第六章糾錯(cuò)編碼3近世代數(shù)簡介資料課件

信道編碼理論信道編碼定理和方法

之近世代數(shù)簡介

近世代數(shù)簡介群、環(huán)、域多項(xiàng)式剩余類環(huán)和域多項(xiàng)式域和循環(huán)群集合的運(yùn)算如果在集合G中任意兩個(gè)元素按照一定的結(jié)合法則結(jié)合起來仍等于G中一個(gè)確定的元素，則這個(gè)結(jié)合法則稱為集合G的一個(gè)運(yùn)算。群(Group)定義對(duì)于一個(gè)非空元素集合G以及定義在G上的某種運(yùn)算“*”，滿足以下3個(gè)條件，則稱G關(guān)于運(yùn)算“*”構(gòu)成一個(gè)群，記作（G，*）

群(Group)群(Group)※加群一定是交換群，加群一定含零元素※乘群不一定是交換群，乘群一定不含零元素?zé)o限群：包含無數(shù)個(gè)元素的群稱為無限群。有限群：包含有限個(gè)元素的群稱為有限群。群的階：有限群元素的個(gè)數(shù)稱為該群的階。子群(Sub-Group)子群(Sub-Group)例2-1群與子群基本概念例2-1：令R、I、E分別是有理數(shù)、整數(shù)、偶數(shù)集合，則：(E,+)是(I,+)的子群；單位元均是0；

(I,+)是(R,+)的子群；單位元均是0；※奇數(shù)集合O在加法運(yùn)算下構(gòu)不成群（∵不滿足封閉性）例2-2單位元與逆元例2-2：集合G={0,1,2…m-1}在模m加（用符號(hào)表示）運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群（G，）。則：該加群是m階有限群；

單位元是e=0；

逆元：元素0的逆元是0；元素1的逆元是m-1；元素2的逆元是m-2；……例2-3有限乘群例2-3：集合G={1,2…q-1}在模q乘（q是素?cái)?shù)）運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)乘群（G，）。例2-3有限乘群的模結(jié)論：有限乘群的模一定要是素?cái)?shù)，如果模為合數(shù)，其某個(gè)元素（因子）一定能整除它，不會(huì)產(chǎn)生一個(gè)余數(shù)1（單位元），由此將導(dǎo)致該元素的逆元不存在。域(Field)定義

F是一個(gè)非空集合，在F中規(guī)定兩種運(yùn)算，一種叫做加法，他的運(yùn)算結(jié)果記為a+b,一種叫乘法，它的運(yùn)算結(jié)果記為a·b，，且滿足如下性質(zhì)：則該F對(duì)所規(guī)定的兩種運(yùn)算是一個(gè)域，記作（Ｆ,+,·）。域(Field)域(Field)近世代數(shù)簡介群、環(huán)、域多項(xiàng)式剩余類環(huán)和域多項(xiàng)式域中和循環(huán)群多項(xiàng)式剩余類環(huán)和域多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)多項(xiàng)式環(huán)和理想子環(huán)例2-7剩余類環(huán)例2-7剩余類環(huán)近世代數(shù)簡介群、環(huán)、域多項(xiàng)式剩余類環(huán)和域多項(xiàng)式域和循環(huán)群多項(xiàng)式域和循環(huán)群多項(xiàng)式基本術(shù)語多項(xiàng)式基本術(shù)語多項(xiàng)式基本術(shù)語例2-8本原多項(xiàng)式和既約多項(xiàng)式例2-8:(1)x4+x+1(q=2,m=4,2m-1=15)

不能被x5+1,x6+1……x14+1整除

能被x15+1整除∴x4+x+1是本原多項(xiàng)式

(2)x4+x3+x2+x+1

能被x5+1整除能被x15+1整除∴x4+x3+x2+x+1是既約的，但不是本原的例2-9循環(huán)群多項(xiàng)式域存在定理多項(xiàng)式域存在定理多項(xiàng)式域存在定理尋找循環(huán)群的生成元尋找循環(huán)群的生成元構(gòu)成循環(huán)群的步驟判斷本原元和非本原元判斷本原元和非本原元例2-10二元擴(kuò)域和循環(huán)群的構(gòu)成例2-10二元擴(kuò)域和循環(huán)群的構(gòu)成例2-10二元擴(kuò)域和循環(huán)群的構(gòu)成例2-10二元擴(kuò)域和循環(huán)群的構(gòu)成域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式域元素/根/最小多項(xiàng)式例2-11共軛元與最小多項(xiàng)式例2-11共軛元與最小多項(xiàng)式例2-11