《數(shù)學(xué)歸納法》 省賽獲獎(jiǎng)

數(shù)學(xué)歸納法一、概念1、歸納法：對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。歸納法｛

完全歸納法不完全歸納法?用不完全歸納法得出的結(jié)論不一定正確，如費(fèi)馬猜想。?用完全歸納法得出的結(jié)論可靠，可不便操作。提出問題：如何找到一個(gè)科學(xué)有效的方法證明結(jié)論的正確性呢？數(shù)學(xué)歸納法的定義設(shè){pn}是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果（1）證明起始命題p1(或p0)成立；（2）在假設(shè)pk成立的前提下，推出pk+1也成立，那么可以斷定。{pn}對(duì)一切正整數(shù)（或自然數(shù)）成立，這種方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。引例1:已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),試求出a2,a3,a4并猜想{an}的通項(xiàng)公式由題中條件可知：

a1=________,a2=________a3=________,a4=________……………..

猜想：an=________1/311/41/n1/2例題1例題1：已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)所有的正整數(shù)n,有an=1/na1=1成立假設(shè)ak=1/k成立,若證出ak+1=1/(k+1)成立命題an=1/n成立…………….第1張骨牌倒下…………….假設(shè)第k張骨牌倒下保證第k+1張倒下第n張骨牌倒下骨牌倒下命題成立類比

對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.根據(jù)由(1),(2)可知道，命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)都成立。

這種證明方法叫做

數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)有關(guān)的命題的兩個(gè)步驟【假設(shè)推理過程】【驗(yàn)證過程】【下結(jié)論】證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。

例題2：用數(shù)學(xué)歸納法證明（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即那么：

左邊=12+22+……+k2+(k+1)2右邊

即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)任何n∈N＊都成立。重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。練習(xí)1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是(

)A．1

B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]

C[解析]

當(dāng)n＝1時(shí)，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左邊為1＋2＋3.故應(yīng)選C.[答案]

D[解析]

∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－è???÷?1271－12＝2－126＝27－126＝12764

而1＋12＋14＋…＋128－1>12764，故應(yīng)選B.

[答案]

B例1

用數(shù)學(xué)歸納法證明：例3

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊等式右邊所以等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N+）時(shí)等式成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，即n=k+1時(shí)等式成立.由（1）（2）可知，對(duì)任意n∈N+等式均成立.[點(diǎn)評(píng)]證明過程的關(guān)鍵是第二步由n＝k到n＝k＋1的過渡，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形．已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式．[解析]

(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．完全歸納法:把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完