數(shù)學(xué)建模排隊論

數(shù)學(xué)建模排隊論第1頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件2現(xiàn)實生活中的實例：進(jìn)餐館就餐到圖書館借書去售票處購票在車站等車等等第2頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件3一、排隊系統(tǒng)的特征及排隊論：

顧客為了得到某中服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)，若不能獲得服務(wù)而允許排隊等待，則加入等待隊伍，待獲得服務(wù)后離開系統(tǒng)。第3頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件4排隊的形式：顧客到達(dá)隊列服務(wù)臺服務(wù)完成后離去服務(wù)臺1服務(wù)臺2服務(wù)臺s顧客到達(dá)隊列服務(wù)完成后離去顧客到達(dá)隊列1隊列2隊列s服務(wù)臺1服務(wù)臺2服務(wù)臺s服務(wù)完成后離去服務(wù)完成后離去服務(wù)完成后離去第4頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件5隨機服務(wù)系統(tǒng)：輸入來源隊列服務(wù)機構(gòu)排隊系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開第5頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件6二、排對系統(tǒng)的描述系統(tǒng)由三個部分組成：輸入過程排隊和排隊規(guī)則服務(wù)機制第6頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件71、輸入過程（1）顧客總數(shù)量：有限或者無限（2）到達(dá)方式：單個到達(dá)或成批到達(dá)（3）到達(dá)方式：顧客相繼到達(dá)時間間隔的分布，這是刻畫輸入過程的最主要內(nèi)容。令表示第n個顧客到達(dá)的時刻，則有：記假設(shè)：是獨立同分布的，并記其分布函數(shù)為關(guān)于的分布，排隊論中經(jīng)常用到以下幾種：第7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件8①定長分布（D）：顧客相繼到達(dá)時間間隔為確定的常數(shù)，如產(chǎn)品通過傳輸帶進(jìn)入包裝箱②最簡流（或稱poisson分布）（M）：顧客相繼到達(dá)時間間隔為獨立，同負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：第8頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件92、排隊及排隊規(guī)則（1）排隊分為有限和無限排隊①損失制排隊系統(tǒng)：排隊空間為零的系統(tǒng)②混合制排隊系統(tǒng)：等待制和損失制的結(jié)合，是指允許排隊，但是不允許隊列無限長下去，具體的又分三種情況：（?。╆犻L有限，即等待空間有限（ⅱ）等待時間有限，即顧客在系統(tǒng)中等待時間不超過某一給定的長度T（ⅲ）逗留時間（等待時間和服務(wù)時間之和）（系統(tǒng)只能容納K個顧客）第9頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件10不難注意到損失制和等待制可以看成是混合制的特殊情況如記為系統(tǒng)中服務(wù)臺的個數(shù)，當(dāng)時，混合制即為損失制當(dāng)時，即成為等待制。(2)排隊規(guī)則：先來先服務(wù)（FCFS）第10頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件113、服務(wù)機制主要包括：服務(wù)員的數(shù)量及其連接形式（串聯(lián)或并聯(lián)）；顧客是單個還是成批接受服務(wù)的；服務(wù)時間的分布。記某服務(wù)臺的服務(wù)時間為V，其分布函數(shù)為B(t),密度函數(shù)為b(t),則常見的分布有：①定長分布（D）：每位顧客接受的服務(wù)的時間是常數(shù)；②負(fù)指數(shù)分布（M）：每位顧客接受服務(wù)時間相互獨立，具有相同的負(fù)指數(shù)分布：第11頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件12其中為一常數(shù)。③k階愛爾朗分布密度函數(shù)為第12頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件13三、排隊系統(tǒng)的符號表示為了方便對眾多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一種目前在排隊論中被廣泛的使用的“Kendall記號”，一般形式為：X/Y/Z/A/B/C其中X表示顧客相繼到達(dá)時間間隔的分布，Y表示服務(wù)時間分布，Z表示服務(wù)臺的個數(shù)；A表示系統(tǒng)的容納，即可容納最多顧客數(shù)B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則；第13頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件14表示了一個顧客的到達(dá)時間間隔服從相同的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時間為負(fù)指數(shù)分布、單個服務(wù)臺、系統(tǒng)容量為無限、顧客量無限、排隊規(guī)則為先來先服務(wù)的排隊模型。第14頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件15四、排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)和記號1、隊長和排隊長2、等待時間和逗留時間3、忙期和閑期第15頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件16下面給出上述一些主要數(shù)量指標(biāo)的常用記法：時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，即隊長時刻t系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即排隊長時刻t到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間時刻t到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時間上述數(shù)量指標(biāo)與時間有關(guān)的隨機變量，求它們的瞬時分布非常困難。第16頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件17討論系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)下的性質(zhì)：記為時刻t時系統(tǒng)處于狀態(tài)n概率，即系統(tǒng)的瞬時分布根據(jù)前面的約定，我們將主要分析系統(tǒng)的平衡分布，即當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)統(tǒng)計平衡時時所處狀態(tài)n概率，記為又記：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時隊長，其均值為L，稱為平均隊長系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時排隊長，其均值為稱為平均排隊長；系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時顧客的逗留時間，均值為稱為逗留時間；第17頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件18系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時顧客的等待時間，其均值記為稱為平均等待時間；當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時，新來顧客的平均到達(dá)率（單位時間內(nèi)來到系統(tǒng)的平均顧客數(shù)）當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時，整個系統(tǒng)的平均服務(wù)率（單位時間內(nèi)完成的顧客數(shù)）當(dāng)為常數(shù)時，記為當(dāng)每個服務(wù)臺的平均服務(wù)率為常數(shù)時，記為當(dāng)時，有：第18頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件191/ 期望到達(dá)間隔時間1/期望服務(wù)時間服務(wù)強度，或稱使用因子,/(s)五、排隊論原理第19頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件20為了使系統(tǒng)中各個狀態(tài)保持平衡，得到下列方程：

對狀態(tài)對狀態(tài)對狀態(tài)記則平穩(wěn)狀態(tài)分布：第20頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件21則概率分布的要求：有：于是：第21頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件22六、M/M/S等待制排隊模型1、單服務(wù)臺模型①隊長的分布記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊長N的概率分布，注意到記并設(shè)則：第22頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件23因此：其中：第23頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件24②幾個主要數(shù)量指標(biāo)平均隊長：平均排隊長：第24頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件25的負(fù)指數(shù)分布，關(guān)于顧客在系統(tǒng)中的逗留時間T，說明服從參數(shù)因此，平均逗留時間W為：顧客在系統(tǒng)中逗留時間為等待時間和接受服務(wù)時間之和：第25頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件26其中V為服務(wù)時間，故由：可得平均等待時間為：平均隊長與平均逗留時間具有的關(guān)系：平均排隊長與平均等待時間的關(guān)系：稱為little公式第26頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件272、多服務(wù)臺模型記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊長N的概率分布，注意到對個數(shù)s個服務(wù)臺系統(tǒng)，有：記并設(shè)則：第27頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件28其中：第28頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件29幾個主要數(shù)量指標(biāo)平均排隊長：平均隊長：Little公式：第29頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月排隊論課件30其他模型M/M/c/K/K顧客來源是有限的服務(wù)系統(tǒng).例如：

一個飯店有X張桌子和Y個服務(wù)生服務(wù)來源有限的顧客.M/D/1服務(wù)時間不變的服務(wù)系統(tǒng).D/M/1確定性到達(dá)模式,及指數(shù)分布服務(wù)時間.