紅對勾高一數(shù)學第一冊2021版電子3

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3．2

函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1

單調(diào)性與最大(小)值第2課時函數(shù)的最大(小)值[課標解讀]借助函數(shù)圖象，會用符號語言表示函數(shù)的最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．[素養(yǎng)目標]水平一：1.能從教材實例中抽象出函數(shù)的最大值、最小值的概念(數(shù)學抽象).2.理解函數(shù)的最大值、最小值的幾何意義(直觀想象)．水平二：會求一些簡單函數(shù)的最大值、最小值(邏輯推理).課時作業(yè)要點整合夯基礎典例講解破題型課堂達標練經(jīng)典要點整合夯基礎知識點

函數(shù)的最大值和最小值(2)?x0∈I，使得

.那么，我們稱M

是函數(shù)y＝f(x)的最大值，記作f(x)max＝M.2．最小值一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)N

滿足：；

，就稱N是函數(shù)y＝f(x)的最小值，記作f(x)min＝N.[填一填]1．最大值一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M

滿足：(1)?x∈I，

都有

f(x)≤M

；f(x0)＝M?x∈I，都有f(x)≥N?x0∈I，使得f(x0)＝N[答一答]1．如果函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)的任意x

都滿足f(x)≤M，那么M

一定是函數(shù)f(x)的最大值嗎？提示：不一定．如函數(shù)f(x)＝－x2≤1

恒成立，但是1

不是函數(shù)的最大值．2．函數(shù)的最值與函數(shù)的值域有什么關(guān)系？提示：函數(shù)值域是指函數(shù)值的集合，函數(shù)最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一個閉區(qū)間，那么函數(shù)的最大(小)值就是閉區(qū)間兩端點的值．3．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)或減函數(shù)，它一定有最值嗎？如果有，最值是什么？提示：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)的最小值為ymin＝f(a)，最大值為ymax＝f(b)；若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則函數(shù)的最小值為ymin＝f(b)，最大值為ymax＝f(a)．4．是否每個函數(shù)都有最大值、最小值？如果有最值，取最值的點有幾個？舉例說明．1提示：一個函數(shù)不一定有最值，例如y＝x在定義域內(nèi)沒有最大值也沒有最小值．有的函數(shù)可能只有一個最大(或小)值，例如y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)．如果一個函數(shù)存在最值，那么函數(shù)的最大值和最小值都是唯一的，但取最值時的自變量可以有多個，如y＝x2，x∈[－2,2]，最大值只有一個為4，而取最大值的x有x＝±2

兩個．典例講解破題型類型一利用函數(shù)的圖象求最值[例

1]

已知

f(x)＝2|x－1|－3|x|.作出函數(shù)f(x)的圖象；根據(jù)函數(shù)圖象求其最值．[思路分析]

去絕對值符號，得到關(guān)于

x的分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，識圖得出函數(shù)的最值．[解]

(1)當

x≥1

時，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；當

0≤x<1

時，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；當

x<0

時，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.－x－2，x≥1，所以y＝－5x＋2，0≤x<1，x＋2，x<0.[變式訓練1]已知函數(shù)f(x)＝21x

，－2≤x≤1，1x，1<x≤2.求f(x)的最大值、最小值．類型二利用函數(shù)的單調(diào)性求最值4[例

2]

已知函數(shù)

f(x)＝x＋x.判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性；根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值．[

思路分析]

(1)證明單調(diào)性的流程：取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論；(2)借助最值與單調(diào)性的關(guān)系，寫出最值．[解]

(1)設

x1，x2

是區(qū)間[1,2]上的任意兩個實數(shù)，且

x1<x2，1

2

1

21則

f(x

)－f(x

)＝x

－x

＋

－4

4x

x2＝(x

－1

2x

)·

1—

4

1x

x2＝(x1－x2)(x1x2－4)x1x2.∵x1<x2，∴x1－x2<0.當1≤x1<x2≤2

時，x1x2>0,1<x1x2<4，即x1x2－4<0.∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)．(2)由(1)知x∈[1,2]時，f(x)的最小值為f(2)，4f(2)＝2＋＝4；f(x)的最大值為f(1)，2f(1)＝1＋4＝5，∴f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為4，最大值為5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定有最值．求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大(小)值．[變式訓練

2]

求

f(x)＝xx－1在區(qū)間[2,5]上的最值．解：任取2≤x1<x2≤5，1則f(x

)＝x1x1－12，

f(x

)＝x2x2－1，2

1f(x

)－f(x

)＝x2

x1x1－x2x2－1

x1－1

(x2－1)(x1－1)—

＝

，∵2≤x1<x2≤5，∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1)．∴f(x)＝xx－1在區(qū)間[2,5]上是減函數(shù)．m

x∴f(x)

a

＝f(2)＝22－1＝2，minf(x)

＝f(5)＝15

55－

＝4.類型三二次函數(shù)的最值[例3](1)若函數(shù)f(x)＝x2－3x－4

的定義域為[0，m]，值域為－)C25，－4

m的取值范圍是(

D4

，則A．[0,4]

B.3

4

，

2

33.

，＋∞

D.

，32

2

(2)已知f(x)＝3x2－12x＋5，當f(x)的定義域為下列區(qū)間時，求函數(shù)的最大值和最小值．①[0,3]；②[－1,1]；③[3，＋∞)．[思路分析]

求函數(shù)的最大值、最小值問題，應先考慮定義域，由于是二次函數(shù)，所以可以采用配方法和圖象法求解．3232254[解析]

(1)二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線

x＝

，且

f

＝－

，3

2f(3)＝f(0)＝－4，由圖象(如圖)得

m∈

，3.故選

D.①由圖可知，函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增．且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4.故在區(qū)間[0,3]上，當x＝2

時，f(x)min＝－7；當x＝0

時，f(x)max＝5.②由圖可知，f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(1)＝－4，f(x)max＝f(－1)＝20.③由圖可知，f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(3)＝－4，無最大值．[答案]

(2)見解析求函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1

在區(qū)間[0,2]上的最大[變式訓練3]值和最小值．課堂達標練經(jīng)典1．函數(shù)f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是()A．(－∞，5]C．[－20,5]B．[5，＋∞)D．[4,5]解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴當x＝－2時，函數(shù)有最大值5；當x＝3

時，函數(shù)有最小值－20，故選C.C2．函數(shù)f(x)＝3x＋2在[－1,2]上的值域為()

3A.0，2B.

，

3

34

23

4C.

，33

4D.

，3解析：∵f(x)＝3x＋2在[－1,2]上是減函數(shù)，33∴f(2)≤f(x)≤f(－1)，又f(2)＝4，f(－1)＝3，∴4≤f(x)≤3，故選C.C3．若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值是(A．2B．－2C．2

或－2D．0解析：當

a>0

時，y＝f(x)的最大值為

f(2)＝2a＋1，最小值為

f(1)＝a＋1，∴(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得

a＝2.當

a<0

時，y＝f(x)的最大值為f(1)＝a＋1，最小值為f(2)＝2a＋1，∴(a＋1)－(2a＋1)＝2.解得a＝－2，綜述，a＝2

或a＝－2，選C.C

)4．若函數(shù)f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]，7－x，x∈[－4，1)，則f(x)的最大值為

.解析：當x∈[1,2]時，f(x)為增函數(shù)，其最大值為f(2)＝10；當x∈[－4,1)時，f(x)為減函數(shù)，其最大值為f(－4)＝11.故函數(shù)f(x)的最大值為11.115．求函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，當0<a<4

時，f(x)在[－4，a]上是減函數(shù)，在[a,4]上是增函數(shù)．又