向量空間的基

向量空間的基第1頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義5.1.1

非空集合稱為域上的向量空間

(vectorspace)或線性空間(linearspace),如果關(guān)于

加法（記作“+”）運算構(gòu)成一個交換群，并且對每個

,在中可惟一地確定一個元素(稱為

與的標量乘法)，使得對所有的，,以

下四個條件都滿足：

(M1);

(M2);

第2頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月(M3);

(M4).

向量空間中的元素稱為向量(vector).域中的元素稱為標量或者純量(scalar).

注在高等代數(shù)課程中,我們涉及到的向量空

間（或線性空間）的基域都是數(shù)域,是無限域,且是

特征為零的域,但我們這里的基域可以是一般的域,

它可以是有限域,且域的特征也可以是素數(shù).

第3頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1集合是域上的

向量空間,其加法運算和標量乘法運算分別為

例2設(shè)是素數(shù),則是一個域.系數(shù)在

上的一元多項式環(huán)是上的向量空間.

例3復(fù)數(shù)域是實數(shù)域上的向量空間,運算

是通常的復(fù)數(shù)的加法和乘法運算.

第4頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4域上的所有矩陣的集合關(guān)于

如下矩陣的加法和標量乘法運算構(gòu)成

上的向量空

間

第5頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5

（這個例子是例3的推廣.雖然它看上去

很平常,但卻是域論中最重要的例子之一）設(shè)是域，

是的子域,那么是上的向量空間.向量空間

的運算就是域中的運算.因此,根據(jù)第三章定理

3.6.5,每個域都可看成是某個素域上的向量空間.

定義5.1.2

設(shè)是域上的向量空間，是的

非空子集.如果關(guān)于的運算也構(gòu)成上的向量空

間,則稱為的子空間．

第6頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6

集合是上

的由所有系數(shù)在域上的多項式組成的向量空間

的子空間.

例7

設(shè)是域上的向量空間，是

中的向量(它們不必互不相同),那么子集

稱為的由張成的子空間.形如

的元素稱為

的線性組

第7頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月合．如果，那么我們稱張成

．一般地,設(shè)是的任一非空子集.如果中任一

元素都是中有限多個元素的線性組合,則稱張成第8頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義5.1.3

向量組稱為在上線性

相關(guān)(linearlydependent),如果存在不全為零的元

,使得.如果

向量組在上不是線性相關(guān)的,則稱為在上線性無

關(guān)(linearly

independent).

例8設(shè),則中的向量組

，，在上是線性無關(guān)的.因為假

設(shè)存在,使得

第9頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月那么,于是.

定義5.1.4

設(shè)是上的向量空間.是的

一個非空子集.如果中任一有限子集都在線性無

關(guān),且張成,則稱為的基.

第10頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9集合

是上的向量空間

.則我們可以證明

是的基.首先我們來證明是線性無關(guān)的.

假設(shè)有

,使得

第11頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月那么有

所以,,從而線性無關(guān).其次,中任何

元素都具有形式

因此,生成,即是的基.

第12頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理5.1.1

如果和都

是域上向量空間的基,那么．

證假設(shè).不妨設(shè).

由于

張成,所以可設(shè),且這些

不全為零,對的順序適當重排后可

設(shè),則張成.

設(shè),

則中至少有

一個不為零,設(shè),

則張成．繼續(xù)

第13頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣下去,有張成.

但此時是

的線性組合,矛盾! □

定義5.1.5

如果一個向量空間具有一個含

個元素的基,則稱的維數(shù)(dimension)是.零空

間稱為是由空集張成的,并規(guī)定它的維數(shù)是0.

可以用集合論的方法證明每個向量空間都有基.

以有限多個元素為基的向量空間(包括零空間)稱為

有限維向量空間(finitedimensionalvectorspace),否

第14頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱為無限維向量空間

(infinitedime