三角形基礎(chǔ)講義和復(fù)習(xí)

三角形基礎(chǔ)講義和復(fù)習(xí)

第三章基礎(chǔ)講義【知識(shí)點(diǎn)】1.三角形的有關(guān)概念（1）三角形的定義：由不在一條直線上的三條線段首尾相連所組成的圖形。（2）三角形的基本構(gòu)造：①組成三角形的三條線段叫做三角形的三邊。②兩條邊相接的點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)。③相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角。2.三角形中角的關(guān)系：（1）三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是180°。（2）直角三角形的兩個(gè)銳角之和是90°。三角形的分類：按角分為三類：銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形?！揪毩?xí)】例1：證明三角形的內(nèi)角和為180°。例2：在△ABC中，（1）∠C=82°，∠A=42°，則∠B=?（2）∠A+∠B=5∠C，那么∠C=?（3）在△ABC中，∠C的外角是120°，∠B的度數(shù)是∠A度數(shù)的一半，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。例3：已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，試判斷此三角形是什么形狀？變式訓(xùn)練：已知△ABC中，∠A-∠B=90°，∠B=2∠C，試判斷此三角形是什么形狀？例4：如圖，已知∠A=60°，∠B=30°，∠C=20°，求∠BOC的度數(shù)。拓展：1、如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。2、如圖在△ABC中，已知∠A=∠1，∠2=∠B，∠ABC=∠ACB，求∠ACB的度數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)】1.三角形的三邊關(guān)系：（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊。（2）三角形任意兩邊之差小于第三邊?！揪毩?xí)】1.有下列長(zhǎng)度的三條線段能否構(gòu)成三角形？為什么？（1）3；4；8（2）5；6；11（3）5；7；10（4）4；4；92.已知兩條線段的長(zhǎng)為5cm和8cm，要訂成一個(gè)三角形，試求：（1）第三條線段的長(zhǎng)度范圍；（2）若第三條線段的長(zhǎng)度為奇數(shù)，求此時(shí)三角形的周長(zhǎng)。3.已知等腰三角形中，有兩邊長(zhǎng)為3和7，求此等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)。拓展：1、若設(shè)a,b,c是△ABC的三邊，則a+b+c-a-b-c=0。2、已知a,b,c是△ABC的三邊，a=2，b=5，且三角形的周長(zhǎng)是偶數(shù)，（1）求c的值；（2）判斷△ABC的形狀?！局R(shí)點(diǎn)】1.在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做該角的角平分線。2.在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做該三角形的中線。3.從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，之間的線段叫做三角形的高?！揪毩?xí)】無(wú)練習(xí)題。1、已知在△ABC中，CF、BE分別是AB、AC邊上的中線，且AE=2，AF=3，△ABC的周長(zhǎng)為15，求BC的長(zhǎng)。根據(jù)中線定理可知，CF=BE=1/2BC。設(shè)BC=x，則AB=AC=x+1。根據(jù)周長(zhǎng)為15可得x+2x+2=15，解得x=4。因此BC的長(zhǎng)為4。2、在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長(zhǎng)分為12和15兩部分，求△ABC各邊的長(zhǎng)。由于AB=AC，因此BD也是AB邊上的中線，即BD=AB/2。設(shè)AB=x，則AC=x，BC=y。根據(jù)周長(zhǎng)分為12和15可得x+y=12，x+2y=15。解得x=6，y=3。因此AB=AC=6，BC=3。3、已知在△ABC中，ABC與ACB的平分線交于點(diǎn)O，試說(shuō)明：（1）BOC=180-1/2(ABC+ACB)（2）BOC=90+1/2A（1）由于BO和CO分別是ABC和ACB的平分線，因此∠BOC=1/2(∠ABC+∠ACB)。代入公式可得，∠BOC=180-1/2(ABC+ACB)。（2）由于BO和AO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，因此∠BOA=1/2∠A。又因?yàn)锽O=CO，所以∠BOC=180-∠BOA。代入公式并化簡(jiǎn)可得，∠BOC=90+1/2A。拓展：1、若AD為△ABC底邊BC的中線，則ABD與ACD的面積相等，即SABD=SACD。根據(jù)面積公式可得，1/2AD*AB=1/2AD*AC，即AB=AC。2、（1）由于△ABC與△ADE有共邊AD，且∠EAD=20°，因此它們不全等。但是它們有一組對(duì)應(yīng)邊相等，即AD=AD，因此它們是“對(duì)應(yīng)邊相等”的圖形。（2）由于AE平分∠BAC，因此∠BAD=1/2∠BAC=1/2(180-2∠A)=90-∠A。CF，求證：△ADE≌△CBF。3．如圖，已知AB=CD，AC=BD，求證：∠A=∠D。4．如圖，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，AD、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，OA=OC，EA=EC，求證∠A=∠C。5．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于點(diǎn)F，過(guò)F作FD∥BC交AB于點(diǎn)D，求證AC=AD。6．如圖，AD∥BC，AB∥DC，MN=QP，求證DE=BE。7．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠B，DE⊥BC于E，且BE=EC，求(1)∠ABC和∠C的度數(shù)；(2)證明BC=2AB。1.已知線段AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。證明△ABD≌△ACE。2.已知AD是BC的中線，且DF=DE。證明BE∥CF。3.已知AD∥BC，AD=CB。證明△ADC≌△CBA。4.已知AD∥BC，AD=CB，AE=CF。證明△AFD≌△CEB。5.已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB。問(wèn)AF=CE嗎？說(shuō)明理由。6.已知∠1=∠2，∠3=∠4。問(wèn)AC=AD嗎？說(shuō)明理由。7.在△ABC中，分別延長(zhǎng)中線BE、CD至F、H，使EF=BE，DH=CD，連結(jié)AF、AH。證明：(1)AF=AH；(2)HF∥BC。8.在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，直線EF交AC于F，交AB于E，交BC的延長(zhǎng)線于D，連結(jié)AD、BF，CF=CD。證明：BF=AD，BF⊥AD。9.已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。問(wèn)CE=BD嗎？10.已知如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，且BD=AD，DE=DC。證明BF⊥AC：已知AB⊥AC，BD⊥AC，因?yàn)锳B平行于BD，所以ABD和ACB是相似三角形，同理可得CED和ACB也是相似三角形。因?yàn)锳D=AE，所以ABD和ACE是全等三角形，所以BD=CE。又因?yàn)锽D=CE，所以BCE和CBD是相似三角形，所以∠BCD=∠BCE。因?yàn)椤螦CB=90度，所以∠BCD+∠BCE=90度，所以∠BCE=45度，所以∠ACB=∠ABF=45度，所以BF⊥AC。已知AD=AE，BD=CE，∠1=∠2，問(wèn)⊿ABD≌⊿ACE嗎？因?yàn)椤?=∠2，所以AB平行于CE，所以ABCE是平行四邊形，所以AB=CE。又因?yàn)锳D=AE，所以ABD和ACE是全等三角形。已知AB=CD，AD=BC，O是AC中點(diǎn)，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。求證：OE=OF。因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)E=OF。又因?yàn)镺E⊥AB，OF⊥D，所以O(shè)EAF是矩形，所以O(shè)E=AF。同理可得OF=AE，因?yàn)锳D=BC，所以AE=CD，所以O(shè)E=OF。已知AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求證：BE＝CD。因?yàn)锳B=AC，所以ABCD是菱形，所以BC=CD。又因?yàn)锳D=AE，所以ABD和ACE是全等三角形，所以∠BAC=∠ACB=45度，所以∠BAD=45度，所以∠BAE=90度。因?yàn)锳D⊥AE，所以BD=CE，所以BC=2BD，所以CD=BD=BE。已知AB、CD交于O點(diǎn)，CE//DF，CE=DF，DFCOAEB。求證：OE=OF。因?yàn)镃E//DF，所以ACE和ADF是相似三角形，所以AD/AC=AF/AE，所以AD/AE=AF/AC。又因?yàn)镃E=DF，所以ABCD是平行四邊形，所以AB=CD。因?yàn)锳BO和CDO是相似三角形，所以AD/AC=CO/OB，所以AD/AE=OE/AB。因?yàn)锳D=AE，所以O(shè)E=AB/2，同理可得OF=CD/2，所以O(shè)E=OF。已知AC⊥OB，BD⊥OA，AC與BD交于E點(diǎn)，若OA=OB，求證：AE=BE。AE=BF。求證：∠ACE=∠BDF。因?yàn)镺A=OB，所以O(shè)C是AB