2023屆山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若，，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）（）A． B．C． D．2．已知，，且，若，則（）A． B． C． D．3．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時(shí)間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間周一周二周三周四周五車流量（萬(wàn)輛）100102108114116濃度（微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出與的線性回歸方程是（）參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，；A． B． C． D．4．從名學(xué)生中選取名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行.則每人入選的概率()A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且為 D．都相等，且為5．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，弦過(guò)，若的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A．3 B．4 C．5 D．68．對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r39．已知，是兩個(gè)向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．311．袋中有大小和形狀都相同的個(gè)白球、個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．12．已知命題p：若復(fù)數(shù)，則“”是“”的充要條件；命題q：若函數(shù)可導(dǎo)，則“”是“x0是函數(shù)的極值點(diǎn)”的充要條件．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．14．一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）．在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為15．顏色不同的個(gè)小球全部放入個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的方法有__________．（用數(shù)值回答）16．連續(xù)3次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，在至少有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意都恒成立的的最大值為，證明：．18．（12分）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）證明：；（2）當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值.19．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點(diǎn)，求拋物線的方程和雙曲線的方程．20．（12分）已知（其中且，是自然對(duì)數(shù)的底）.（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（3）若且關(guān)于的不等式在上恒成立，求證：.21．（12分）如圖所示，在以為直徑的半圓周上，有異于的六個(gè)點(diǎn)，直徑上有異于的四個(gè)點(diǎn).則：（1）以這12個(gè)點(diǎn)（包括）中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？（2）以這10個(gè)點(diǎn)（不包括）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

首先計(jì)算出圖形的總面積以及陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)橹苯侨切蔚男边厼?，，，所以，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為，以為直徑的圓面積為.所以圖形總面積，，所以.故選：【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】當(dāng)時(shí)有，所以，得出，由于，所以.故選B.3、B【解析】

利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫(xiě)出回歸直線的方程，得到結(jié)果．【詳解】由題意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫(xiě)出回歸直線方程為；回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).4、C【解析】

按系統(tǒng)抽樣的概念知應(yīng)選C，可分兩步：一是從2018人中剔除18留下的概率是，第二步從2000人中選50人選中的概率是，兩者相乘即得．【詳解】從2018人中剔除18人每一個(gè)留下的概率是，再?gòu)?000人中選50人被選中的概率是，∴每人入選的概率是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣的事件與概率，在這種抽樣機(jī)制中，每個(gè)個(gè)體都是無(wú)差別的個(gè)體，被抽取的概率都相等．5、A【解析】

設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．可得==?|F1F1|，即可得出．【詳解】由橢圓=1，可得a=5，b=4，c==2．如圖所示，設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．則==?|F1F1|，∴4a=|y1﹣y1|×1c，∴|y1﹣y1|==．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義及其性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6、C【解析】分析：畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．詳解：函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，f（x）=1有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴f（x）=﹣a必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問(wèn)題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．7、B【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，作出兩個(gè)函數(shù)圖象，分析其交點(diǎn)情況即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)滿足可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，由函數(shù)可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，畫(huà)出函數(shù)與的圖象如圖所示：設(shè)圖中四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由圖可知，，所以函數(shù)與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力；利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性作出函數(shù)圖象是求解本題的關(guān)鍵；屬于綜合型、難度大型試題.8、A【解析】

根據(jù)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)以及相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，選出正確選項(xiàng).【詳解】由散點(diǎn)圖可知圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負(fù)相關(guān)，故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查相關(guān)系數(shù)、正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的理解，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】分析：先化簡(jiǎn)已知條件，再利用充分條件必要條件的定義判斷.詳解：由題得，所以，所以或或，所以或或.因?yàn)榛蚧蚴堑谋匾浅浞謼l件,所以“”是“”的必要非充分條件.故答案是：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查充分條件和必要條件，考查向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)判定充要條件常用的方法有定義法、集合法、轉(zhuǎn)化法，本題利用的是集合法.10、C【解析】

分段令，解方程即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)零點(diǎn)的求解，涉及指數(shù)和對(duì)數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

分別計(jì)算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯(cuò)誤的認(rèn)為每次抽到白球均為等可能事件.12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等和函數(shù)極值點(diǎn)的概念可判斷p，q的真假；利用真值表判斷復(fù)合命題的真假．【詳解】由復(fù)數(shù)相等的概念得到p：真；若函數(shù)可導(dǎo)，則“”是“x0是函數(shù)的極值點(diǎn)”是錯(cuò)誤的，當(dāng)是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即在這個(gè)點(diǎn)附近，導(dǎo)函數(shù)的值異號(hào)，此時(shí)才是極值點(diǎn)，故q：假，為真.∴由真值表知，為真，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查真值表，復(fù)數(shù)相等的概念，求極值的方法．由簡(jiǎn)單命題和邏輯連接詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假可以用真值表來(lái)判斷，反之根據(jù)復(fù)合命題的真假也可以判斷簡(jiǎn)單命題的真假．假若p且q真，則p真，q也真；若p或q真，則p，q至少有一個(gè)真；若p且q假，則p，q至少有一個(gè)假．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對(duì)求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，再根據(jù)的值確定函數(shù)的最大值．【詳解】，，令，，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，即，時(shí)，，函數(shù)的最大值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值和三角函數(shù)求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．14、0＜r≤1【解析】

設(shè)小球圓心（0，y0）拋物線上點(diǎn)（x，y）點(diǎn)到圓心距離平方r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02若r2最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底,此二次函數(shù)對(duì)稱軸在縱軸左邊，所以1﹣y0≥0所以0＜y0≤1所以0＜r≤1故答案為0＜r≤1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線的基本知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．15、1【解析】分析：利用擋板法把4個(gè)小球分成3組，然后再把這3組小球全排列，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得所有的不同放法的種數(shù)．詳解：在4個(gè)小球之間插入2個(gè)擋板，即可把4個(gè)小球分成3組，方法有種．

然后再把這3組小球全排列，方法有種．

再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得所有的不同方法共有種，

故答案為1．點(diǎn)睛：本題主要考查排列、組合以及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，利用擋板法把4個(gè)小球分成3組，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題16、【解析】試題分析：至少有一次正面向上的概率為，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為，那么滿足題意的概率為．考點(diǎn)：古典概型與排列組合．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，只需應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.（1），定義域?yàn)?，，∵，只需?yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根，，①當(dāng)時(shí)，，∴單增，最多只有一個(gè)實(shí)根，不滿足；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增；∴是的極小值，而時(shí)，，時(shí)，，要有兩根，只需，由，又由，反之，若且時(shí)，則，的兩根中，一個(gè)大于，另一個(gè)小于.在定義域中，連同，共有三個(gè)相異實(shí)根，且在三根的左右，正負(fù)異號(hào)，它們是的三個(gè)極值點(diǎn).綜上，的取值范圍為.（2）對(duì)恒成立，①當(dāng)或1時(shí)，均滿足；②對(duì)恒成立對(duì)恒成立，記，，，，欲證，而，只需證明，顯然成立.下證：，，，，先證：，，，.令，，，，，∴在上單增，∴，∴在上單增，∴，∴在上單增，∴，即證.要證：，.只需證，，而，開(kāi)口向上，上不等式恒成立，從而得證命題成立.點(diǎn)睛：第一問(wèn)函數(shù)有是三個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性滿足函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．第二問(wèn)較為復(fù)雜，將恒成立求參的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，分離變量，求出a滿足的表達(dá)式，再求這個(gè)表達(dá)式的范圍．18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)即可；（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).從而即可得到答案.詳解：（1）∵，∴即∵，∴.（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).∵，∴點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．19、,.【解析】試題分析：首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過(guò)，求出c、p的值，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解．試題解析：依題意，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，∵點(diǎn)P在拋物線上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.∵雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1.又點(diǎn)P在雙曲線上，∴，解方程組,得或(舍去)．∴所求雙曲線的方程為4x2－＝1.20、（1）;（2）當(dāng)或時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為;（3）見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再寫(xiě)出切點(diǎn)坐標(biāo)，就可以寫(xiě)出切線方程．（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得單調(diào)性時(shí)需要分類討論,,，再求最值．（3）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，，求出，再令設(shè)，，求最大值小于，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1），時(shí)，，，，，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.（3）證明：由題意知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，存在使得，即，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，設(shè)，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了最值問(wèn)題，考查了不等式恒成立問(wèn)題.若要證明，一般地，只需說(shuō)明即可；若要證明恒成立，一般只需說(shuō)明即可，即將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.21、（1）360；（2）116.【解析】分析：（1）構(gòu)成四邊形，