北京延慶縣舊縣中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

北京延慶縣舊縣中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在圓O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，則·的是(A)－8

(B)－1

(C)1

(D)8參考答案：D2.已知圓C：x2+y2=1，直線l：y=k（x+2），在[﹣1，1]上隨機(jī)選取一個數(shù)k，則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)圓心到直線l的距離d＞r，列出不等式求出k的取值范圍，利用幾何概型的概率計算即可．【解答】解：圓C：x2+y2=1的圓心為（0，0），半徑為r=1；且圓心到直線l：y=k（x+2）的距離為d==，直線l與圓C相離時d＞r，∴＞1，解得k＜﹣或k＞，故所求的概率為P==．故選：C．3.若變量滿足約束條件，則的最大值為

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的實(shí)根個數(shù)不可能為（

）（A）個

（B）個

（C）個

（D）個參考答案：A5.若函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)字名著，書中《均屬章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各德幾何．”其意思為“已知A、B、C、D、E五人分5錢，A、B兩人所得與C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．在這個問題中，E所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢參考答案：A【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項公式．【分析】設(shè)A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程組，能求出E所得．【解答】解：由題意：設(shè)A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，則，解得a=，故E所得為錢．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.設(shè)點(diǎn)P（x，y）滿足不等式組，則的最大值和最小值分別為A．11，9

B．，9

C．

D．參考答案：A8.已知集合，那么集合等于（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：【答案解析】C解析：解：由題意可知為A、B中所有元素組成的集合.C正確.9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為(

)A． B． C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，分別計算側(cè)面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的側(cè)面積的求法，考查計算能力．10.已知f（x）是R上的偶函數(shù)，將f（x）的圖象向右平移一個單位，得到一個奇函數(shù)的圖象，若(

) A．1 B．0 C．—1 D．—1005.5參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，，，，則

．參考答案：12.若向量，，，則

．參考答案：13.執(zhí)行右圖的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y的值為

.

參考答案：2314.已知函數(shù)，則的值為__________．參考答案：分析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式代入進(jìn)行求解即可．詳解：即答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)值的計算，比較基礎(chǔ)．15.定義在R上的函數(shù)f（x），若對任意的實(shí)數(shù)a、b都有f（a）+f（b）=f（a+b）﹣3ab（a+b），則稱f（x）是“負(fù)3倍韋達(dá)函數(shù)”，則f（x）=

時，f（x）是一個“負(fù)3倍韋達(dá)函數(shù)”（只須寫出一個）．參考答案：x3考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：f（x）=x3，f（x）是一個“負(fù)3倍韋達(dá)函數(shù)”，再進(jìn)行驗(yàn)證即可．解：f（x）=x3，f（x）是一個“負(fù)3倍韋達(dá)函數(shù)”，證明如下：f（a）+f（b）=a3+b3，f（a+b）﹣3ab（a+b）=（a+b）3﹣3ab（a+b）=a3+b3，∴對任意的實(shí)數(shù)a、b都有f（a）+f（b）=f（a+b）﹣3ab（a+b），∴f（x）=x3，f（x）是一個“負(fù)3倍韋達(dá)函數(shù)”．故答案為：x3點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，考查學(xué)生對新定義的理解，屬于中檔題．16.已知在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心為(6，)，半徑為5，直線＝(≤≤π，∈R)被圓截得的弦長為8，則＝________.參考答案：17.設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于雙曲線：()，若點(diǎn)滿足，則稱在的外部；若點(diǎn)滿足，則稱在的內(nèi)部.

(1)證明：直線上的點(diǎn)都在的外部.

(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在的內(nèi)部或上，求的最小值.

(3)若過點(diǎn)，圓()在內(nèi)部及上的點(diǎn)構(gòu)成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關(guān)系式及的取值范圍.參考答案：【測量目標(biāo)】（1）數(shù)學(xué)基本知識和基本技能能力/能按照一定的規(guī)則和步驟進(jìn)行計算、畫圖和推理.（2）分析問題與解決問題的能力/能自主地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)知識（概念、定理、性質(zhì)和方法等），并能初步應(yīng)用.（3）分析問題與解決問題的能力/能綜合運(yùn)用基本知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法和適當(dāng)?shù)慕忸}策略，解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.【知識內(nèi)容】（1）圖形與幾何/曲線與方程/曲線方程的概念.（2）圖形與幾何/曲線與方程/雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).（3）圖形與幾何/曲線與方程/雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).【參考答案】（1）設(shè)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得，…………2分對于，，因此，直線上的點(diǎn)都在的外部．……4分（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題設(shè)．……………………6分，由，得，…………8分對于，有，于是，因此，的最小值為．…………10分（3）因?yàn)閳A和雙曲線均關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱，所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況．由題設(shè)，圓與雙曲線的交點(diǎn)平分該圓在第一象限內(nèi)的圓弧，它們交點(diǎn)的坐標(biāo)為．…12分將，代入雙曲線方程，得（*），………………13分又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，………………15分將代入（*）式，得．……………17分由，解得．因此，的取值范圍為．………………18分19.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．（Ⅰ）求PD與BC所成角的大??；（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大?。畢⒖即鸢福海á瘢┤〉腁B中點(diǎn)H，連接DH，易證BH//CD，且BD=CD…1分

所以四邊形BHDC為平行四邊形，所以BC//DH

所以∠PDH為PD與BC所成角………………2分

因?yàn)樗倪呅?，ABCD為直角梯形，且∠ABC=45o，

所以⊥DA⊥AB

又因?yàn)锳B=2DC=2，所以AD=1，

因?yàn)镽t△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都為等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o

……………4分

（Ⅰ）連接CH，則四邊形ADCH為矩形，∴AH=DC

又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o，∴CH=BH=1，CB=

∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2

∴BC⊥AC……6分又PA平面ABCD∴PA⊥BC……7分∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC

………8分

（Ⅲ）如圖，分別以AD、AB、AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，

∴=(0，0，1)，=(1，1，-1)…………9分

設(shè)m=(a，b，c)為平面PAC的一個法向量，

則，即

設(shè)，則，∴m=(1，-1，0)

………10分

同理設(shè)n=(x，y，z)為平面PCD的一個法向量，求得n=(1，1，1)………11分

∴

所以二面角A-PC-D為60o

…………………12分20.和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點(diǎn)的軌跡．在空間直角坐標(biāo)系中，空間曲面的方程是一個三元方程．設(shè)、為空間中的兩個定點(diǎn)，，我們將曲面定義為滿足的動點(diǎn)的軌跡．（1）試建立一個適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求曲面的方程；（2）指出和證明曲面的對稱性，并畫出曲面的直觀圖．參考答案：解：（1）如圖，以兩個定點(diǎn)，的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，以與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

（1分）設(shè)，，，

（2分）

兩邊平方，得，

（2分）兩邊平方，整理得令，得．①

（3分）若點(diǎn)、在軸上，則方程為：（2）對稱性：由于點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也滿足方程①，說明曲面關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；

（1分）由于點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)也滿足方程①，說明曲面關(guān)于軸對稱；同理，曲面關(guān)于軸對稱；關(guān)于軸對稱．

（1分）由于點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)也滿足方程①，說明曲面關(guān)于平面對稱；同理，曲面關(guān)于平面對稱；關(guān)于平面對稱．

（2分）圖略．

略21.已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級學(xué)生，將全體四年級學(xué)生隨機(jī)按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組．現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號按依次增加10進(jìn)行系統(tǒng)抽樣.（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫出所有被抽出學(xué)生的號碼；（2）分別統(tǒng)計這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；（3）在（2）的條件下，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生，求被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率．參考答案：解：（1）由題意，得抽出號碼為22的組數(shù)為3.

（2分）因?yàn)?＋10×(3－1)＝22，所以第1組抽出的號碼應(yīng)該為02，抽出的10名學(xué)生的號碼依次分別為：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.

（4分）（2）這10名學(xué)生的平均成績?yōu)椋骸?81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，

（6分）故樣本方差為：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）（3）從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績不低于73分的學(xué)生，共有如下10種不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.

（10分）其中成績之和不小于154分的有如下7種：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.

（12分）故被抽取到的兩名學(xué)生的成績之和不小于154分的概率為：