5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質（第2課時）教學設計-2022-2023學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質（第2課時）教學設計一、教學目標1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性具有周期性變化規(guī)律，通過一個周期內的單調性進而研究在整個定義域上的性質.2.能夠利用單調性解決一些問題，比如比較大小，求最值等.二、教學重難點1、教學重點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性、最值，研究函數(shù)的思想方法2、教學難點利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性來研究它們的單調性、最值三、教學過程1、新課導入前面研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性，根據我們之前學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的經驗，三角函數(shù)還有哪些性質有待于我們去研究呢？繼續(xù)觀察正弦曲線和余弦曲線，它們的定義域、值域、單調性有何規(guī)律？2、探索新知單調性由于正弦函數(shù)是周期函數(shù)，我們可以先在它一個周期區(qū)間（如）上討論它的單調性，再利用它的周期性，將單調性擴展到整個定義域.教師：觀察正弦函數(shù)的圖像.問題1：函數(shù)值的變化有什么特點？學生：觀察函數(shù)圖像.思考函數(shù)圖像的變化趨勢，總結函數(shù)的單調性.當時，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，的值由-1增大到1；當時，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，的值由1減小到-1.用表格表示為：問題2：推廣到整個定義域呢？學生：觀察圖像，討論交流.當時，正弦函數(shù)y=是增函數(shù)，函數(shù)值由-1增大到1.當時，正弦函數(shù)y=是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到-1.同理，觀察余弦函數(shù)的圖像.問題3：余弦函數(shù)在上函數(shù)值的變化有什么特點？推廣到整個定義域呢？教師引導學生發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的圖像特點，并與正弦函數(shù)的圖像特點進行比較，學生分組探討，教師巡視.當時，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，的值由-1增大到1.當時，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，的值由1減小到-1.用表格表示為：推廣到整個定義域：

當時，余弦函數(shù)是增函數(shù)，的值由-1增大到1.當時，余弦函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到-1.問題4：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調區(qū)間分別是什么？正弦函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.余弦函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為最大值與最小值問題5：繼續(xù)觀察圖像，當正弦函數(shù)、余弦函數(shù)取最值時，x的取值有何規(guī)律？對于正弦函數(shù)，有當且僅當時，取得最大值1；當且僅當時，取得最小值-1對于余弦函數(shù)有當且僅當時，取得最大值1；當且僅當時，取得最小值-1.例3下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值.（1）（2）解：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值（1）使函數(shù)取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)取得最大值的x的集合；使函數(shù)取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)取得最小值的x的集合.函數(shù)的最大值是；最小值是.（2）令，使函數(shù)取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合.由，得.所以，使函數(shù)取得最大值的x的集合是.同理，使函數(shù)取得最小值的x的集合是.函數(shù)的最大值是3，最小值是-3.方法總結：（1）求解例題的基本依據是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大（?。┲?（2）對于形如的函數(shù)，一般通過變量代換（如設）化歸為的形式，然后利用正弦函數(shù)的最大（?。┲登蠼?（3）余弦函數(shù)類似.例4不通過求值，比較下列各組數(shù)的大?。海?）與；（2）與.分析：可利用三角函數(shù)的單調性比較兩個同名三角函數(shù)值的大小.為此，先用誘導公式將已知角化為同一單調區(qū)間內的角，然后再比較大小.解：（1）因為，正弦函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以.（2），.因為，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，即.方法技巧：比較三角函數(shù)值的大小時，先化三角函數(shù)為同名三角函數(shù)，再將角轉化到同一個單調區(qū)間內，利用單調性比較大小.若α，β不在同一個單調區(qū)間內，則要通過誘導公式等工具先把α，β轉化到同一個單調區(qū)間內再比較函數(shù)值的大小，有時可先大致判斷函數(shù)值的符號，若符號不同，則大小易判.提問：你能借助單位圓直觀地比較上述兩對函數(shù)值的大小嗎？試一試上圖中由圖可知即.類似地，可以比較出.例5求函數(shù)的單調遞增區(qū)間.分析：令，當自變量x的值增大時，z的值也隨之增大，因此若函數(shù)在某個區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)在相應的區(qū)間上也一定單調遞增.解：令，則.因為的單調區(qū)間是，且由，得.所以，函數(shù)的單調區(qū)間是思考：你能求出函數(shù)的單調區(qū)間嗎？分析：本例的求解是轉化與化歸思想的應用，即利用正弦函數(shù)的單調性，將問題轉化為一個關于x的不等式問題，然后解不等式得所求區(qū)間.解：令.由于是的減函數(shù)，因此函數(shù)的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是由于得設，,.的單調遞增區(qū)間是.方法技巧：求函數(shù)的單調區(qū)間的的一般步驟：當時，把“”看成一個整體，由得出x的取值范圍，即可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；由得出x的取值范圍，即可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間.【注意】單調區(qū)間之間只能用“，”或“和”連接，不能用“”.3、課堂練習1.函數(shù)，的單調遞增區(qū)間是()A. B. C. D.【答案】B【解析】本題考查正弦型函數(shù)的單調區(qū)間.令，解得，當時，，即函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.2.函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意，作出函數(shù)的圖像如下：

由圖知，函數(shù)在區(qū)間和單調遞增；在區(qū)間和上單調遞減.所以選項ABC錯誤，選項D正確.故選：D.3.已知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知時,取得最大值,則,解得,由于T2?π,

則,故,最小正周期,故選B.4.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】（1）令，得；

令，得.故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.

（2）當時，，當，即時，取得最大值，；當，即時，取得最小值，.函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值分