2022年黑龍江省哈爾濱市亞溝中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年黑龍江省哈爾濱市亞溝中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)定義域是（0，+∞）B.x∈（0，1）時(shí)，f(x)圖象位于x軸下方C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D.f(x)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)E.f(x)在區(qū)間（1，2）上有最大值參考答案：BC【分析】利用函數(shù)的解析式有意義求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不正確；由，當(dāng)時(shí)，，∴，所以在上的圖象都在軸的下方，所以B正確；所以在定義域上有解，所以函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；由，則，所以，函數(shù)單調(diào)增，則函數(shù)只有一個(gè)根，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個(gè)極小值，所以D不正確；由，則，所以，函數(shù)單調(diào)增，且，，所以函數(shù)在先減后增，沒(méi)有最大值，所以E不正確，故選BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問(wèn)題，其中解答中準(zhǔn)確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，熟記函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.下面圖形中是正方體展開(kāi)圖的是(

)．

參考答案：A3.若成等比數(shù)列，則函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.復(fù)數(shù)等于（）A．8 B．﹣8 C．8i D．﹣8i參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后進(jìn)行復(fù)數(shù)冪的運(yùn)算即可．【解答】解：由，故選D．5.雙曲線上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是6，這樣的點(diǎn)有（

）A.3個(gè)

B.4個(gè)

C.2個(gè)

D.1個(gè)

參考答案：A6.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，第二步由k到k+1時(shí)不等式左邊需增加（

）A．

B.

C.

D.參考答案：D7.拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，弦中點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則的最大值為(

)A．

B． C． D．參考答案：B略8.某高中有在校學(xué)生3000人．為了響應(yīng)“陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召，學(xué)校舉行了跳繩和跑步比賽活動(dòng)．每位學(xué)生都參加而且只參與了其中一項(xiàng)比賽，各年級(jí)參與比賽人數(shù)情況如下表：

高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)跳繩跑步其中∶∶＝2∶3∶5，全校參與跳繩的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了解學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)300人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高二年級(jí)參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取（

）A．72人

B．54人

C．42人

D．30人參考答案：B9.直線y=x-1的傾斜角為

(

)A．150o

B．60o

C．30o

D．-60o參考答案：C10.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=13，an+1=2Sn+1，n∈N*，則符合Sn＞a5的最小的n值為（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，∴an+1﹣an=2an，即an+1=3an，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為3，由S3=13，∴=13，解得a1=1．∴a5=34=81．Sn==，S5==121＞a5，S4==40＜a5．∴符合Sn＞a5的最小的n值為5．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，則C的離心率e=．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由已知條件，利用解直角三角形求出|BF|，再利用橢圓的對(duì)稱性質(zhì)能求出橢圓的離心率．【解答】解：如圖所示，在△AFB中，|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，∴|BF|2=|AB|2﹣|AF|2=100﹣36=64，∴|BF|=8，設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF′，AF′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF′是矩形．∴|BF′|=|AF|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6=14，2c=10，解得a=7，c=5，∴e==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的對(duì)稱性的合理運(yùn)用．12.的夾角為，則

參考答案：13.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則=_____________。參考答案：略14.若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則r=

．參考答案：2【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2（r＞0）交于A、B兩點(diǎn)，∠AOB=120°，則△AOB為頂角為120°的等腰三角形，頂點(diǎn)（圓心）到直線3x﹣4y+5=0的距離d=r，代入點(diǎn)到直線距離公式，可構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2（r＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠AOB=120°，則圓心（0，0）到直線3x﹣4y+5=0的距離d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案為：2．15.已知直線是的切線，則的值為

參考答案：略16.已知命題p：x≤1，命題q：≥1，則命題p是命題q的條件．參考答案：必要不充分【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】命題q：≥1，即≤0，等價(jià)于x（x﹣1）≤0，x≠0，解得0＜x≤1．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：命題p：x≤1，命題q：≥1，∴≤0，等價(jià)于x（x﹣1）≤0，x≠0，解得0＜x≤1．則命題p是命題q的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.程序框圖如下：如果上述程序運(yùn)行的結(jié)果為S＝132，那么判斷框中應(yīng)填入

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）當(dāng)x＞1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若對(duì)于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范圍．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1x2＜e2k．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（1）由題意x＞0，=lnx﹣k，由此根據(jù)k≤0，k＞0利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k+1＞對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，則，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．（3）設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要證x1x2＜e2k，只要證x2＜，即證＜，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①當(dāng)k≤0時(shí)，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間，無(wú)極值；②當(dāng)k＞0時(shí)，令lnx﹣k=0，解得x=ek，當(dāng)1＜x＜ek時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞ek，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，ek），單調(diào)減區(qū)間是（ek，+∞），在區(qū)間（1，+∞）上的極小值為f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，無(wú)極大值．（2）∵對(duì)于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，則，∴t（x）在區(qū)間[e，e2]上單調(diào)遞增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在區(qū)間[e，e2]上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1﹣，+∞）．證明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ek）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ek，+∞）上單調(diào)遞增，且f（ek+1）=0，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要證x1x2＜e2k，只要證x2＜，即證＜，∵f（x）在區(qū)間（ek，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即證f（x1）＜，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，ek），∴l(xiāng)nx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，ek）上單調(diào)遞增，故h′（x）＜h（ek），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．19.已知命題p：實(shí)數(shù)m滿足，其中；命題q：方程表示雙曲線.(Ⅰ)若，且為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(Ⅱ)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）

（2）命題：由題得，又，解得.............................2分.命題:，解得................................................................................4分.（1）若，命題為真時(shí)，...................................................................................5分.當(dāng)為真時(shí)，則真且真∴，解得的取值范圍是...............................................................................7分（2）是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件................................................9分∴，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是..........................................................................12分20.(本小題10分)；.參考答案：（1）2x-3y+14=0

(2)x-2y-4=0略21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足且，．求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：∵∴時(shí)∴

累加得----------------4分又∴經(jīng)檢驗(yàn)也成立∴

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