基本不等式ab≤a+b-課件

基本不等式ab≤a+b1．探索并了解基本不等式的證明過程．2．能利用基本不等式證明簡單不等式．3．熟練掌握基本不等式及變形應(yīng)用．4．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．1．本課難點是利用基本不等式證明不等式．2．利用基本不等式求最值是本課熱點．3．多以選擇題、填空題形式考查，偶以解答題形式考查．1．由不等式性質(zhì)可知，對任意a，b∈R，(a－b)2

0，因此a2＋b2

2ab.什么時候等號能成立呢？當(dāng)且僅當(dāng)

時，取等號．2．把一個物體放在天平的一個盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質(zhì)量為a.如果天平制造得不精確，天平的兩臂長略有不同(其他因素不計)，那么a并非物體的實際質(zhì)量．不過，我們可作第二次測量：把物體調(diào)換到天平的另一個盤上，此時稱得物體的質(zhì)量為b.那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？≥≥a＝b1．基本不等式(1)重要不等式：對于任意實數(shù)a、b，都有a2＋b2

2ab，當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立．(2)基本不等式①形式：

②成立的前提條件： ；③等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號．≥a＝ba>0，b>0a＝b2．應(yīng)用基本不等式求最值如果x，y都是正數(shù)，那么(1)若積xy是定值P，那么當(dāng)

時，和x＋y有

(2)若和x＋y是定值S，那么當(dāng)

時，積xy有

算術(shù)平均數(shù)

幾何平均數(shù)．

x＝y(tǒng)最小值．x＝y(tǒng)最大值．1．不等式m2＋1≥2m中等號成立的條件是(

)A．m＝1

B．m＝±1C．m＝－1D．m＝0解析：

m2＋1＝2m時，m＝1.故選A.答案：

A答案：

B3．設(shè)a，b∈R，a＝3－b，則2a＋2b的最小值是________．(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立．∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.利用基本不等式時，應(yīng)按照“一正，二定，三相等”的原則創(chuàng)造條件，檢查條件是否具備，再利用基本不等式解之．[題后感悟]

(1)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件．(2)等號取不到時，注意利用求函數(shù)最值的其他方法，如利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合、換元法、判別式法等．

當(dāng)且僅當(dāng)x－8＝2(y－1)時，即x＝12，y＝3時上式取等號，故當(dāng)x＝12，y＝3時，(x＋2y)min＝18.[題后感悟]在利用基本不等式求最值時，除注意“一正、二定、三相等”的條件外，最重要的是構(gòu)建“定值”，恰當(dāng)變形、合理拆分項或配湊項是常用的解題技巧．

3．設(shè)x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運(yùn)會期間進(jìn)行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x(萬件)與年促銷費t(萬元)之間滿足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷售完．(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)．(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？(注：利潤＝銷售收入－生產(chǎn)成本－促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用＋生產(chǎn)費用)[題后感悟]不等式應(yīng)用的特點是：(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如“物價、銷售、稅收”等．題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，應(yīng)注意如下思路和方法：①先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；④正確寫出答案．4．某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)費900元．求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？解析：

設(shè)該廠每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸．由題意可知，面粉的保管費及其他費用為3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．設(shè)平均每天所支付的總費用為y1元，1．利用基本不等式求最值時，應(yīng)注意的問題(1)各項均為正數(shù)，特別是出現(xiàn)對數(shù)式、三角函數(shù)式等形式時，要認(rèn)真判斷．(2)求和的最小值需積為定值，求積的最大值需和為定值．(3)確保等號成立．以上三個條件缺一不可．可概括為“一正、二定、三相等”．