無窮級數(shù)冪級數(shù)

無窮級數(shù)冪級數(shù)第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.定義:9.3.1、函數(shù)項級數(shù)的概念2.收斂點與收斂域:第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)項級數(shù)的部分和余項(x在收斂域上)注意函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是收斂域)第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月9.3.2、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:任務(wù)：求冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù)，并研究和函數(shù)的性質(zhì)。第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月證明2、阿貝爾定理第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月推論3、冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?注：冪級數(shù)的收斂域要討論端點的收斂性.第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月證明4、收斂半徑的求法法一：公式法第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月由比值審斂法,第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月定理證畢.第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月說明(2)an不能等于零。而是要用別的方法求R。不可說冪級數(shù)沒有收斂半徑（一定有）第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求下列冪級數(shù)的收斂域:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散級數(shù)收斂域為(-1,1].第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月發(fā)散收斂故收斂域為(0,1].第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,法二：直接利用比值，根值判別法（有缺項）第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂域為第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月9.3.3、冪級數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)乘法(其中柯西乘積第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)即有從中可順序求出第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):(收斂半徑不變)第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(收斂半徑不變)反復(fù)應(yīng)用上述結(jié)論可得：收斂半徑為R,若冪級數(shù)則它的和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)。第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解兩邊積分得第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解收斂區(qū)間(-1,1),第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題9.3第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月9.4函數(shù)展開成冪級數(shù)9.4.1、泰勒級數(shù)

9.4.2、函數(shù)展開成冪級數(shù)

第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月9.4.1、泰勒級數(shù)

1.問題的引入（1）上一節(jié)主要討論冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。反問題：給定一個函數(shù)f(x),能否找到一個冪級數(shù)，他在某區(qū)間上收斂，而其和函數(shù)恰是f(x).若能找到這樣的冪級數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在該區(qū)間上能展開成冪級數(shù)。（2）第三章第三節(jié)泰勒公式中我們知道：如果函數(shù)f(x)在含有x0的某開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直至(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對(a,b)內(nèi)任一點x，有第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月ξ是位于x0、x之間的某個值。誤差為|Rn（x）|。如果函數(shù)f(x)在含有x0的某開區(qū)間(a,b)內(nèi)各階導(dǎo)數(shù)都存在，則Pn(x)的項可無限增加而得一冪級數(shù)：冪級數(shù)（3）稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)。第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：1）此級數(shù)是否收斂？2）若收斂，和函數(shù)是否為f(x)?設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成冪級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn（x）當(dāng)n時的極限為0，即:證明：先證必要性。設(shè)函數(shù)f(x)在U(x0)上能展開成泰勒級數(shù)，即對一切xU(x0)成立。2.定理3）若f(x)能展開冪級數(shù)是否還有其它形式?第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月我們把f(x)的n階泰勒公式（1）寫成：其中sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)（3）的前n+1項的和。因為f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)（4），所以再證充分性：由f(x)的n階泰勒公式有：sn+1(x)=f(x)Rn（x）即函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)收斂，且收斂于f(x)。證畢。在（3）式中若取x0=0,得：f(x)=sn+1(x)+Rn（x）第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3.展開式的唯一性級數(shù)（5）稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù)。第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月泰勒系數(shù)是唯一的,逐項求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)證明第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1直接法：具體步驟如下：（i）求f(x)的各階導(dǎo)數(shù)。（ii）求f(x)的各階導(dǎo)數(shù)在x=0（x=x0)處的值。（iii）寫出f(x)所對應(yīng)的冪級數(shù)，即麥克勞林（泰勒級數(shù)）：并寫出其收斂半徑R。（iv）在（R,R）內(nèi)考察：若為零，則在（

R,R）內(nèi)有9.4.2、函數(shù)展開成冪級數(shù)

第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月得f(x)的麥克勞林級數(shù)：它的收斂半徑為R=+

對任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之間的某個值。得展開式：第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月得f(x)的麥克勞林級數(shù)：它的收斂半徑為R=+

對任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之間的某個值）。得展開式：第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2

間接法：（理論依據(jù)：展開式的唯一性）（i）利用一些已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式。（ii）利用冪級數(shù)的運(yùn)算（四則，逐項求導(dǎo)，逐項積分）。（iii）變量代換。上式對x求導(dǎo)（右端逐項求導(dǎo)）得第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式從0到x逐項積分：第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式從0到x逐項積分：注：逐項積分逐項微分可能改變區(qū)間端點的收斂情況。第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月注應(yīng)熟記下列函數(shù)的冪級數(shù)展開式：第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月m為任意實數(shù)。第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月化為展開成y的冪級數(shù)。第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月習(xí)題9.4第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1、熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法

2、會利用冪級數(shù)的運(yùn)算法則求一些冪級數(shù)的和函數(shù)。

的麥克勞林展開式，并會利用間接展開法將一些函數(shù)展開成冪級數(shù)。

一、內(nèi)容總結(jié)第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月典型例題1填空絕對收斂R=4絕對收斂第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求下列冪級數(shù)的收斂域。（1）解：的收斂半徑分別為R1=1；R2=1又因為當(dāng)|x|=1時該級數(shù)發(fā)散，所以R=1收斂域為(－1，1)。

所以該冪級數(shù)的收斂半徑R≥1。

第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）用根值第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解:因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求冪級數(shù)的和函數(shù)。

解(1)：易知該冪級數(shù)的收斂域為(－1，1)。設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解(2)：

故該冪級數(shù)的收斂域為

第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解(4)：

易知冪級數(shù)的收斂域為（0，2）

令x-1=t

第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解(3)：易知該冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]，設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則于是

第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解(5)：易知所給冪級數(shù)的收斂半徑R=+∞，設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例4求數(shù)項級數(shù)的和。

第61頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月解:原式=第63頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例5將下列函數(shù)展成x的冪級數(shù)。

解(1)