第5章-離散型概率分布課件

實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)花旗銀行（citibank)是美國(guó)花旗集團(tuán)的一個(gè)分支機(jī)構(gòu)，提供包括銀行支票、儲(chǔ)蓄、貸款、保險(xiǎn)、投資等在內(nèi)的廣泛的金融服務(wù)。它是美國(guó)最早引進(jìn)自動(dòng)柜員機(jī)(ATM)的銀行之一，花旗銀行的客戶(hù)80%的交易都是通過(guò)ATM自動(dòng)柜員機(jī)來(lái)完成。每個(gè)花旗銀行的卡務(wù)中心都且套排隊(duì)等候系統(tǒng)，銀行定期對(duì)卡務(wù)中心的客流量進(jìn)行分析，以決定是否需要增加新的ATM機(jī)，

根據(jù)花旗銀行的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：隨機(jī)到達(dá)的顧客人數(shù)服從泊松分布。利用泊松分布，花旗銀行可以計(jì)算在任意時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的一定人數(shù)的概率，從而決定是否需要相應(yīng)增加ATM機(jī)的數(shù)目。

如令X代表1分布內(nèi)到達(dá)的客戶(hù)人數(shù)。假設(shè)平均每分鐘內(nèi)到達(dá)某個(gè)卡務(wù)中心的人數(shù)為2，右表顯示了1分鐘內(nèi)到達(dá)人數(shù)的概率：本章要點(diǎn):第5章離散型概率分布隨機(jī)變量離散型概率分布數(shù)學(xué)期望與方差二項(xiàng)概率分布泊松概率分布超幾何概率分布

為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。隨機(jī)變量的引入

一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果與數(shù)有關(guān)(試驗(yàn)結(jié)果就是一個(gè)數(shù))；

另一方面，有些試驗(yàn)，其結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但可引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果。

試驗(yàn)結(jié)果可以數(shù)值化。有些試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值有關(guān)的例3.七月份廣州的最高氣溫；1.每天廣州站下火車(chē)的人數(shù)；2.每年12月份廣州發(fā)生交通事故的次數(shù)；4.

一部電梯一年內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)…。結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實(shí)例6

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

5.記錄某公共汽車(chē)站某日上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù).實(shí)例7

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實(shí)例8

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.

“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實(shí)例例1:拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，將這兩個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)到實(shí)數(shù)如下：還有些試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但可引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示試驗(yàn)的各種結(jié)果的例,如:例2:

連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣3次,所有可能的樣本點(diǎn)為:{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}若用X表示出現(xiàn)正面向上的次數(shù)，則上述結(jié)果都可用X的取值來(lái)表示：例3:袋中有6個(gè)大小形狀都一樣的球,其中3個(gè)是白球,3個(gè)是黑球,現(xiàn)從中任取3個(gè),分別求下列結(jié)果的概率："3個(gè)都是黑球"、"3個(gè)都是白球","2個(gè)白球1個(gè)黑球"、"2個(gè)黑球1個(gè)白球"若用X表示取出結(jié)果中含白球的個(gè)數(shù)，則上述結(jié)果都可用X的取值來(lái)表示：隨機(jī)變量(randomvariables)定義:隨試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的量符號(hào)表示:隨即變量用X、Y、Z來(lái)表示分類(lèi):根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X

取有限個(gè)值所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)x1,x2，…離散型隨機(jī)變量的例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品電腦公司一個(gè)月的銷(xiāo)售觀察到商店購(gòu)買(mǎi)某種商品的顧客的性別取到次品的個(gè)數(shù)銷(xiāo)售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X

取無(wú)限個(gè)值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件去車(chē)站等車(chē),車(chē)每隔5分鐘一班測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度使用壽命(小時(shí))等車(chē)時(shí)間測(cè)量誤差(cm)X00

X5X0練習(xí)判斷下列隨機(jī)變量的可取值及判斷隨機(jī)變量是離散的還是連續(xù)的。離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來(lái)表示Xx1，x2

，…，xn,…

f(x)f(x1)，f(x2)

，…

,f(xn),...

f(xi)=P(X=xi)稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù),滿(mǎn)足:

xf(x)00.1810.3920.2430.1440.0450.01合計(jì)1例1：某汽車(chē)公司一天中汽車(chē)銷(xiāo)售量X的概率分布,根據(jù)過(guò)去300天的銷(xiāo)售記錄顯示:

54天一輛汽車(chē)都沒(méi)賣(mài)出

117天只賣(mài)出1輛汽車(chē)

72天賣(mài)出2輛汽車(chē)

42天賣(mài)出3輛汽車(chē)

12天賣(mài)出4輛汽車(chē)

3天賣(mài)出5輛汽車(chē)?yán)?:

投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X是個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X

123456f(x)1/61/61/61/61/61/601/6f(x)1x23456均勻分布練習(xí)連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣3次,若用X表示出現(xiàn)正面向上的次數(shù),試寫(xiě)出X的概率分布.X0123f(x)1/8

3/83/81/8練習(xí)下表所示為MRA公司營(yíng)業(yè)第一年計(jì)劃利潤(rùn)（x=以1000美元計(jì)的利潤(rùn)）的部分概率分布。負(fù)值代表虧損。a.f(200)的值是多少？你怎樣解釋這個(gè)值？b.MRA盈利的概率是多少？c.MRA至少盈利100000美

元的概率是多少？xf(x)-1000.1000.20500.301000.251500.10200隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望：度量隨機(jī)變量平均值或中心位置的量度。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式:

練習(xí)某人花2元買(mǎi)彩票，他抽中100元獎(jiǎng)的概率是0.1%，抽中10元獎(jiǎng)的概率是1%，抽中1元獎(jiǎng)的概率是20%，假設(shè)各種獎(jiǎng)不能同時(shí)抽中，試求：1）此人收益X的概率分布；2）收益的期望值.解：收益X的概率分布為：X1001010f(x)0.0010.010.20.789

=0.4(元)隨機(jī)變量的方差方差：度量隨機(jī)變量的變異或離散程度。離散型隨機(jī)變量的方差的計(jì)算公式:離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差

練習(xí)以下是隨機(jī)變量y

的概率分布。a.計(jì)算E(y)。b.計(jì)算Var(y)。練習(xí)某公司正在考慮一項(xiàng)廠房擴(kuò)建計(jì)劃，一項(xiàng)未確定的因素是新產(chǎn)品的需求量，其預(yù)期可能是低、中或高。公司的策劃者已得出中型和大型擴(kuò)充工程的利潤(rùn)預(yù)測(cè)：a.哪一個(gè)決定對(duì)實(shí)現(xiàn)期望利潤(rùn)最大化的目標(biāo)更優(yōu)？b.哪一個(gè)選擇對(duì)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)或不確定性最小的目標(biāo)更優(yōu)？常見(jiàn)的離散型概率分布泊松分布離散型隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)試驗(yàn)二項(xiàng)試驗(yàn)的性質(zhì)(1)試驗(yàn)由一個(gè)包括n次相同的試驗(yàn)的序列組成。(2)每次試驗(yàn)有兩種可能結(jié)果。我們把其中一個(gè)稱(chēng)為成功，另一個(gè)稱(chēng)為失敗。(3)成功的概率，用p來(lái)表示，各個(gè)試驗(yàn)都相同。于是，失敗的概率用1-p表示，也都相同。(4)試驗(yàn)都是獨(dú)立的。28注:二項(xiàng)試驗(yàn)中的”成功”與”失敗”是泛指,它們可以是：賭博中輸與贏抽簽的中與不中設(shè)備的好與壞民意測(cè)驗(yàn)中贊成與反對(duì)回答問(wèn)題時(shí)的答對(duì)與錯(cuò)....考慮接下去即將光臨馬丁服裝店的三位顧客購(gòu)買(mǎi)服裝的情況.在接下來(lái)的每一位光臨服裝店的顧客,如果購(gòu)買(mǎi)了服裝即為"成功",如果沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)即為"失敗".根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),商店經(jīng)理估計(jì)每位顧客購(gòu)買(mǎi)服裝的概率為0.3,則接下來(lái)即將光臨服裝店的三位顧客中有2位顧客會(huì)購(gòu)買(mǎi)服裝的概率是多少?馬丁服裝店問(wèn)題統(tǒng)計(jì)圖表30統(tǒng)計(jì)圖表31統(tǒng)計(jì)圖表32統(tǒng)計(jì)圖表33統(tǒng)計(jì)圖表34統(tǒng)計(jì)圖表35統(tǒng)計(jì)圖表36統(tǒng)計(jì)圖表37統(tǒng)計(jì)圖表38二項(xiàng)概率分布在二項(xiàng)試驗(yàn)的n次重復(fù)試驗(yàn)中”成功”的總次數(shù)記為X,則X的概率函數(shù)為:

,x=0,1,2,...,n

,x=0,1,2,...,n統(tǒng)計(jì)圖表40統(tǒng)計(jì)圖表41統(tǒng)計(jì)圖表42統(tǒng)計(jì)圖表43統(tǒng)計(jì)圖表44統(tǒng)計(jì)圖表45統(tǒng)計(jì)圖表46統(tǒng)計(jì)圖表47統(tǒng)計(jì)圖表48統(tǒng)計(jì)圖表49

二項(xiàng)分布例

例1

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，重復(fù)地?cái)S5次，記正面向上的次數(shù)為隨機(jī)變量X，1）求X=2的概率2）若分幣質(zhì)地不均勻，出現(xiàn)正面的概率為2/3，求重復(fù)擲5次時(shí)X=2的概率二項(xiàng)分布例

袋中有10個(gè)大小外形一樣的球，其中白球7個(gè)，紅球3個(gè)，現(xiàn)依次從中隨機(jī)的取5個(gè)球（不放回），記取中白球數(shù)為X，請(qǐng)問(wèn)X是否服從二項(xiàng)分布？思考

二項(xiàng)分布表的使用練習(xí)一個(gè)美國(guó)個(gè)人投資者協(xié)會(huì)的調(diào)查顯示，23％的該協(xié)會(huì)成員購(gòu)買(mǎi)了原始股（IPO），在一個(gè)由12個(gè)美國(guó)個(gè)人投資者協(xié)會(huì)成員組成的樣本中，a.恰有3個(gè)成員購(gòu)買(mǎi)IPO的概率是多少？b.至少1個(gè)成員購(gòu)買(mǎi)IPO的概率是多少？c.2個(gè)或更多成員購(gòu)買(mǎi)IPO的概率是多少？二項(xiàng)分布

(例題分析)練習(xí)

一張考卷上有5道題目，每道題列出4個(gè)備選答案，其中有一個(gè)是正確的。某學(xué)生憑猜測(cè)答對(duì)4道以上題目的概率是多少？解：由于每道題目的回答是相互獨(dú)立的，各題答對(duì)的概率均為0.25，故答對(duì)數(shù)量服從二項(xiàng)分布，X

~B(5,0.25),答對(duì)4道以上，即X取4或5兩種情況，其概率為

二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差

一段時(shí)間內(nèi)車(chē)站侯車(chē)的乘客人數(shù)一段時(shí)間內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)什么樣的隨機(jī)變量服從泊松分布？一段時(shí)間內(nèi)某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)小概率事件在一段時(shí)間內(nèi)或一定空間內(nèi)發(fā)生的總次數(shù)X便服從泊松分布，如：銀行在一段時(shí)間內(nèi)接待的顧客數(shù)保險(xiǎn)公司一個(gè)月內(nèi)接到的索賠次數(shù)銀行在一段時(shí)間內(nèi)接待的顧客數(shù)*泊松分布為二項(xiàng)分布的極限化在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為

,記X為A發(fā)生的總次數(shù),則對(duì)任意給定的k有：一段時(shí)間內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)s炸彈爆炸后落在平面上某區(qū)域的碎彈片個(gè)數(shù)什么樣的隨機(jī)變量服從泊松分布？泊松分布描述一段時(shí)間內(nèi)某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)小概率事件在一段時(shí)間內(nèi)或一定空間內(nèi)發(fā)生的總次數(shù)X便服從泊松分布，如：在10英里長(zhǎng)的高速公路上需要修理的數(shù)目一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)落在顯微鏡上某種細(xì)菌個(gè)數(shù)…泊松（Poisson）分布的Poisson分布，記作若隨機(jī)變量X只取非負(fù)整數(shù)0,1,2,...,且概率函數(shù)為：其中μ是常數(shù)，則稱(chēng)

X

服從參數(shù)為μ

泊松分布的期望與方差：

解:例:某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)

X

服從參數(shù)為0.8的泊松分布。求該城市一天內(nèi)發(fā)生

3

次以上火災(zāi)的概率。P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474.泊松分布

(例題分析)例

假定某企業(yè)的職工中在周一請(qǐng)假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請(qǐng)事假的平均人數(shù)為2.5人。求

（1）X

的均值及標(biāo)準(zhǔn)差

（2）在給定的某周一正好請(qǐng)事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)練習(xí)Regional航空公司的預(yù)訂票處每小時(shí)有48次電話(huà)。a.求5分鐘時(shí)間中接到3次電話(huà)的概率。b.求15分鐘時(shí)間中恰好接到10次電話(huà)的概率。c.假設(shè)現(xiàn)在沒(méi)有打電話(huà)者在等待，如果代理人花5分鐘完成現(xiàn)在的電話(huà)，在那段時(shí)間里預(yù)期有多少個(gè)打電話(huà)者在等待？沒(méi)有人等待的概率是多少？d.如果現(xiàn)在沒(méi)有電話(huà)，代理人可花3分鐘時(shí)間休息而不被打擾的概率是多少？超幾何概率分布超幾何