第4講-Matlab的常用數(shù)學(xué)函數(shù)與運(yùn)算教材課件

第四講Matlab的常用數(shù)學(xué)函數(shù)與運(yùn)算7/21/20231一、基本的數(shù)學(xué)函數(shù)(1)1、三角函數(shù)

sin/asin

正弦/反正弦函數(shù)sec/asec

正割/反正割函數(shù)

sinh/asinh

雙曲正弦/反雙曲正弦函數(shù)sech/asech

雙曲正割/反雙曲正割函數(shù)

cos/acos

余弦/反余弦函數(shù)csc/acsc

余割/反余割函數(shù)

7/21/20232

cosh/acosh

雙曲余弦/反雙曲余弦函數(shù)csch/acsch

雙曲余割/反雙曲余割函數(shù)

tan/atan

正切/反正切函數(shù)cot/acot

余切/反余切函數(shù)

tanh/atanh

雙曲正切/反雙曲正切函數(shù)coth/acoth

雙曲余切/反雙曲余切函數(shù)

atan2四個(gè)象限內(nèi)反正切函數(shù)7/21/20233一、基本的數(shù)學(xué)函數(shù)(2)2、指數(shù)函數(shù)

exp（），log（），log10（），sqrt() exp()指數(shù)函數(shù)exp(a)=ea exp(1)=2.718

log()自然對(duì)數(shù)函數(shù)log(a)=ln(a) log(3)=1.0968 log10()常用對(duì)數(shù)函數(shù)log10(a)=lg(a) log10(100)=27/21/20234一、基本的數(shù)學(xué)函數(shù)(3)3、復(fù)數(shù)函數(shù)

abs(),，angle（），conj（），imag（），real（）

abs()絕對(duì)值函數(shù)實(shí)數(shù)，求其絕對(duì)值復(fù)數(shù)，求其模

abs(-5)5abs(3+4i)5(abs(3+i4)???Undefinedfunctionorvariable'i4'.)

7/21/20235

imag()求虛部函數(shù)imag(3+4i)4 real()求實(shí)部函數(shù)real(3+4i)3 angle()角相位函數(shù)angle(4i)1.5708conj()共軛復(fù)數(shù)函數(shù)conj(3+4i)3.0000-4.0000i7/21/20236一、基本的數(shù)學(xué)函數(shù)(4)4、數(shù)值函數(shù)

a＝[-0.3,0.5,3.4] fix()沿零方向取整fix(a)=003 round()四舍五入取整round(a)=013 floor()沿-∞方向取整floor(a)=-103 ceil()沿+∞方向取整ceil(a)=014 sign()符號(hào)函數(shù)sign(a)=-111

rem()求除法的余數(shù)

REM(x,y)isx-n.*ywheren=fix(x./y)ify~=0.rem(-8,3.3)-1.47/21/20237一、基本的數(shù)學(xué)函數(shù)(5)5、統(tǒng)計(jì)分析函數(shù)max——求最大值min——求最小值mean——求平均值median——求平均中間值sum——求和std——求標(biāo)準(zhǔn)差var——求方差sort——遞增排序7/21/20238一、基本的數(shù)學(xué)函數(shù)(6)6.矩陣函數(shù)

expm

矩陣指數(shù)函數(shù)logm

矩陣對(duì)數(shù)函數(shù)

funm

矩陣任意函數(shù)sqrtm

矩陣平方根

expm（）矩陣指數(shù)函數(shù)expm(A)為

a＝[11;11];b=expm(a)b=[4.19453.1945;3.19454.1945] expm1()Pade近似法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)

expm2()Taylor級(jí)數(shù)法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)

expm3()特征值法計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)7/21/20239

logm()矩陣對(duì)數(shù)函數(shù)logm(b)[11;11]

sqrtm（）矩陣平方根函數(shù)

a=[11;11],

sqrtm(a)=[0.70710.7071;0.70710.7071]

funm（）一般矩陣函數(shù)求值funm(A,@fun) F=funm(a,@sqrt)7/21/202310二、多項(xiàng)式運(yùn)算(1)多項(xiàng)式的建立

matlab語(yǔ)言把多項(xiàng)式表達(dá)成一個(gè)行向量，該向量中的元素是按多項(xiàng)式降冪排列的。

f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+a0

可用行向量p=[anan-1……a1+a0]表示1、poly——產(chǎn)生特征多項(xiàng)式系數(shù)向量 特征多項(xiàng)式一定是n+1維的；特征多項(xiàng)式第一個(gè)元素一定是1。

7/21/202311例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00 p是多項(xiàng)式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我們可用：p1=poly2str(p,‘x’)—函數(shù)， 顯示成數(shù)學(xué)多項(xiàng)式的形式：p1=x^3-6x^2-72x-27polyval（p,x）多項(xiàng)式求值函數(shù)

polyval(p,1)=-104polyvalm（p,X）p為多項(xiàng)式系數(shù)，X為方陣7/21/202312二、多項(xiàng)式運(yùn)算(2)2、roots——求多項(xiàng)式的根

p=[1.00-6.00-72.00-27.00]r=roots(p) r=12.1229-5.7345-0.3884

顯然r是p的特征值當(dāng)然我們可用poly令其返回多項(xiàng)式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.007/21/202313二、多項(xiàng)式運(yùn)算(3)3、conv卷積與多項(xiàng)式乘例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6; c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+187/21/202314二、多項(xiàng)式運(yùn)算(4)4、deconv（）反卷積與多項(xiàng)式除[d,r]=deconv(c,a)r：余數(shù)d：c除a后的整數(shù)a=[123];c=[4.0013.0020.0027.0018.00][d,r]=deconv(c,a)d=45-2r=00016247/21/202315二、多項(xiàng)式運(yùn)算(5)5、polyder():求多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù) 例：a=[12345]; poly2str(a,'x')

ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5 b=polyder(a) b=46647/21/202316二、多項(xiàng)式運(yùn)算(6)6、polyfit（）多項(xiàng)式擬合用于尋找數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系，如歐姆定理

polyfit(X,Y,N)x0=0:0.1:1;y0=[-.4471.9783.115.255.024.664.014.583.455.359.22];p=polyfit(x0,y0,3)%p=56.6915-87.117440.0070-0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')7/21/202317二、多項(xiàng)式運(yùn)算(7)7、插值的定義——是對(duì)某些集合給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間函數(shù)的估值方法。當(dāng)不能很快地求出所需中間點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，插值是一個(gè)非常有價(jià)值的工具。Matlab提供了一維、二維、三次樣條等許多插值選擇一維數(shù)據(jù)插值 在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式為：Y1=interp1(X,Y,X1,'method')

函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，X1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，Y1是一個(gè)與X1等長(zhǎng)的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。 注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會(huì)給出“NaN”錯(cuò)誤。

7/21/202318MATLAB中有一個(gè)專門的3次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。 例某觀測(cè)站測(cè)得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室內(nèi)外溫度(℃)，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時(shí)之間每隔2小時(shí)各點(diǎn)的近似溫度(℃)。 設(shè)時(shí)間變量h為一行向量，溫度變量t為一個(gè)兩列矩陣，其中第一列存放室內(nèi)溫度，第二列儲(chǔ)存室外溫度。命令如下：

h=6:2:18; t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]'; XI=6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,'spline')%用3次樣條插值計(jì)算二維數(shù)據(jù)插值的函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')7/21/202319二、多項(xiàng)式運(yùn)算(8)8、residue（）計(jì)算留數(shù)

[R,P,K]=residue(B,A)B(s)R(1)R(2)R(n)----=--------+--------+...+--------+K(s)A(s)s-P(1)s-P(2)s-P(n)

例：已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為，利用residue.m函數(shù)作部分分式展開。n＝[122];d=[16116];[r,p,k]=residue(n,d);[r’;p’]ans=2.5000-2.00000.5000-3.0000-2.0000-1.0000則部分分式分解的結(jié)果為：7/21/202320三、線性方程組求解對(duì)于方程ax=b，a為an×m矩陣，有三種情況：當(dāng)n=m時(shí)，此方程成為“恰定”方程當(dāng)n>m時(shí)，此方程成為“超定”方程當(dāng)n<m時(shí)，此方程成為“欠定”方程

matlab定義的除運(yùn)算可以很方便地解上述三種方程:x=a\b7/21/202321方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=a\bx=2.003.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=137/21/202322四、數(shù)值積分(1)1、數(shù)值積分基本原理 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡(jiǎn)單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問(wèn)題就分解為求和問(wèn)題。7/21/202323四、數(shù)值積分(2)2、變步長(zhǎng)辛普生法基于變步長(zhǎng)辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來(lái)求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來(lái)控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過(guò)程，若取非0則展現(xiàn)積分過(guò)程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。

7/21/202324例求定積分。

(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=777/21/202325四、數(shù)值積分(3)3、被積函數(shù)由一個(gè)表格定義在MATLAB中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問(wèn)題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。 例用trapz函數(shù)計(jì)算定積分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163937/21/202326五、數(shù)值微分在MATLAB中，沒(méi)有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：

DX=diff(X)：計(jì)算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。

DX=diff(X,n)：計(jì)算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。

DX=diff(A,n,dim)：計(jì)算矩陣A的n階差分，dim=1時(shí)(缺省狀態(tài))，按列計(jì)算差分；dim=2，按行計(jì)算差分。7/21/202327例x=1:10Y1=diff(x.^2)Y1=35791113151719Y2=diff(x.^2,2)