自動(dòng)控制原理課件-003

自動(dòng)控制原理朱亞萍杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型引言2.1

控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型2.2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2.3

非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2.4典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型2.5

框圖及其化簡(jiǎn)方法2.6

信號(hào)流圖引言1.數(shù)學(xué)模型的含義物理模型：一個(gè)理想化的物理系統(tǒng)稱作物理模型。數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)的方法和形式表示和描述系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系。2.靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型動(dòng)態(tài)關(guān)系或動(dòng)態(tài)特性：系統(tǒng)中變量隨時(shí)間而變化，這時(shí)各變量之間的關(guān)系稱為動(dòng)態(tài)關(guān)系或動(dòng)態(tài)特性，系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為動(dòng)態(tài)模型。靜態(tài)關(guān)系或靜態(tài)特性：系統(tǒng)中各變量隨時(shí)間變化緩慢，其對(duì)時(shí)間的變化率（導(dǎo)數(shù)）可忽略不計(jì)時(shí)，這些變量間的關(guān)系稱為靜態(tài)關(guān)系或靜態(tài)特性，系統(tǒng)稱為靜態(tài)系統(tǒng)。相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為靜態(tài)模型?？刂葡到y(tǒng)中常見(jiàn)的三類數(shù)學(xué)模型輸入輸出描述或外部描述用數(shù)學(xué)方式把系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關(guān)系表達(dá)出來(lái)。微分方程式、傳遞函數(shù)和差分方程。用方塊圖（結(jié)構(gòu)圖）和信號(hào)流圖進(jìn)行描述不僅可以描述系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性；它特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)；也適用于時(shí)變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)。狀態(tài)空間描述或內(nèi)部描述注意：同一系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為不同的形式，需要根據(jù)不同的情況對(duì)這些模型進(jìn)行取舍。4.建立數(shù)學(xué)模型的兩種基本方法機(jī)理分析法：適用于比較簡(jiǎn)單的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法：復(fù)雜系統(tǒng)5.數(shù)學(xué)模型的概括性許多表面上完全不同的系統(tǒng)（如機(jī)械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)）有時(shí)卻可能具有完全相同的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型表達(dá)了這些系統(tǒng)的共性。研究系統(tǒng)主要是以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，分析并綜合系統(tǒng)的各項(xiàng)性能，而不再涉及實(shí)際系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體特點(diǎn)。本章將重點(diǎn)討論以下幾類控制系統(tǒng)模型：微分方程傳遞函數(shù)方塊圖（結(jié)構(gòu)圖）信號(hào)流圖2.1

控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型為使建立的數(shù)學(xué)模型既簡(jiǎn)單又具有足夠的精度，在推演系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，必須對(duì)系統(tǒng)作全面深入的考察，以求把那些對(duì)系統(tǒng)性能影響小的一些次要因素略去。用解析法推演系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的前提是對(duì)系統(tǒng)的作用原理和系統(tǒng)中各元件的物理屬性有著深入的了解。5.標(biāo)準(zhǔn)化，將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項(xiàng)放在等號(hào)左側(cè)，并按降冪排列。一、建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟3.從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫(xiě)變化（運(yùn)動(dòng)）過(guò)程中的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組。2.由系統(tǒng)原理線路圖畫(huà)出系統(tǒng)方塊圖。1.根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量。4.消去中間變量，寫(xiě)出輸入、輸出變量的微分方程。一是應(yīng)注意信號(hào)傳遞的單向性，即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)元件的輸入，一級(jí)一級(jí)地單向傳送；二是應(yīng)注意前后連接的兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)。二、列寫(xiě)微分方程時(shí)的注意事項(xiàng)三、電路系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)微分方程建立舉例例2-1圖2-1是由電阻R、電感L和電容C組成的無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，試列寫(xiě)以u(píng)i(t)為輸入量，以u(píng)o(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解設(shè)回路電流為i(t)，由基爾霍夫電壓定律可寫(xiě)出回路方程為：(2-1)式也可以寫(xiě)為:(2-2)(2-1)消去中間變量i(t)，可得描述該無(wú)源網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程:這是一個(gè)典型的二階線性常系數(shù)微分方程，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱為二階線性定常系統(tǒng)。

例2-2

圖2-2是一個(gè)由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路。電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量，試確定這個(gè)電路的微分方程式。整理得:(2-3)解

理想運(yùn)算放大器正、反相輸入端電位相同，且輸入電流為零。根據(jù)基爾霍夫電流定律有:式中T=RC為時(shí)間常數(shù)。方程(2-3)和(2-4)就是該系統(tǒng)的微分方程，這是一個(gè)一階系統(tǒng)。(2-4)或者為:例2-3

圖2-3表示一個(gè)含有彈簧、運(yùn)動(dòng)部件、阻尼器的機(jī)械位移裝置。外力f(t)是系統(tǒng)的輸入量，位移y(t)是系統(tǒng)的輸出量。試確定系統(tǒng)的微分方程。解根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:(2-5)(2-6)或?qū)懗?思考：比較表達(dá)式(2-2)和(2-6)可以得到什么結(jié)論？(2-7)四、SISO線性定常系統(tǒng)的微分方程描述的標(biāo)準(zhǔn)形式式中：r(t)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)；c(t)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)；ai(i=1,2,…n)和bj(j=0,1,…m)是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的系數(shù)。

說(shuō)明：控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時(shí)間t的函數(shù)；很多常見(jiàn)的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個(gè)微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)或積分；這種微分方程又稱為動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程；微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù)，又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。五、相似系統(tǒng)和相似變量可以用一種比較容易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)模擬其他較難實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。根據(jù)相似系統(tǒng)的概念，一種物理系統(tǒng)研究的結(jié)論可以推廣到其相似系統(tǒng)中。在相似系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中，作用相同的變量稱為相似變量。數(shù)學(xué)模型相同的各種物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)；彈簧阻尼系統(tǒng)RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)力f電壓u質(zhì)量m電感L粘滯摩擦系數(shù)μ電阻R彈簧系數(shù)k電容的倒數(shù)1/C線位移y電荷q速度v電流i相似系統(tǒng)中的相似變量2.2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型一、引言微分方程是系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型，它提供了分析問(wèn)題的全部信息。給定外部作用和初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種方法很直觀，借助計(jì)算機(jī)可以快速、準(zhǔn)確求出方程的解。但是，如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，就要重新列寫(xiě)并求解微分方程，不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。拉普拉斯（Laplace）變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解線性常微分方程的有力工具，它可以將時(shí)域的微分方程轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域中的代數(shù)方程，并且可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不但可以反映系統(tǒng)的輸入、輸出動(dòng)態(tài)特性，而且可以間接反映結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛采用的頻域法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來(lái)的。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。1.拉氏變換的定義二、Laplace變換的回顧通常將F(s)稱作f(t)的象函數(shù)，將f(t)稱作F(s)的原函數(shù)。若將實(shí)變量t的函數(shù)f(t)乘上指數(shù)函數(shù)e-st（其中s=σ+jω

是一個(gè)復(fù)數(shù)），并且在[0,+∞]上對(duì)t積分，就可以得到一個(gè)新的函數(shù)F(s)，稱F(s)為f(t)的拉氏變換，并用符號(hào)L[f(t)]表示。2.拉氏變換的基本定理積分定理微分定理如果初始條件線性定理2.拉氏變換的基本定理初值定理終值定理三、傳遞函數(shù)的定義

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下面的n階線性常微分方程描述：c(0)=c(1)(0)=c(2)(0)=L=c(n-1)(0)=c(n)(0)＝0如果系統(tǒng)滿足如下零初始條件：r(0)=r(1)(0)=r(2)(0)=L=r(m-1)(0)=r(m)(0)＝0則根據(jù)拉氏變換的定義和性質(zhì)，對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，可得：由傳遞函數(shù)的定義可得：M(s)和N(s)分別稱為傳遞函數(shù)G(s)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式。例2-4

試確定圖2-1所示的RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?？傻脧?fù)頻域的代數(shù)方程： 在零初始條件下，對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，并令：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：解由例2-1可知，RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程為：例2-5試確定如圖2-2所示的運(yùn)算放大器電路的傳遞函數(shù)。在零初始條件下，對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，可得復(fù)頻域的代數(shù)方程：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：解由例2-2可知，運(yùn)算放大器電路系統(tǒng)的微分方程為:例2-6

試確定如圖2-3所示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在零初始條件下，對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，可得復(fù)頻域的代數(shù)方程：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：解由例2-3可知，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：五、傳遞函數(shù)的特點(diǎn)和有關(guān)概念傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）完全取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)；與輸入信號(hào)的具體形式和大小無(wú)關(guān)；只反映了輸入和輸出之間的因果關(guān)系；不反映系統(tǒng)的任何內(nèi)部信息。圖2－4

傳遞函數(shù)的示圖1.傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)

控制系統(tǒng)的零初始條件有兩層含義：一是指輸入量在t≥0時(shí)才起作用；二是指輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)均為零。2.傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的對(duì)于多個(gè)輸入、一個(gè)輸出的LTI系統(tǒng)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了指定的輸入量以外，其它輸入量（包括常值輸入量）一概視為零。對(duì)于多輸入、多輸出LTI系統(tǒng)，不同輸入和輸出之間的傳遞函數(shù)將得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。3.傳遞函數(shù)主要適用于單輸入、單輸出的情況4.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；理論分析和實(shí)驗(yàn)都指出：對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)和元件而言，輸入量和它所引起的響應(yīng)（輸出量）之間的傳遞函數(shù)，分子多項(xiàng)式M(s)的階次m總是小于分母多項(xiàng)式N(s)的階次n。它反映了一個(gè)基本事實(shí)：一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不可能立即復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，只有經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，輸出量才能達(dá)到輸入量所要求的數(shù)值。即一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)其能量是有限的，并且都有慣性。傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)，分別與相應(yīng)微分方程的右端及左端微分算符多項(xiàng)式系數(shù)相對(duì)應(yīng)；將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便可以得到傳遞函數(shù);將傳遞函數(shù)中的復(fù)數(shù)s用算符d/dt置換便可以得到微分方程。

5.傳遞函數(shù)與線性常微分方程一一對(duì)應(yīng)

可得s的代數(shù)方程：例如，由傳遞函數(shù):用算符d/dt置換復(fù)數(shù)s，便得到相應(yīng)的微分方程：令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母等于零所得方程稱為特征方程，即N(s)=0。特征方程的根稱為特征根，也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)分子等于零所得方程的根稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)。6.傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)7.傳遞函數(shù)的特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。分子、分母多項(xiàng)式形式零極點(diǎn)增益形式時(shí)間常數(shù)形式8.傳遞函數(shù)的三種形式2.3非線性微分方程的線性化系統(tǒng)、元件非線性特性的普遍存在性；精確描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程通常為非線性微分方程；高階非線性微分方程除計(jì)算機(jī)求解外，無(wú)一般形式的解，這給研究系統(tǒng)帶來(lái)理論上的困難。輸出輸入O(a)飽和輸出輸入O(b)死區(qū)輸出輸入O(d)繼電輸出輸入O(c)間隙圖2-5非線性特性對(duì)于2-5(a)，當(dāng)輸入信號(hào)很小時(shí)，忽略非線性影響，近似為放大特性；對(duì)于2-5(b)、(c)，當(dāng)死區(qū)或間隙很小時(shí)，也可近似為放大特性。一、對(duì)弱非線性的線性化當(dāng)Δx很小時(shí)，可得二、平衡位置的小偏差線性化

考慮輸入、輸出變量之間的非線性關(guān)系y=f(x)，系統(tǒng)經(jīng)常工作在平衡點(diǎn)A(x0，y0)處，則A點(diǎn)附近的輸入、輸出關(guān)系可用Talor級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法得到，即上式是A點(diǎn)處的切線方程。若非線性函數(shù)具有兩個(gè)自變量，如z=f(x,y)，則在平衡點(diǎn)展成Talor級(jí)數(shù)后的線性方程為經(jīng)上述處理，有些非線性關(guān)系可以近似用線性關(guān)系表示，簡(jiǎn)化問(wèn)題研究。但是對(duì)于強(qiáng)非線性情況（圖2-5(d)），不可能對(duì)其進(jìn)行線性化處理，只能采用非線性理論來(lái)分析。采用平衡點(diǎn)A處的切線方程代替非線性方程y=f(x)，這就是小偏差線性化的幾何意義。三、注意事項(xiàng)1.線性化方程中的參數(shù)與選擇的工作點(diǎn)有關(guān)，工作點(diǎn)不同時(shí)，相應(yīng)的參數(shù)也不同。因此，在進(jìn)行線性化時(shí)，應(yīng)首先確定工作點(diǎn)；2.當(dāng)輸入量變化范圍較大時(shí)，用上述方法建模勢(shì)必引起較大的誤差。所以，在進(jìn)行線性化時(shí)要注意它的條件，包括信號(hào)變化的范圍；3.若非線性特性是不連續(xù)的，由于在不連續(xù)點(diǎn)的鄰域不能得到收斂的泰勒級(jí)數(shù)，因此不能采用上述方法；4.線性化以后得到的微分方程，是增量方程。為了簡(jiǎn)化方程，略去增量的表示符號(hào)△。一、比例環(huán)節(jié)

2.4

典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻（電位器），感應(yīng)式變送器等。比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為：式中K為增益。特點(diǎn)：含一個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入，其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。實(shí)例：直流伺服電動(dòng)機(jī)的勵(lì)