中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一篇知識(shí)方法固基第三單元函數(shù)11反比例函數(shù)及其應(yīng)用課件

第11講反比例函數(shù)及其應(yīng)用1考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(高頻)

1.定義如果兩個(gè)變量y與x的關(guān)系可以表示成

(k為常數(shù),k≠0)的形式,那么稱y是x的反比例函數(shù),其中x是自變量,常數(shù)k(k≠0)稱為反比例函數(shù)的比例系數(shù).

2.表達(dá)式的確定待定系數(shù)法求表達(dá)式的步驟:(1)設(shè)出反比例函數(shù)表達(dá)式(2)找出滿足反比例函數(shù)表達(dá)式的點(diǎn)P(a,b);(3)將P(a,b)代入表達(dá)式得k=ab

;

(4)確定反比例函數(shù)表達(dá)式為2考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四3.圖象性質(zhì)(1)反比例函數(shù)

(k≠0,k為常數(shù))的圖象是雙曲線,且關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱.

(2)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)3考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四(3)反比例函數(shù)值比較大小的方法①直接代入求解:將各自對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出y值,直接比較;②增減性判斷:先根據(jù)反比例函數(shù)的k值確定反比例函數(shù)的增減性,再看兩點(diǎn)是否在同一分支上,若不在同一分支上,則可直接判斷,若在同一分支上,利用增減性判斷.4考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)二反比例函數(shù)k的幾何意義

1.如圖,過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線PM,PN,所得的矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=,∴xy=k.∴S=|k|,即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線,所得的矩形面積為|k|

.

2.如上圖,過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)E作EF垂直于其中一坐標(biāo)軸,垂足為F,連接EO,則S△EOF=,即過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線,連接該點(diǎn)與原點(diǎn),所得三角形的面積為

.

5考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四3.計(jì)算與雙曲線y=上點(diǎn)有關(guān)的圖形面積6考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)三反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合(高頻)

如圖,過(guò)交點(diǎn)A(xa,ya),B(xb,yb)分別作x軸的垂線,它們連同y軸把平面分為四部分,相應(yīng)標(biāo)為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.1.在Ⅰ,Ⅲ部分,反比例函數(shù)圖象位于一次函數(shù)圖象上方,則不等式ax+b<的解集為x<xb或0<x<xa

.

2.在Ⅱ,Ⅳ部分,反比例函數(shù)圖象位于一次函數(shù)圖象下方,則不等式ax+b>的解集為xb<x<0或x>xa

.

7考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)四反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,列出函數(shù)關(guān)系式.(2)研究自變量的取值范圍.(3)研究所得的函數(shù).(4)檢驗(yàn)x的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi),并求相關(guān)的值.(5)解決提出的實(shí)際問(wèn)題.2.實(shí)際問(wèn)題中的反比例函數(shù),往往自變量的取值受到限制,這時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象應(yīng)是雙曲線的一部分.8命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)3命題點(diǎn)1

反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合1.(2015·安徽,21,12分)如圖,已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于點(diǎn)A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面積;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn),且x1<x2,y1<y2,指出點(diǎn)M,N各位于哪個(gè)象限,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.9命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)3(3)點(diǎn)M在第三象限,點(diǎn)N在第一象限. 8分理由:當(dāng)x1<x2<0時(shí),此時(shí)y1>y2,不合題意,舍去;當(dāng)x1<0<x2時(shí),此時(shí)y1<0,y2>0,y1<y2;當(dāng)0<x1<x2時(shí),此時(shí)y1>y2,不合題意,舍去.綜上所述,點(diǎn)M在第三象限,點(diǎn)N在第一象限. 12分10命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)32.(2013·安徽,9,4分)圖1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖2所示,等腰直角三角形AEF的斜邊EF過(guò)C點(diǎn),M為EF的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(D)A.當(dāng)x=3時(shí),EC<EMB.當(dāng)y=9時(shí),EC>EMC.當(dāng)x增大時(shí),EC·CF的值增大D.當(dāng)y增大時(shí),BE·DF的值不變11命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)3解析

由題意,知△BEC和△DCF都是等腰直角三角形.時(shí),EC·CF的值隨x的增大而增大,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)锽E·DF=BC·CD=xy=9,即BE·DF的值不變,所以D選項(xiàng)正確.故選D.12命題點(diǎn)1命題點(diǎn)2命題點(diǎn)3命題點(diǎn)3

反比例函數(shù)的應(yīng)用提示:(2012安徽,21,12分)見(jiàn)第8講[考題·體驗(yàn)感悟]第4題.13例1(2017·浙江溫州)如圖,矩形OABC的邊OA,OC分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B在第一象限,點(diǎn)D在邊BC上,且∠AOD=30°,四邊形OA'B'D'與四邊形OABD關(guān)于直線OD對(duì)稱(點(diǎn)A'和A,B和B'分別對(duì)應(yīng)),若AB=1,反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A',B,則k的值為

.

考法1考法2考法3考法4考法1反比例函數(shù)表達(dá)式

14考法1考法2考法3考法4方法總結(jié)本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,即把符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)(或一對(duì)x,y值)代入函數(shù)解析式,就可以求出解析式中的未知系數(shù).對(duì)于反比例函數(shù),只需知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(或一對(duì)x,y值)就可以求出它的解析式.151.(2017·遼寧沈陽(yáng))點(diǎn)A(-2,5)在反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象上,則k的值是(D)A.10 B.5C.-5 D.-10考法1考法2考法3考法4對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2.(2017·浙江紹興)如圖,Rt△ABC的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A,B在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AC∥x軸,AC=2,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1)

.

16考法1考法2考法3考法4解析:

如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B向x軸作垂線,垂足依次為C,D.17考法1考法2考法3考法4考法2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例2(2016·山西)已知點(diǎn)(m-1,y1),(m-3,y2)是反比例函數(shù)y=(m<0)圖象上的兩點(diǎn),則y1

y2(填“>”“=”或“<”).

答案

>解析

∵m<0,∴m-3<m-1<0,即點(diǎn)(m-1,y1)和(m-3,y2)在反比例函數(shù)y=的圖象位于第二象限的雙曲線上.∵反比例函數(shù)y=(m<0)的圖象在第二象限y隨x的增大而增大,∴y1>y2.18考法1考法2考法3考法4方法總結(jié)本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì);在利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小時(shí),一定要注意已知的點(diǎn)是否在同一個(gè)象限,若在同一個(gè)象限內(nèi),則根據(jù)函數(shù)增減性比較,如本題;若不在同一個(gè)象限內(nèi),則要根據(jù)函數(shù)值的范圍進(jìn)行比較,如點(diǎn)(-2,y1),(3,y2)在反比例函數(shù)y=-的圖象上,由于k=-1,則圖象位于第二、四象限,又點(diǎn)(-2,y1)在第二象限,y1>0,點(diǎn)(3,y2)在第四象限,y2<0,故y1>0>y2.19考法1考法2考法3考法4對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4.(2017·山東濰坊)已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=,其中ab<0,a,b為常數(shù),它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的圖象可以是(C)5.(2017·上海)如果反比例函數(shù)y=(k是常數(shù),k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),那么在這個(gè)函數(shù)圖象所在的每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小

.(填“增大”或“減小”)

解析:

∵反比例函數(shù)y=(k是常數(shù),k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),∴k=2×3=6>0.∴這個(gè)函數(shù)圖象所在的每個(gè)象限內(nèi),y的值隨x的值增大而減小.20考法1考法2考法3考法4考法3反比例函數(shù)的應(yīng)用

例3(2016·浙江金華)在四邊形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,點(diǎn)H為垂足.設(shè)AB=x,AD=y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為(

)21考法1考法2考法3考法4答案

D方法總結(jié)本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵是找出自變量和函數(shù)之間存在的數(shù)量關(guān)系,而求幾何圖形中變量和函數(shù)之間的關(guān)系往往是通過(guò)找兩個(gè)變量之間的幾何關(guān)系,如變量與函數(shù)是兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊或某個(gè)圖形的底邊和高等,從而通過(guò)相似三角形性質(zhì)或某個(gè)圖形的面積進(jìn)行求解.22考法1考法2考法3考法4對(duì)應(yīng)訓(xùn)練23考法1考法2考法3考法48.(2017·湖北荊門)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,等邊三角形AOB的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)C在邊OA上,點(diǎn)D在邊AB上,且OC=3BD,反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D.則k的值為(A)24考法1考法2考法3考法4解析:

如圖,分別過(guò)點(diǎn)C,D作x軸的垂線,垂足分別為E,F,則△OCE∽△BDF,且相似比為3.25考法1考法2考法3考法4考法4反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合

例4(2016·湖北武漢)已知反比例函數(shù)y=.(1)若該反比例函數(shù)的圖象與直線y=kx+4(k≠0)只有一個(gè)公共點(diǎn),求k的值;(2)如圖,反比例函數(shù)y=(1≤x≤4)的圖象記為曲線C1,將C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得曲線C2,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出C2,并直接寫(xiě)出C1平移至C2處所掃過(guò)的面積.26考法1考法2考法3考法4分析(1)兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),說(shuō)明將兩個(gè)函數(shù)解析式組成方程組,通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程時(shí),該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(2)反比例函數(shù)圖象掃過(guò)的面積雖然不是規(guī)則的圖形的面積,但可以根據(jù)平移的特征轉(zhuǎn)化為規(guī)則的平行四邊形的面積.解

(1)∵=kx+4,∴kx2+4x-4=0.∵兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),∴Δ=16+16k=0,∴k=-1.(2)曲線C2如圖所示.根據(jù)平移的特征,C1平移至C2處所掃過(guò)的面積=2×3=6.27考法1考法2考法3考法4方法總結(jié)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程(以自變量為未知數(shù)的一元二次方程)的根的情況相對(duì)應(yīng),即有兩個(gè)交點(diǎn)?方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;有一個(gè)交點(diǎn)?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;沒(méi)有交點(diǎn)?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.28考法1考法2考法3考法4對(duì)應(yīng)訓(xùn)練9.(2017·江蘇徐州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=kx+b(k≠0)與y=(m≠0