【2022人教A版數(shù)學(xué)】《兩個(gè)變量的線性相關(guān)》 省賽獲獎(jiǎng)

2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān).問(wèn)題1：商品銷售收入與廣告支出之間的關(guān)系.問(wèn)題2:糧食產(chǎn)量和施肥量之間的關(guān)系.問(wèn)題3:人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系.兩個(gè)變量之間的關(guān)系,可能是確定關(guān)系或非確定關(guān)系.當(dāng)自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性時(shí),兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系.問(wèn)題4:在一次對(duì)人體的脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.5根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體的脂肪含量和年齡之間有怎樣的關(guān)系?1、前面我們學(xué)習(xí)了現(xiàn)實(shí)生活中存在許多相關(guān)關(guān)系：商品銷售與廣告、糧食生產(chǎn)與施肥量、人體的脂肪量與年齡等等的相關(guān)關(guān)系.2、通過(guò)收集大量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)數(shù)據(jù)分析，找出其中的規(guī)律，對(duì)其相關(guān)關(guān)系作出一定判斷..3、由于變量之間相關(guān)關(guān)系的廣泛性和不確定性，所以樣本數(shù)據(jù)應(yīng)較大，和有代表性.才能對(duì)它們之間的關(guān)系作出正確的判斷.探究：.年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.5根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體的脂肪含量和年齡之間有怎樣的關(guān)系?從剛才的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點(diǎn)的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成正相關(guān)。

但有的兩個(gè)變量的相關(guān)，如下圖所示：如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程，稱它們成負(fù)相關(guān).O我們?cè)儆^察它的圖像發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)大致分布在一條直線附

近,像這樣，如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在

一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相

關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線，該直線叫回歸方程。那么，我們?cè)撛鯓觼?lái)求出這個(gè)回歸方程？請(qǐng)同學(xué)們展開(kāi)討論，能得出哪些具體的方案？20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540..方案1、先畫(huà)出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離，再移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小時(shí)，測(cè)出它的斜率和截距，得回歸方程。20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540如圖：.方案2、在圖中選兩點(diǎn)作直線，使直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540方案3、如果多取幾對(duì)點(diǎn)，確定多條直線，再求出

這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸

直線的斜率和截距。而得回歸方程。如圖我們還可以找到更多的方法，但這些方法都可行嗎?科學(xué)嗎？準(zhǔn)確嗎？怎樣的方法是最好的？20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540我們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的方法稱為回歸方法。我們上面給出的幾種方案可靠性都不是很強(qiáng)，

人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐與研究，已經(jīng)找到了

計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式:以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡(jiǎn)單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。（參看如書(shū)P8９）問(wèn)題5:某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫