239

整個(gè)平面點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無(wú)7/20/202310n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo)

.記作即一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.3.n維空間7/20/202311的距離記作中點(diǎn)a

的

鄰域?yàn)橐?guī)定為與零元O的距離為7/20/202312二、多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式7/20/202313點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域

;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在D上的n元函數(shù)

,記作定義1設(shè)非空點(diǎn)集7/20/202314定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球例如,

二元函數(shù)7/20/202315三、多元函數(shù)的極限定義2

設(shè)n元函數(shù)點(diǎn),則稱A為函數(shù)(也稱為n重極限)當(dāng)n=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切7/20/202316求證：證:故總有要證（課本例5）例1設(shè)7/20/202317求證：證：故總有要證（自學(xué)課本例6）例2（補(bǔ)充題）設(shè)7/20/202318若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.函數(shù)例3討論函數(shù)7/20/202319僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3

知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.

二重極限7/20/202320四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

設(shè)n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在D上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱n元函數(shù)連續(xù).連續(xù),7/20/202321在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).例如,函數(shù)7/20/202322解:

原式例6求函數(shù)的連續(xù)域.解:（補(bǔ)充題）例5（課本例9）求7/20/202323*

(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則7/20/202324內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)7/20/202325有4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)3.多元函數(shù)的極限7/20/202326習(xí)題7－11(2),(3)；3；5（偶數(shù)題）；6（偶數(shù)題）；7（1）；8；9課外練習(xí)思考與練習(xí)1.習(xí)題7－17（2）令x

=ky，若令,則可見極限不存在7/20